电磁场的量子化及其数态描述

维普资讯 http://www.cqvip.com ２０ａｒ７年　青海师范大学学报（自然科学版）　２ＯＤ７　第１期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑ　Ｎｏｎ＇ａＭ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｎｏ．１　电磁场的量子化及其数态描述　袁海良　（青海师范大学物理系，青海西宁８１０００８）　摘要：本文从真空中麦克斯韦方程组出发，通过把矢势的Ｆｏｕｒｉｅｒ展开式中的振幅按照量子化对应化为算符，得到了哈密顿　算符，从而实现了电磁场的量子化，同时给出了电磁场的数态描述．　关键词：量子化；麦克斯韦方程组；矢势；哈密算符；数态　中图分类号：Ｏ４４１．４　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—７５４２（２００７）０１—００５９—０３　１电磁场的量子化　众所周知，真空中，在库仑规范下，Ｂ和Ｅ均可由矢势Ａ（７，ｔ）来确定，即：　Ｂ＝Ｖ×Ａ　（１）　Ｅ＝　＝—　（２）　由库仑规范条件　Ｖ・Ａ＝０　（３）　且把（１）式代人（２）式，我们便可得到Ａ（７，ｔ）满足的波动方程为：　ｖ　（　，　）：　Ｃ　Ｏｔ　我们把Ａ（７，ｔ）可分成两个复数项的和　Ａ（７，ｔ）＝Ａ‘　’（７，ｔ）＋Ａ‘一’（７，ｔ）　（４）　这里，　（＋’（　，ｔ）包含了所有随ｅ—　变化的振幅，　（一’（　，ｔ）包含了所有随ｅ　ｔ变化的振幅．且　（＋）：　Ａ（～，对于限制在一定空间体积内的电磁场，Ａ（７，ｔ）可展成分立的正交模函数系，即：　Ａ（７，ｔ）＝∑ＣｋＵｋ（７）ｅ一　（５）　对于自由的电磁场，Ｆｏｕｒ／ｅｒ系数Ｃ　是常数．与　对应的模函数Ｕ　（７）波动方程为：　（ｖ２＋　）　（　）：０　（６）　假设空间无折射物质，由于模函数满足横场条件　・Ｕｋ（７）＝０　（７）　所以模函数Ｕ　（７）形成完备的正交系，满足正交归一化条件　Ｉ　Ｕｋ（７）ｕｋ・（Ｔ）ｄｖ＝　，　（８）　收稿日期：２００６—１０—２９　作者简介：袁海良（１９６３一），男（汉族），山东巨野人，副教授，硕士　维普资讯 http://www.cqvip.com ６０　青海师范大学学报（自然科学版）　２Ｏｏ７年　由于模函数ｕ　（７）依赖于我们所考虑的物理体积的边界条件，也就是说，与行波模式对应的周期性　边界条件，则，对于限制在边长ｌ为的立方体内的平面波来说，其模函数Ｌ１　（７）为：　ｕｋ（７）＝Ｌ－３／２　ｅ一‘　’　（９）　其中，６（　为单位极化矢量（　：１，２），　为波矢．　由于周期性边界条件取以下的分值ｋｘ：孥，ｋ　：　，ｋ＝　（１１Ｉ，ｒ，ｖ，Ｊ１ｚ＝０，±１’±２＇…‘）　（１ｏ）　由横场条件Ｖ・ｕ　（７）＝０可知，单位极化矢量ｅ　’与波矢ｋ相互垂直．现在，矢势Ａ（７，ｔ）可写成下面　的形式：　ｔ）＝　（去　ａｋ—Ｕ　（　）ｅ－ｉ＇￣ｔ＋　（　）ｅ＿ｉａｋｔ］　）　把（１１）式代人（１）、（２）式可得电场、磁场的表达式为：　ｔ）＝ｉ　（　ａｋ—Ｕ　（　）ｅ－ｉ＇￣ｔ＋　（　（１２）　矗（　，ｔ）＝ｉ∑ｆ［一　（ａｋ　Ｕ　　）　ｅ－ｉ＇￣ｔ＋　（　）ｅ　）　（１３）ｋ　￣　＆ｔｔ　ｏ／上式所选的归一化因子使得振幅ａｋ、　为无量纲的量．　在经典理论中，Ｆｏｕｒ／ｅｒ系数（振幅）为复数．在电磁场的量子化时，　、　为相互共轭的算符，由于光　子是玻色子，所以，算符　、　满足玻色对易关系　［　，　］＝［　，　］＝０　［　，　］＝　，　由于电磁场的能量密度ｐｅ为：　ｐｅ＝　￡０　Ｅ２＋　１　ｎ２　故，电磁场的哈密顿量Ｈ为：　Ｈ＝告Ｉ（￡。Ｅ２＋／－ｔｏＨ２）ｄｖ　（１４）　把（１２）、（１３）式代人（１４）式得哈密顿量Ｈ为：　Ｈ：∑　（　ａｋ＋１／２）　（１５）　在上式中，　ｈ　ａｋ代表了各模式光子的能量之和，１／２　表示真空中电磁场作量子起伏的能　量，又称零点能．于是，哈密顿算符为：　ｌｆ：∑　（　ａ　＋１／２）　（１６）　２电磁场的数态描述　从式（１５）、（１６）可知，哈密顿算符的本征值为似（　＋ｌ，２），其中，　＝０，１，２，…∞．与ｎｋ对应的本　征态、算符可分别写为Ｉ　ｎｋ＞、　＝　，Ｉ　ｎｋ＞被称为数态，也就是光子数算符　＝　的本征态．　即：　Ｉ　ｎｋ＞＝ｎｋ　Ｉ　ｎｋ＞　（１７）　这里，　、　为光子数的产生、湮灭算符．则，场模的真空态（谐振子的基态）可定义为　１　０＞：０　（１８）　由（１６）、（１８）可得基态能量为　维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期　袁海良：电磁场的量子化及其数态描述　６１　＜０　Ｉ　１　０＞＝　（１９）　由于ｃｏｋ无上限，基态能量值为无限大，这导致量子化的辐射场理论出现了一个概念性困难．然而，　在实验中，我们测量的是电磁场总能量的变化，所以，无限大基态能量（零点能）实际上不会导致电磁场　总能量的变化量发散．　由于产生、湮灭算符　、　对数态的作用可表达为　Ｉ　＞＝ｎ　Ｉ　ｎｋ一１＞、　Ｉ　＞＝（ｎｋ＋１）　Ｉ　ｎｋ＋１＞　（２０）　所以，激发态态矢可以用产生、湮灭算符连续作用到真空上而得到，即：　．　Ｉ　＞：（　ｌ０＞０　：０’１＇２，…　（２１）　Ｉｌｋ：／　数态是正交　＜ｎｋ　Ｉ　ｎｌｋ＞＝　（２２）　和完备的　∑Ｉ　ｎｋ＞＜ｎｋ　Ｉ＝１　（２３）　Ｉｌｋ　它们构成了／／／／ｂｅｒｔ空间的一套完备的基矢．　数态适合于描述诸如７射线这样的光子数很少的高能光子，不适合于描述总光子数很大的光场．在　实验中也很难得到多光子数的数态．而大多数光场要么是数态（纯态）的迭加，要么就是数态（混合态）的　混合．尽管如此，电磁场的数态仍然是研究量子光学，包括一些激光理论的基础．　参考文献：　［１］李高翔，彭金生．高等量子力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００Ｏ．　［２］￣ｏ－Ｙａｎｇ（：ｈｅｎ，ＹａｈＸｕ，Ｚｈｉ—ＣｈｅｎｇＷａｎｇ．Ｐｈｏｔｏｎ　Ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｓｏｆ　ａＤｒｉｖｅｎＴｎｒｅｅ－ＬｅｖｄＡｔｏｍｉｎ　ａ　ｓｑｕｅ暖划ｖ０ｃＩＩｌｌｒｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｔｈｅ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｏｆ　Ｊａｐａｎ，１９９８，６７（８）：２７１５—２７２ｏ．　［３］ｚ．Ｃ．Ｗａｎｇ，Ｌ．Ｔａｎ．Ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｐｒｅｓｓｕｒｅ　ａ＂ｌｈｒｅｅ－ｌｅｖｄＡｔｏｍｉｎ　ａ　ＶｏａＨⅡＩ１［Ｊ］．Ｊｏｕｍａｌ　ｔｈｅ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｓｏｃｉｅｔｙ　ｏｆＪａｐａｎ．２００１，７９（１１），３００５—３６０９．　［４］Ｗ．Ｇａｒｄｉｎｅｒ．Ｈａｎｄｂｏｏｋ　ｏｆＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＭｅｈｔｏｄｉｎＰｈ￣［ｍ］．Ｃｈｅｍｉｓｔｒｙ，ｎａｄ　Ｎ咖ｒ８ｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，Ｂｅｒｌｉｎ，１９８３．　Ｑｕａｎｔｉｓａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　Ｆｉｅｌｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｓｔａｔｅ　Ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　Ｆｉｅｌｄ　ＹＵＡＮ　ＨａＰｌｍｎｇ　（Ｐｈｙｓｉｃｓ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｑｉｎｇｈａｉ　Ｎｏｍａａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｉｎｇ　８　１０００８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍ　Ｍａｘｗｅｌｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｆｒｅｅ　ｓｐａｃｅ　ａｎｄ　ｂｙ　ｃｏｎｖｅｒｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ　ｉｎ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｖｅｃｔｏｒ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｉｎｔｏ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｑｕａｎｔｉｓａｔｉｏｎ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ，ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｏｂｔａｉｎｓ　Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ　ｏｐｅｒａｔｏｒ，　ｗｈｉｃｈ　ｑｕａｎｔｉｓｅｓ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｆｉｅｌｄ．ａｎｄ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ　ｔｈｅ　ｎｕｍｂｅｒ　ｓｔａｔｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｉｅｌｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｎｔｉｓａｔｉｏｎ；Ｍａｘｗｅｌｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｖｅｃｔｏｒ　ｏｐｔｅｎｔｉａｌ；Ｈａｍｉｈｏｎｉｎａ　ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｎｕｍｂｅｒ　ｓｔａｔｅ