永安三中2023届高一(下)第一次月考--数学

（考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（非选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1、已知复数(1ai)i2bi，a,bR，则ab ( ) A.3

2B.1

C.

1

D.3

2、已知复数zm4(m2)i，（mR），则“m2”是“z为纯虚数”的（ ） ．．． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3、在ABC中，若

sinAcosB, 则B（ ） abC. 3A.

B.

6 4D.

 44、在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a4,B60,C75，则b=（ ）

A. 26 B. 25 C. 23 D.

11 3

5、已知向量a,b，其中|a|3，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是（ ）

A．

25 B． C． D．

36 636、在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若asin(则ABC的形状一定是（ ）

B)bsin(A)，

22A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7、已知AB(3,2)，AC(,3)，且|BC|1，则ABBC=( ) A.3

B.2

C. 2

D.3

8、如图在ABC中，D是BC的中点，E是AD的三等分点（靠近D点），若

CErABsAC（r,sR），则rs ( )

A．1 B.

121 C． D． 333二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9、在复平面内点A,B,C所对应的复数分别为z11i,z22i,z312i,则下列结论正确的是( )

A. z3的共轭复数z3虚部为2i

B. |z2z|2 1C. z21为纯虚数

D. 若ADBC，则点D对应的复数是23i

10、下列命题中,正确．．的命题为（ ） A. 对于向量a,b，若|a||b|，则ab或ab B.若e为单位向量，且a∥e，则a|a|e；

C.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 D. 四边形ABCD中，ABCDADCB

11、设平面向量a,b,c两两所成的夹角相等，且|a|1，|b|1，|c|3，则|abc|的值可能为( A．2 B．3 C．5

D．5 12、在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(ab)(sinAsinB)(cb)sinC,则下列叙述 正确的有（ ）

A. A3 B. 若a2,则ABC的面积的最大值为

33 C. 若AB2,AC3,且CE2EB, 则AECB23 D. 若b22，且满足条件的ABC不存在．．．

，则边a的取值范围是a22 )

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13、若z(1i)1i，则|z| ．

14、设平面向量a(1,2),b(2,)，若a//b，则|3ab| ． 15、如图，冠豸山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，

小李在山脚B处看索道AC，测得张角ABC120；从B处攀登4千米到达D处，回头看索道AC，测得张角ADC150；

从D处再攀登8千米方到达C处，则索道AC的长为 千米．

16、在ABC中有如下结论：“若点M为ABC的重心，则MAMBMC0”．设a,b,c分别为

内角A,B,C的对边，点M为ABC的重心. 若aMAbMB当a3时，ABC的面积为 _.

3则内角A的大小为 _；cMC0，

3四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题共10分） 设复数z12ai（其中aR），z234i．

（Ⅰ）若z1z2是实数，求z1z2的值；

z1（Ⅱ）若是纯虚数，求z1．

z2

18、（本题共12分） 已知两个非零向量

a,b．

（Ⅰ）若向量a,b是夹角为120°的单位向量，试确定实数k，使kab和ab垂直； ．．．．

（Ⅱ）若ABab,BC2a6b,CD2(ab)，求证：A,B,D三点共线．

19、（本题共12分）

2在①csinB3bcosC；②SABCCACBsinC；③2cosCsin(2C)2cosC三个条件中任选一

2

个，补充在下面的问题中，并解决该问题．

问题：在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,且满足 ，c2． （Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）若D为BC上一点，AB5,DB4,且ABBD12,求AC． (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．

20、（本题共12分）

在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m(cos(AB),sin(AB))

3n(cosB,sinB)，且mn.

5（Ⅰ）求sinA的值；

（Ⅱ）若a42,b5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影向量.

【提示：向量a在b方向上的投影向量为|a|cosa,bbb，其中为与b同向的单位向量， |b||b|a,b为a与b的夹角】

21、（本题共12分）

岛A观察站发现在其南偏东45方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度沿南偏东45方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其

北偏东75方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．



（1）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？

（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．

22、（本题共12分）

在平行四边形ABCD中，AB2,AD1，若M,N分别是边BC,CD上的点，且满足

|BM||BC||CN||CD|k，

k(0,1).

（Ⅰ）当DAB90,k1时,求向量AM和AN夹角的余弦值； 2（Ⅱ）当DAB60时,求AMAN的取值范围.