初中数学-全等三角形——经典试题汇编 含答案

北京中考/一模之全等三角形试题精编

北京中考

16．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，ABCE，ACCD．

求证：BCED.

16、△BAC≌△BCD（SAS） 所以，BC＝ED 海淀一模

15. 如图，AC//FE, 点F、C在BD上，AC=DF, BC=EF. 求证：AB=DE.

15．证明：∵ AC //EF，

∴ ACBDFE． ………………………………………1分

在△ABC和△DEF中， ACDF,ACBDFE, BCEF,A D

C B F E

B F E C A D

∴ △ABC≌△DEF． ………………………………4分

∴ AB=DE． ……………………5分 东城一模

16. 如图，点B、C、F、E在同一直线上，12，BFEC，要使ABC≌DEF，

还需添加的一个条件是 （只需写出一个即可），并加以证明．

16．（本小题满分5分）

解：可添加的条件为：ACDF或BE或AD（写出其中一个即可）. …1分

证明：∵ BFEC，

∴ BFCFECCF.

即 BCEF . -------2分 在△ABC和△DEF中，

ACDF,12, BCEF,∴ △ABC≌△DEF. --------5分

西城一模

15．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90º，D为AB延长线 上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC. (1) 求证：△ABE≌△CBD；

(2) 若∠CAE=30º，求∠BCD的度数.

15.（1）证明：如图1.

∵ ∠ABC=90º，D为AB延长线上一点，

∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 在△ABE和△CBD中,

ABCB, ABECBD, BEBD, ∴ △ABE≌△CBD. …………………… 2分

（2）解：∵ AB=CB，∠ABC=90º，

∴ ∠CAB=45°. …….…………………… 3分 又∵ ∠CAE=30º，

∵ △ABE≌△CBD，

∴ ∠BCD=∠BAE =15°. ……………………………………………………5分

图1 ∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分

通州一模

15．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，BACDAE， 求证：△ABD≌△ACE.

15. 解：

BACDAE..........................................................................(3分) EACDAB .....................................................................(4分) 在AEC和ADB中

EEADBCADAEDABEAC ABAC

ADBCAEC≌ADB(SAS) .............................................................(5分)

石景山一模

16．如图，∠ACB=∠CDE=90°，B是CE的中点，

∠DCE=30°，AC=CD． 求证：AB∥DE．

16．证明：∵∠CDE=90°，∠DCE=30°

∴DEADCEB第16题图

1CE ………………1分 21CE 2∵B是CE的中点， ∴CB∴DE=CB ………………2分 在△ABC和△CED中

ACCDACBCDE CBDE∴△ABC≌△CED ………………3分 ∴∠ABC=∠E ………………4分

∴AB∥DE. ………………5分

房山一模

15．已知：E是△ABC一边BA延长线上一点，且AE=BC ，过点A作AD∥BC，且使AD=AB，联结ED．求证：AC=DE．

EADB

15． 证明：∵AD∥BC

∴∠EAD=∠B. …………………………1分 ∵AD=AB. ……………………………2分 AE=BC. ……………………………3分 ∴△ABC≌△DAE.……………………4分 ∴AC=DE. …………………………5分 昌平一模

C

EADBC16．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连结CD、BE．求证：CD=BE．

16．证明：∵ △ABC和△ADE都是等边三角形，

∴ AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠CAB， ∵ ∠DAE-∠CAE =∠CAB-∠CAE， ∴ ∠DAC =∠EAB，

∴ △ADC≌△AEB． ……………………… 4分 ∴ CD=BE． ……………………… 5分

门头沟一模 求证：AB=ED．

ACDAEB16.已知：如图，AB∥ED，AE交BD于点C，且BC=DC．

BCDE

16.证明：∵AB∥ED，

∴∠ABD=∠EDB. ………………………….1分 ∵BC=DC,∠ACB=∠DCE, ……………3分 ∴△ABC≌△EDC. ………………….4分 ∴AB=ED． ………………………………5分 丰台一模

16．已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在线段AD上，且AF=DE．求证：BE=CF．

16．证明:

EBCDA AF=DE，  AF-EF=DE –EF．

即 AE=DF．………………1分

AECFDB AB∥CD，∠A=∠D．……2分

AB=CD， ∠A=∠D， 在△ABE和△DCF中 ，

AE=DF． △ABE ≌△DCF．……….4分  BE=CF．…………….5分

2012.5丰台一模

24．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结

EC，取EC的中点M，联结BM和DM．

（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系

是 ；

（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，

并说明理由．

BBACMDEEMADC

24.解：（1）BM=DM且BM⊥DM． ………2分

（2）成立． ……………3分

理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、

BD．

易证△EMD≌△CMF．………4分

∴ED=CF，∠DEM=∠1．

∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，

∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°． ∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．

∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，

∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）

=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ． ∴∠8=∠BAD．………5分 又AD=CF． ∴△ABD≌△CBF． ∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分 ∴∠DBF=∠ABC=90°． ∵MF=MD，

∴BM=DM且BM⊥DM．.…………7分 海淀一模

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

D A

D A E

O C B

C O B 9

图1 图2

小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长

CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BCE的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形

D A B C

E G

F

ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长

度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为

三边长的三角形的面积等于 ．

I H

图3

22. 解：△BCE的面积等于 2 . …………1分 （1）如图（答案不唯一）： ……2分

以EG、FH、ID的长度为三边长的 一个三角形是△EGM . …………3分 （2） 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角

形的面积等于 3 ． …………5分

IHBDACEG

西城一模

24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对

称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F． (1) 求证：BF∥AC；

(2) 若AC边的中点为M，求证：DF2EM；

(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与

BE相等的线段，并证明你的结论．

图1 图2 24．证明：（1）如图6．

∵ 点B关于直线CH的对称点为D，

CH⊥AB于点H，

直线DE交直线CH于点F， ∴ BF=DF，DH=BH．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．

又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1， ∴ ∠A＝∠2．

∴ BF∥AC．……………………………………………………………… 2分 图6 （2）取FD的中点N，连结HM、HN. ∵ H是BD的中点，N是FD的中点，

∴ HN∥BF． 由（1）得BF∥AC， ∴ HN∥AC，即HN∥EM． ∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，

AC边的中点为M，

∴ HM1ACAM．

2∴ ∠A＝∠3． ∴ ∠EDA=∠3． ∴ NE∥HM．

∴ 四边形ENHM是平行四边形．……………………………………… 3分

图7

∴ HN=EM．

∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N， ∴ HN1DF，即DF2HN．

2∴ DF2EM． ………………………………………………………… 4分

（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与

BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）

证明：连结CD．（如图8）

∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，

∴ BC=CD，∠ABC＝∠5． ∵ AB＝BC，

∴ ABC1802A，

AB＝CD．①

∵ ∠EDA=∠A，

∴ 61802A，AE=DE．② ∴ ∠ABC＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE是△ADE的外角， ∴ BDEA6． ∵ BDE45， ∴ ∠A＝∠4．③

由①，②，③得 △ABE≌△DCE．………………………………………5分 ∴ BE= CE． ……………………………………………………………… 6分

图8 由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．

由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF． ∴ ∠CFE=∠ECF． ∴ EF=CE．

∴ BE=EF． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE=EF=CE．

（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）

北京中考

24．在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线

段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ。

（1） 若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，

请补全图形，并写出CDB的度数；

（2） 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，

猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（3） 对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）

时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围。

24、【解析】

⑴

，CDB30

⑵ 连接PC，AD，易证△APD≌△CPD

∴APPC ADBCD B PADPC D 又∵PQPA

ADC2CDB，PQCPCDPAD ∴PQPC，∴PADPQDPQCPQD180 ∴APQADC360PADPQD180 ∴ADC180APQ1802 ∴2CDB1802 ∴CDB90

⑶ ∵CDB90，且PQQD

∴PADPCQPQC2CDB1802 ∵点P不与点B，M重合 ∴BADPADMAD ∴21802 ∴4560

【评价】此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角。需要同学们注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决。