最小割集求法

相关概念 求解方法（行列法 结构法 布尔代数化简法） 相关概念

割集——也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。

径集——也叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生。那么，这些基本事件的集合称为径集。不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。

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求解方法 行列法

结构法

布尔代数化简法

行列法

行列法是1972年福塞尔提出的方法，所以也称其为福塞尔法。其理论依据是：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的数量；“或门”使割集的数量增加，而不增加割集的容量。这种方法是从顶上事件开始，用下一层事件代替上一层事件，把“与门”连接的事件，按行横向排列；把“或门”连接的事件，按列纵横向摆开。这样，逐层向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布尔代数化简。化简结果，就得出若干最小割集。

为了说明这种计算方法，我们以图4—25所示的事故树为例，求其最小割集。

事故树示意图

我们看到，顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连接的，所以，应当成列摆开，即

A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”，所以成行排列：

下面依此类推：

整理上式得：

下面对这四组集合用布尔代数化简，根据A·A＝A，则X1·X1＝X1，X4·X4＝X4，即

又根据A＋A·B＝A，则X1·X2＋X1·X2·X3＝X1·X2，即

于是，就得到三个最小割集{X1，X2}，{ X4，X5}，{ X4，X6}。按最小割集化简后的事故树，如图4－26所示:

事故树等效图

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结构法

这种方法的理论根据是：事故树的结构完全可以用最小割集来表示。

下面再来分析图4－25事故树示意图： A1∪A2＝X1·B1·X2∪X4·B2

＝X1·(X1∪X3)·X2∪X4·(C∪X6)

＝X1·X2∪X1·X3·X2∪X4·(X4·X5∪X6) ＝X1·X2∪X1·X2·X3∪X4·X4·X5∪X4·X6

＝X1·X2∪X1·X2·X3∪X4·X5∪X4·X6 ＝X1·X2∪X4·X5∪X4·X6

这样，得到的三个最小割集{ X1，X2}、{X4，X5}、{X4，X6}完全与上例用行列法得到的结果一致。说明这种方法是正确的。

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布尔代数化简法

这种方法的理论依据是：上述结构法完全和布尔代数化简事故树法相似，所不同的只是“∪”与“+”的问题。实质上，布尔代数化简法中的“+”和结构式中的“∪”是一致的。这样，用布尔代数化简法，最后求出的若干事件逻辑积的逻辑和，其中，每个逻辑积就是最小割集。现在还以图4－25为例，进行化简。

T＝A1＋A2＝X1·B1·X2＋X4·B2

＝X1·(X1＋X3)·X2＋X4·(C＋X6) ＝X1·X1·X2＋X1·X3·X2＋X4·(X4·X5

＋X6)

＝X1·X2＋X1·X2·X3＋X4·X4·X5＋

X4·X6

＝X1·X2＋X1·X2·X3＋X4·X5＋X4·X6

＝X1·X2＋X4·X5＋X4·X6

所得的三个最小割集{ X1，X2}、{X4，X5}、{X4，X6}与第一、第二种算法的结果相同。

总的来说，三种求法都可应用，而以第三种算法最为简单，较为普遍采用。