1.下列命题中,正确的个数是( )
①所有的正三角形都相似②所有的直角三角形都相似③所有的等腰三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：两个直角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定成比例,等腰三角形的对应角不一定相等,所以②③不正确,①符合AA,④符合SAS.
答案：B
2.如图27-2-1-1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D点,则图中相似三角形有( ) 图27-2-1-1
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 解析：根据AA判定法有三对相似. 答案：C
3.一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm，则其余两边长为______________.
解析：可求得两个三角形对应边的相似比为2,所以另外两边为4,6. 答案：4 cm,6 cm
二、课中强化(10分钟训练)
1.如图27-2-1-2,已知△ADE∽△ACB,其中∠AED=∠B,则下列比例式成立的是( ) 答案：A
2.如图27-2-1-3,锐角△ABC的高BD,CE交于O点,则图中与△BOE相似的三角形的个数是( ) 图27-2-1-3
A.1 B.2 C.3 D.4 解析：△ADB∽△AEC∽△OEB∽△ODC. 答案：C
3.如图27-2-1-4,过梯形ABCD对角线AC,BD的交点O作EF∥AD,分别交两腰AB,DC于E,F两点,则图中的相似三角形共有( )
图27-2-1-4
A.7对 B.6对 C.5对 D.4对
解析：△ADB∽△EOB,△ABC∽△AEO,△ADC∽△OFC,△DBC∽△DOF,△AOD∽△CDB. 答案：C
4.在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是( ) A.∠A=∠C′ B.∠A=∠A′ C. D. 解析：画出草图帮助分析,得D不满足SAS判定法. 答案：D
5.如图27-2-1-5所示,铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降0.5 m,长臂端点升高 ( )
A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m 图27-2-1-5
解析：作出如右示意图,由△AOB∽△EOD可求得答案. 答案：C
6.如图27-2-1-6,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交边BC于点E,连结BD. 图27-2-1-6
(1)根据题设条件,请你找出图中各对相似三角形;
(2)请选择其中的一对相似三角形加以证明.
分析：利用同圆或等圆中同弧上所对的圆周角相等,找出等角得相似三角形, 如△ADB∽△ACE等.
解：(1)△ADB∽△ACE∽△BDE. (2)证:△ADB∽△ACE. ∵∠DAB=∠DAC,
又∵∠D=∠C,∴△ADB∽△ACE. 三、课后巩固(30分钟训练) 1.下列说法正确的个数是( )
①有一个角相等的两个等腰三角形相似②有一个底角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形相似④顶角相等的两个等腰三角形相似
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：一个等腰三角形的一个底角等于另一个等腰三角形的顶角.则这两个等腰三角形不相似,所以①错;所有等腰三角形的三个角不一定对应相等,所以③错,②④正确.
答案：B
2.如图27-2-1-7,D为△ABC的边AB上一点,且∠ABC=∠ACD,AD=3 cm,AB=4 cm,则AC的长为_______________.
图27-2-1-7
解析：由△ABC∽△ACD,得AC2=AD·AB. 答案： cm
3.在△ABC中,∠C=90°,D是边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作直线与另一边相交,使所得的三角形与原三角形相似,这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：如右图所示,有三条直线可满足要求. 答案：C
4.如图27-2-1-8,正方形ABCD内接于等腰三角形PQR,则PA∶PQ等于( ) A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3 解：∵△PAD∽△PQR, ∴.
又∵QR=QB+BC+CR=3AD, ∴C正确. 答案：C
5.如图27-2-1-9,阳光通过窗口照到室内,在地面上留下了2.7 m宽的亮区,已知亮区的一边到窗下的墙角距离CE=8.7 m,窗口高AB=1.8 m,那么窗口底边离地面的高度为BC=______.
图27-2-1-9
解：∵△BCD∽△ACE, ∴.
又∵AC=1.8+BC, ∴BC=4.答案：4 m
6.将两块完全相同的等腰直角三角形板摆放成如图27-2-1-10所示的样子,假设图中的所有点,线都在同一平面内.
图27-2-1-10
请问图中(1)共有多少个三角形?把它们一一写出来.
(2)有相似(不包括全等)三角形吗?若有,请把它们一一写出来.
解析：(1)按边过滤找,不要重查或漏查;
(2)根据相似三角形的条件:两角对应相等来找.
答案：(1)7个,△ABD,△ABE,△ABC,△ADC,△ADE,△AEC,△AFG; (2)有,△ADE∽△CDA,△BAE∽△ADE,△ABE∽△DCA.
7.如图27-2-1-11,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且AB=,BC=1,连结BF,分别交AC,DC,DE于点P,Q,R.
图27-2-1-11
(1)求BF的长;(2)求BR的长;(3)求BQ的长;(4)求PQ的长. 解：(1)∵△ABC≌△DCE≌△FEG,BC=1,AB=, ∴BC=CE=EG=1,EF=FG=AB=. ∴BG=3.
(2)∵△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形, ∴∠ACB=∠DEB=∠FGB=∠DCE=∠FEG. ∴AC∥DE∥FG,DC∥EF. 又∵BG=BF,∴BR=BE=2. (3)∵DC∥EF,BC=CE, ∴BQ=BF=1.5. (4)∵AC∥DE, ∴BP=BC=1.
∴PQ=BQ-BP=0.5.
8.如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.
图27-2-1-12
解析：将原三角形的边长扩大倍. 答案：如图所示.
9.比例规是一种画图工具,如图27-2-1-13,使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段l的两个端点上,这时CD=AB,为什么?
图27-2-1-13
解：已知BC与AD交于点O,OA=3OD,OB=3OC.求证:CO=AB. 证明:∵OA=3OD,OB=3OC, ∴.∴.
又∵∠COD=∠BOA, ∴△COD∽△BOA. ∴.
∴CD=AB.
10.小明正在攀登一个如图27-2-1-14所示的攀登架,DE和BC是两根互相平行的固定架,DE=10 m,BC=18 m,小明从底部固定点B开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
图27-2-1-14
解：∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE. ∴.∴AD=10.
11.如图27-2-1-15,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.
图27-2-1-15
解：当△ABP∽△PDC时,,得PB=120或PB=20;当△ABP∽△CDP时,,BP=85. 答:当BP分别为120 cm,20 cm,85 cm时,图中三角形相似.
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