正余弦定理

考纲展示 命题探究

考点一 正、余弦定理

1 正、余弦定理 定理 内容 正弦定理 abcsinA＝sinB＝sinC＝2R (其中R是△ABC外接圆的半径) a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝ab2RsinC；sinA＝2R，sinB＝2R，变形 形式 csinC＝2R； a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA； a＋b＋c＝2R sinA＋sinB＋sinC2 利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解．

(2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．

在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 b2＋c2－a2cosA＝2bc； a2＋c2－b2cosB＝2ac； a2＋b2－c2cosC＝2ab 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝a2＋c2－2accosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 图形 关系式 解的个数 a＝bsinA 一解 bsinAb 一解 上表中A为锐角时，a在利用正、余弦定理求解三角形中的三角函数问题时，要注意角的范围与三角函数符号之间的联系.

1．思维辨析

(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．( ) (2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等．( ) (3)已知两边及其夹角求第三边，用余弦定理．( )

(4)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )

(5)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.( )

(6)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是(3，2)．( )

3．在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．

[考法综述] 正、余弦定理是每年高考的必考内容，客观题与解答题均可出现．客观题以正、余弦定理的简单应用为主，解三角

形、判断三角形的形状，而解答题常与三角恒等变换相结合，属于解答题中的中低档题型，难度一般不会太大．

命题法 利用正余弦定理解三角形或判断其形状

典例 (1)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝( )

πA.3 3πC.4

2πB.3 5πD.6

Ba＋c

(2)在△ABC中，cos22＝2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

【解题法】 1.解三角形的常见题型及求解方法

abc(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及sinA＝sinB＝sinC，可先求出角C及b，再求出c.

(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C.

(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.

ab(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理sinA＝sinB可a求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由sinA＝cab可求出c，而通过＝sinCsinAsinB求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．

2．利用正、余弦定理判定三角形形状 三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π.

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式：

sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC； A＋BC

tan(A＋B)＝－tanC；sin2＝cos2； A＋BCcos2＝sin2.

(5)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC. (6)△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°. (7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．

1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB1π

＝2，C＝6，则b＝________.

3．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．

4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△

1

ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝－4，则a的值为________．

5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．

sin2A

6．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sinC＝________. 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b1

－c＝4a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．

8．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

sin∠B(1)求；

sin∠C

2

(2)若AD＝1，DC＝2，求BD和AC的长．

考点二 解三角形及其综合应用

1 三角形的面积公式

设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.

1

(1)S＝2ah(h为BC边上的高)； 111

(2)S＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB；

(3)S＝2R2sinAsinBsinC(R为△ABC外接圆半径)； abc(4)S＝4R；

1

(5)S＝pp－ap－bp－cp＝2a＋b＋c；

(6)S＝pr(p同(5)，r为△ABC内切圆的半径)． 2 解三角形在实际问题中的应用 (1)常见的几种题型

测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

(2)实际应用中的常用术语

术语名称 术语意义 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 续表 术语名称 术语意义 从某点的正北方向线起按顺时针方方位角 向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角，方位角的范围是(0°，360°) 正北或正南方向线与目标方向线所方向角 成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度 坡角 坡度 坡面与水平面的夹角 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比 设坡角为α，坡度为i，h则i＝l＝tanα 图形表示 图形表示 仰角与 俯角 注意点 应用定理解题中要等价变形 任何等价变形中，一般两边不约公因式，应移项提取公因式，以免漏解.

1．思维辨析

111

(1)公式S＝2bcsinA＝2acsinB＝2absinC适用于任意三角形．( )

(2)东北方向就是北偏东45°的方向．( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角．( )

(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是π

0，.( )

2

[考法综述] 正、余弦定理的应用主要是与三角形面积有关的题型，往往求某些量的取值范围．另外一个应用是求解实际问题．难度中等．

命题法 与三角形面积有关的问题和正、余弦定理的实际应用 典例 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，π

c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝3，则△ABC的面积是( )

A．3 33C.2

93B.2 D．33

(2)如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角

分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)

【解题法】 与三角形面积有关问题和应用题的解题方法 (1)与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略

111

①求三角形的面积．对于面积公式S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．

②已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

(2)解三角形应用题的常见情况及方法

①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

(3)解三角形应用题的一般步骤

1

1．钝角三角形ABC的面积是2，AB＝1，BC＝2，则AC＝( ) A．5 C．2

B.5 D．1

2．已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C1

－A－B)＋2，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是( )

A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>162 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24

π

3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝3，a＋b＝λ，若△ABC面积的最大值为93，则λ的值为( )

A．8

B．12

4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若4acosB＝5，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋sinA的值等于________．

7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．

8．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1)求BC的长； (2)求sin2C的值．

9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．

π

(1)证明：B－A＝2；

(2)求sinA＋sinC的取值范围．

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已π2212

知A＝4，b－a＝2c.

(1)求tanC的值；

(2)若△ABC的面积为3，求b的值．

11.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行． (1)求A；

(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．

12.

π

如图，在△ABC中，∠B＝3，AB＝8，点D在BC边上，且CD1

＝2，cos∠ADC＝7.

(1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长．

13．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.

(1)求a的值； πA＋(2)求sin4的值． 

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.

1→→已知BA·BC＝2，cosB＝3，b＝3.求：

(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．

在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判

断△ABC的形状．

[错解]

………………………………………………

………………………………………………

时间：60分钟

基础组

1.[2016·武邑中学月考]在△ABC中，若a＝2b，面积记作S，则下列结论中一定成立的是( )

A．B>30° C．cB．A＝2B D．S≤b2

2．[2016·冀州中学期末]△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )

3A.4 2C.4

2B.3 1D.4

3．[2016·枣强中学热身]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为( )

A．60° C．150°

B．30° D．45°

4．[2016·衡水中学一轮检测]在△ABC中，a，b，c分别为角A，

B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是( )

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形

D．等腰三角形或直角三角形

5．[2016·衡水二中周测]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a,2b,2c成等比数列，则cosAcosB＝( )

1A.4 1C.2

1B.6 2D.3

6．[2016·枣强中学仿真]某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是3 km，那么x的值为( )

A.3 C.3或23 答案 C

B．23 D．3

7．[2016·衡水二中月考]在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个cosAb

内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有cosB＝a，则角C的大小为________．

8.[2016·武邑中学热身]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，π

b，c，A＝3，a＝3，若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只

有一个，则b的取值范围为________．

9．[2016·衡水二中期中]已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，1C的对边，a＝43，b＝6，cosA＝－3.

(1)求c；

π

(2)求cos2B－4的值．



10.

101

为3，且cosB＝8，cos∠ADC＝－4.

(1)求sin∠BAD的值； (2)求AC边的长．

[2016·枣强中学模拟]如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长

11.[2016·衡水二中期末]在△ABC中，2sin2C·cosC－sin3C＝3(1－cosC)．

(1)求角C的大小；

(2)若AB＝2，且sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．

12．[2016·冀州中学仿真]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，π

B，C所对边的边长，且C＝3，a＋b＝λc(其中λ>1)．

(1)若λ＝3时，证明△ABC为直角三角形； →·→＝9λ2，且c＝3，求λ的值． (2)若ACBC8

能力组

13.[2016·衡水二中模拟]已知△ABC的三边长为a，b，c，且面积1222

S△ABC＝4(b＋c－a)，则A＝( )

πA.4 2πC.3

sinC＝5∶11∶13，则△ABC( )

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形

15．[2016·衡水二中仿真]在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2cos(B－C)＝4sinBsinC－1.

(1)求A；

B1

(2)若a＝3，sin2＝3，求b.

16．[2016·衡水二中热身]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，如图所示．则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？

π

B.6 πD.12

14.[2016·枣强中学期末]若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶