【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、
D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）yx﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+10）、（0，﹣3﹣10）、（0，﹣
2
4）；（3）存在，P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，30）、Q（1﹣22，4）． 【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论； （2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论． 【详解】
解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3， ∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）﹣4＝x﹣2x﹣3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x﹣2x﹣3， 令y＝0，则x﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴AC＝10，
设点E（0，m），则AE＝m21，CE＝|m+3|， ∵△ACE是等腰三角形，
∴①当AC＝AE时，10＝m21， ∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去）， ∴E（3，0），
②当AC＝CE时，10＝|m+3|， ∴m＝﹣3±10，
∴E（0，﹣3+10）或（0，﹣3﹣10）， ③当AE＝CE时，m21＝|m+3|，
2
2
22
4， 34∴E（0，﹣），
3∴m＝﹣
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+10）、（0，﹣3﹣10）、（0，﹣（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P， ∴点Q的纵坐标为4， 设Q（t，4），
将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
4）； 3∴t＝1+22或t＝1﹣22， ∴Q（1+22，4）或（1﹣22，4），
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4）， ∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P的横坐标为（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22， 即P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，0）、Q（1﹣22，4）．
2
【典例2】如图，抛物线yxbxc与直线y21x2交于C,D两点，其中点C在y2轴上，点D的坐标为(3,)。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点
72E，交CD于点F.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
【解析】（1）∵直线y1x2经过点C,∴C(0,2) 22 ∵抛物线yxbxc经过点C(0,2)，D(3,)
722c ∴7323bc27b2 c22 ∴抛物线的解析式为yx7x2 2（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上
∴P(m,m271m2),F(m,m2) 22 ∵PF∥CO，∴当PFCO时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形
① 当0m3时，PFm271m2(m2)m23m 222∴m3m2，解得：m11,m22
即当m1或2时，四边形OCPF是平行四边形
② 当m3时，PF(m2)(m1227m2)m23m 2m23m2，解得：m1317317,m2（舍去） 22即当m1317时，四边形OCFP是平行四边形 22【典例3】已知抛物线y1x2x3与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B， B两点（B在B的右侧），顶点D的对应点D，若BDB90，求B的坐标和抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B'（3，0），y2=-x+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+7，-3），（-1-7，-3），（0，-3），（4，-3）． 【解析】 【分析】
（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；
（2）设B'（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D'，判断出△BD'B'是等腰直角三角形，可得yD'=到关于t的方程，解出t即可求出B'的坐标和y2的解析式；
（3）分①若Q在B'右边，②若Q在B'左边：当B'Q为边时和当B'Q为对角线时，这几种情况讨论即可． 【详解】
解：（1）由题意得抛物线y1x2x3与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，
∴当y=0时，x22x3=0 即（x+3）（1-x）=0 解得x1=-3，x2=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
22
1|BB'|，即可得2当x=0时，y=-0-2×0+3=3， ∴C的坐标为（0，3），
综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）； （2）设B'（t，0）， 由题意得y2由y1平移所得， ∴a=-1，
∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x+（1+t）x-t，
t1∴D'（，
22
2
1t24t4），
∵B和B'是对称点，D'在对称轴上，∠BD'B'=90°， ∴△BD'B'是等腰直角三角形， ∴yD'=
1|BB'|， 221t∴
4t1=
42（t-1），
解得t=3， ∴B'（3，0）， ∴y2=-x2+4x-3；
（3）①若Q在B'右边，则P在x轴上方，且CP∥B'Q， ∴yP=yC=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去； ②若Q在B'左边，
当B'Q为边时，则CP∥B'Q， 此时yP=yC=3，P点在y1上， 将yP=3，代入y1得x22x3=3， 解得x1=0，x2=-2，
∴此时P的坐标为（-2，3）； 当B'Q为对角线时，则B'C∥QP， ∵yC-yB'=3， ∴yQ-yP=3，
∵Q在x轴上， ∴yP=-3，
将yP=-3代入y1得x22x3=3， 解得x1=-1+7，x2=-1-7， 将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3， 解得x1=0，x2=4，
∴P的坐标为：（-1+7，-3），（-1-7，-3），（0，-3），（4，-3），
综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+7，-3），（-1-7，-3），（0，-3），（4，-3）． 【典例4】如图，抛物线y=ax+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF． （1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
2
【解析】解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax+bx+3上， ∴
，
2
解得a=﹣1，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x+2x+3．
（2）在抛物线解析式y=﹣x+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：
，
22
解得k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3．
设E点坐标为（x，﹣x+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3）， ∴EF=yE﹣yF=﹣x+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x+3x． ∵四边形ODEF是平行四边形， ∴EF=OD=2，
∴﹣x+3x=2，即x﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2，
∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．
2
22
2
2
1tanOCA3，【典例5】如图，抛物线yaxbx3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，
2SABC6．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（3）设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．
【解析】解：（1）∵ yaxbx3
∴C (0,3) 又∵tan∠OCA=∴A（1，0） 又∵S△ABC=6 ∴
2y C B O A x 1 313AB6 2∴AB=4 ∴B（3，0）
（2）把A（1，0）、B（3，0）代入yaxbx3得：
2 0ab3
09a3b3∴a1，b2 ∴yx2x3
2 ∵y(x1)4
∴顶点坐标（1，4）
（3）①AC为平行四边形的一边时 E1析(1，0) E2（2 E3（227，0） 7，0）
②AC为平行四边形的对角线时
E4（3，0）
【典例6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． （1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2
【解析】：
（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；
2
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣t+3t，然后根据二次函数的最值得到 当t=﹣
=
2
2
2
3时，PM最长为2=
9，再利用三角形的面积公式利用S△4ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
【答案】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x+mx+n，得
解得
，所以抛物线的解析式是y=x﹣2x﹣3．
22
2
2
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得所以直线AB的解析式是y=x﹣3；
（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t﹣2t﹣3）， 因为p在第四象限，
所以PM=（t﹣3）﹣（t﹣2t﹣3）=﹣t+3t， 当t=﹣
=
2
2
2
，解得，
3时，二次函数的最大值，即PM最长值为2=
．
=
9， 4则S△ABM=S△BPM+S△APM=（3）存在，理由如下： ∵PM∥OB，
∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形， ①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有
2
9，所以不可能有PM=3． 4，t2=
（舍
②当P在第一象限：PM=OB=3，（t﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=去），所以P点的横坐标是
；
③当P在第三象限：PM=OB=3，t﹣3t=3，解得t1=的横坐标是
．
或
．
2
（舍去），t2=，所以P点
所以P点的横坐标是
【典例7】如图，抛物线经过A(1,0),B(5,0),C(0,)三点. (1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.
A O B C 52
y
2x
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 yaxbxc，
abc0, 根据题意，得25a5bc0,，
5c.21a,2解得b2,
5c.2∴抛物线的解析式为：yA C O y N' M P N B H x M'
125x2x. 22（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.
设直线BC的解析式为ykxb，
1k,5kb0,2由题意，得解得 55b.b.2215x. 22125∵抛物线yx2x的对称轴是x2，
22153∴当x2时，yx.
2223∴点P的坐标是(2,).
2∴直线BC的解析式为y（3）存在
(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为(0,)，∴点N的坐标为(4,). （II）当存在的点N在x轴上方时，如图所示，作NHx轴于点H，∵四边形ACMN是平行四边形，∴ACMN,NMHCAO, ∴Rt△CAO ≌Rt△NMH,∴NHOC. ∵点C的坐标为(0,),NH∴
'''''''5252''''52'55,即N点的纵坐标为， 221255x2x,即x24x100 222解得x1214,x2214.
∴点N的坐标为(214,)和(214,). 综上所述，满足题目条件的点N共有三个， 分别为(4,).，(214,)，(214,)
'5252525252
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