正余弦定理专题

1。正弦定理：

abc===2R。（关键点“比”） sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）

2.余弦定理:

a2=b2+c2－2bccosA；① b2=c2+a2－2cacosB；② c2=a2+b2－2abcosC. ③

在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.

b2c2a2c2a2b2a2b2c2cosA=； cosB=； cosC=。

2bc2ca2ab利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

(1）已知三边，求三个角; （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解\".

判断三角形的形状：

1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是( ） 答案：C A。等腰直角三角形 B.直角三角形 C。等腰三角形 D。等边三角形 2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（ ） 答案：C A。sinA+cosA=

1 5B.AB·BC＞0 C.tanA+tanB+tanC＞0 D。b=3，c=33，B=30°

解析：由sinA+cosA=

124 得2sinAcosA=－＜0,∴A为钝角. 525由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，∴cos〈BA，BC>＜0.∴B为钝角.

由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B)·（1－tanAtanB)+tanC＞0. ∴tanAtanBtanC＞0,A、B、C都为锐角.

3bcπ2π=，得sinC=，∴C=或.

2sinBsinC33sinBsinC3.在△ABC中,sinA=，判断这个三角形的形状.

cosBcosCbc解：a=2，所以b（a2－b2）+c（a2－c2)=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）22222cababc2ca2ab+bc（b+c）。所以a2=b2－bc+c2+bc。所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形。

解斜三角形（求角度和长度） 4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.

由

解析：由已知得（b+c)2－a2=3bc,∴b2+c2－a2=bc.∴

b2c2a21ππ=.∴∠A=. 答案：

2bc2335。在△ABC中,“A＞30°\"是“sinA＞A.充分而不必要条件

1”的 2B。必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条

件

解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1 sinA＞案：B

6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=解析：由S=

11；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°答221222

(a+b－c）,则∠C的度数是_______. 4111π（a2+b2－c2)得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=。 答案:45° 42447.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证:A=2B。

证明:用正弦定理，a=2RsinA,b=2RsinB，c=2RsinC,代入a2=b(b+c）中，得sin2A=sinB(sinB+sinC)

1cos2A1cos2B1－=sinBsin(A+B）（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B)

222sin(A+B)sin（A－B）=sinBsin（A+B），

因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin（A+B)≠0。所以sin（A－B）=sinB。所以只能有A－B=B，即A=2B。

sin2A－sin2B=sinBsinC该题若用余弦定理如何解决?

b2c2a2（b2c2）b（bc）cb解:利用余弦定理，由cosA===，

2bc2bc2b22（bc）ca2c2b22cb2cos2B=2cosB－1=2（）－1=－1=。

2ac2b2b（bc）c2所以cosA=cos2B。因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.

评述:高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换。这是命题者的初衷。

a2=b（b+c），得

8.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为

B

3,那么b等于（ ） 2答案：

23 D.2+3 231113解析：2b=a+c。平方得a2+c2=4b2－2ac。又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，

22242A。

13 2 B.1+3 C。

得ac=6。∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理,得

3a2c2b24b212b2b24cosB====，解得b2=4+23。又b为

22ac264边长，∴b=1+3。

31，sin(A－B）=。 55（1)求证：tanA=2tanB； （2)设AB=3,求AB边上的高。 9.已知锐角△ABC中，sin(A+B)=（1）证明：∵sin（A+B）=

31,sin（A－B）=， 5532sinAcosBcosAsinBsinAcosBtanA55∴ =2. ∴tanA=2tanB. 11tanBsinAcosBcosAsinBcosAsinB55（2)解:即

π33＜A+B＜π，∴sin（A+B）=。 ∴tan（A+B）=－， 25426tanAtanB3=－。将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=（负值

241tanAtanB26，∴tanA=2tanB=2+6. 23CDCDCD设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+6，所以AB边上的高为

tanAtanB26舍去).得tanB=

2+6.

10。在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及

bsinB的值。 c剖析:因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2bsinB可变形为=a,再用正弦定理可求的值.

cc解法一:∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。 又a2－c2=ac－bc,∴b2+c2－a2=bc. b2c2a2bc1在△ABC中,由余弦定理得 cosA===,∴∠A=60°。

2bc2bc23bsinBb2sin60bsinA2在△ABC中,由正弦定理得sinB=， ∵b=ac，∠A=60°,∴=sin60°=. 2caca11解法二:在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。

223bsinB=sinA=.

2c评述：解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

b2=ac

∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB. ∴

11.在△ABC中，若∠C=60°，则

ab=_______。 bcac

（*）

a2b2acbcabacbcc2a2b2acbca2acb2bcab解析：= =. 2bcac（bc）（ac）abacbcc∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.

取值范围题目

∴a2+b2=ab+c2. 代入（＊)式得=1. 答案:1

12。在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=范围。

解：∵b2=ac，∴cosB=

1sin2B的取值

sinBcosBa2c2b2a2c2ac1ac11π==（+)－≥. ∴0＜B≤，

2ac2ac2ca22321sin2B（sinBcosB）πy===sinB+cosB=2sin（B+）

sinBcosB4sinBcosB。∵

2ππ7ππ＜B+≤， ∴＜sin（B+）≤1。 故1＜y≤2.

24441213。已知△ABC中,22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为2. （1）求∠C; （2）求△ABC面积的最大值。

解:（1）由22（sinA－sinC）=(a－b）·sinB得22（

2

2

2

2

2

2

2

2

a24R2－

c24R2）=（a－b）

b。 2Ra2b2c21又∵R=2，∴a－c=ab－b。∴a+b－c=ab. ∴cosC==.又∵0°＜C＜180°，∴

2ab2C=60°。

（2）S=sinA）

311absinC=×ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°

2223333sin2A－sin2Acos2A+=3sin（2A－30°）+.

2222=3sinAcosA+3sin2A=

33。 214.在锐角△ABC中,边长a=1，b=2,则边长c的取值范围是_______。

∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=

a2b2c2解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1， ∴1＜c＜5.

2ab●思悟小结

ABCABC=cos，cos=sin 22222.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°. 3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC。

评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键。若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0。

1。在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin