一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案写在答题卡上，每小题3分，共24分）
1．下列各数中，是无理数的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．某校八年级进行了三次数学测试，甲、乙、丙、丁4名同学三次数学成绩的平均分都是109分，方差分别是s
甲
2
＝3.6，s
乙
2
＝4.6，s
丙
2
＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学三次数
学成绩最稳定的是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
3．若点P是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（ ） A．（﹣2，3）
B．（2，﹣3）
C．（﹣3，2）
D．（3，﹣2）
4．如图，AB⊥AE于点A，AB∥CD，∠CAE＝42°，则∠ACD＝（ ）
A．112°
B．122°
C．132°
D．142°
5．某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示：则这10只手表的平均日走时误差（单位：秒）是（ ） 日走时误差（秒） 只数（只） A．0
0 3 B．0.6
1 4 C．0.8
2 2
D．1.1
的解是（ ） D．
3 1
6．已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组A．
B．
C．
7．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（ ） A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
8．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）16的算术平方根是 ．
10．（4分）如图，在四边形ABDC中，CD∥AB，AC⊥BC于点C，若∠A＝40°，则∠DCB的度数为 °．
11．（4分）祖冲之是我国著名的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．随着科技的不断发展，人们开始使用计算机来计算圆周率的小数位．数学杨老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计： 数字 频数
0 8
1 8
2 12
3 11
4 10
5 8
6 9
7 8
8 12
9 14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为 ．
12．（4分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式3a﹣b+1的值等于 ． 13．（4分）如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝5，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为 ．
三.（本题10分）
14．（10分）如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝50°，求∠AED的度数．
四、（本题10分）
15．（10分）从地面竖直向上抛射一个小球，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）是运动时间t（s）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（t＝0时物体的速度）为25m/s，经过2s物体的速度为5m/s．
（1）请你求出v与t之间的函数关系式；
（2）经过多长时间，物体将达到最高点？（此时物体的速度为0） 五、（本题10分）
16．（10分）列二元一次方程组解应用题：
小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？ 六、（本题12分）
17．（12分）为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含左端点值，不含右端点值）． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为 74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）第二组的学生人数是 人；
（2）第三组竞赛成绩的众数是 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的有多少人？
七、（本题14分）
18．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA＝2
，点D是射线AB上一点，连
接CD，在CD右侧作∠DCE＝90°，且CE＝CD，连接AE，已知AE＝1． （1）如图，当点D在线段AB上时， ①求∠CAE的度数； ②求CD的长；
（2）当点D在线段AB的延长线上时，请直接写出∠CAE的度数和CD的长．
2020-2021学年辽宁省沈阳市铁西区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案写在答题卡上，每小题3分，共24分）
1．下列各数中，是无理数的是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可． 【解答】解：A、B、
＝2，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
＝2，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、
属于无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．某校八年级进行了三次数学测试，甲、乙、丙、丁4名同学三次数学成绩的平均分都是109分，方差分别是s
甲
2
＝3.6，s
乙
2
＝4.6，s
丙
2
＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学三次数
学成绩最稳定的是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【分析】利用方差的意义求解即可．
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝46，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3， ∴s甲2＜s丙2＜s丁2＜s乙2，
∴这4名同学三次数学成绩最稳定的是甲， 故选：A．
3．若点P是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是（ ） A．（﹣2，3）
B．（2，﹣3）
C．（﹣3，2）
D．（3，﹣2）
【分析】根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．
【解答】解：点P到x轴的距离是2，则点P的纵坐标为±2， 点P到y轴的距离是3，则点P的纵坐标为±3， 由于点P在第二象限，故P坐标为（﹣3，2）， 故选：C．
4．如图，AB⊥AE于点A，AB∥CD，∠CAE＝42°，则∠ACD＝（ ）
A．112°
B．122°
C．132°
D．142°
【分析】直接利用平行线的性质结合垂直定义得出∠BAC度数以及∠ACD的度数． 【解答】解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°， ∴∠BAC＝90°﹣42°＝48°， ∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝132°． 故选：C．
5．某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示：则这10只手表的平均日走时误差（单位：秒）是（ ） 日走时误差（秒） 只数（只） A．0
0 3 B．0.6
1 4 C．0.8
2 2
D．1.1
3 1
【分析】利用加权平均数的定义求解即可． 【解答】解：这10只手表的平均日走时误差是故选：D．
6．已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点的坐标为（1，a），则方程组A．
B．
C．
D．
的解是（ ）
＝1.1（秒），
【分析】方程组的解是一次函数的交点坐标即可．
【解答】解：∵直线y＝2x经过（1，a） ∴a＝2，
∴交点坐标为（1，2），
∵方程组的解就是两个一次函数的交点坐标， ∴方程组的解故选：A．
7．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（ ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：A、因为一次函数y＝﹣2x+4中k＝﹣2＜0，因此函数值随x的增大而减小，故A选项正确；
B、因为一次函数y＝﹣2x+4中k＝﹣2＜0，b＝4＞0，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项正确；
C、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象，故C选项正确；
D、令y＝0，则x＝2，因此函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故D选项错误． 故选：D．
8．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
，
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝∵S△ABC＝3×3﹣∴∴∴BD＝故选：D．
二、填空题（每小题4分，共20分） 9．（4分）16的算术平方根是 4 ．
， ， ，
＝， ＝3.5，
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：∵42＝16， ∴
＝4．
故答案为：4．
10．（4分）如图，在四边形ABDC中，CD∥AB，AC⊥BC于点C，若∠A＝40°，则∠DCB的度数为 50 °．
【分析】根据平行线的性质定理，垂线的定义，三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°∵CD∥AB，
∴∠ACD+∠A＝180°， 即∠ACB+∠DCB+∠A＝180°， ∵∠A＝40°，
∴∠DCB＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣90°﹣40°＝50°． 故答案为：50．
11．（4分）祖冲之是我国著名的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．随着科技的不断发展，人们开始使用计算机来计算圆周率的小数位．数
，
学杨老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计： 数字 频数
0 8
1 8
2 12
3 11
4 10
5 8
6 9
7 8
8 12
9 14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为 9 ． 【分析】直接根据众数的定义可得答案．
【解答】解：圆周率的小数点后100位数字的众数为9． 故答案为：9．
12．（4分）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式3a﹣b+1的值等于 ﹣1 ． 【分析】把P（a，b）代入一次函数解析式得到b＝3a+2，然后把b＝3a+2代入3a﹣b+1后进行整式的加减运算即可．
【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上， ∴b＝3a+2，
∴3a﹣b+1＝3a﹣（3a+2）+1＝3a﹣3a﹣2+1＝﹣1． 故答案为﹣1．
13．（4分）如图，等边△ABC中，AB＝BC＝AC＝5，点M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM为边作等边△BMN，连接DN，则DN的最小值为
．
【分析】连接CN，由“SAS”可证△ABM≌△CBN，可得AM＝CN，∠BAD＝∠BCN＝30°，则点N在与BC成30度的射线CN上运动，当DN⊥CN时，DN有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，连接CN，
∵△ABC和△BMN是等边三角形，
∴AB＝BC，BM＝BN，∠ABC＝∠MBN＝60°， ∴∠ABM＝∠CBN， ∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝， 在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AM＝CN，∠BAD＝∠BCN＝30°， ∴点N在与BC成30度的射线CN上运动， ∴当DN⊥CN时，DN有最小值， ∵DN⊥CN，∠BCN＝30°， ∴DN＝CD＝， 故答案为． 三.（本题10分）
14．（10分）如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝50°，求∠AED的度数．
【分析】根据平行线的性质得出∠BAE+∠AED＝180°，∠BAC+∠C＝180°，求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，再求出答案即可． 【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，∠BAC+∠C＝180°， ∵∠C＝50°， ∴∠BAC＝130°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝
BAC＝65°，
∴∠AED＝180°﹣∠BAE＝115°． 四、（本题10分）
15．（10分）从地面竖直向上抛射一个小球，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）是运动时间t（s）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（t＝0时物体的速度）为25m/s，经过2s物体的速度为5m/s．
（1）请你求出v与t之间的函数关系式；
（2）经过多长时间，物体将达到最高点？（此时物体的速度为0）
【分析】（1）设v与t之间的函数关系式为v＝kt+b，由待定系数法求出其解就可以得出结论；
（2）根据（1）的一次函数的解析式的性质就可以求出结论． 【解答】解：（1）设v与t之间的函数关系式为v＝kt+b，由题意，得解得：
．
，
故v与t之间的函数关系式为v＝﹣10t+25． （2）物体达到最高点，说明物体向上的速度为0，则 0＝﹣10t+25， 解得t＝2.5．
答：经过2.5秒，物体将达到最高点． 五、（本题10分）
16．（10分）列二元一次方程组解应用题：
小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？
【分析】设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据“小颖家离学校1880米，且去学校共用了16分钟”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟， 依题意得：解得：
．
，
答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟． 六、（本题12分）
17．（12分）为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含左端点值，不含右端点值）． 信息二：第三组的成绩（单位：分）为 74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题：
（1）第二组的学生人数是 10 人；
（2）第三组竞赛成绩的众数是 76 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 78 分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的有多少人？
【分析】（1）根据各组数据的和为50可求出第二组的学生数； （2）根据众数、中位数的意义求解即可； （3）样本中成绩不低于80分的占调查人数的成绩不低于80分的人数．
【解答】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人）， 故答案为：10；
，因此估计总体1500人的
是
（2）第三组学生竞赛成绩出现次数最多的是76，因此众数是76，
将50名学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为78，因此中位数是78， 故答案为：76，78； （3）1500×
＝720（人），
＝
答：该校1500名参赛学生成绩不低于80分的大约有720人． 七、（本题14分）
18．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA＝2
，点D是射线AB上一点，连
接CD，在CD右侧作∠DCE＝90°，且CE＝CD，连接AE，已知AE＝1． （1）如图，当点D在线段AB上时， ①求∠CAE的度数； ②求CD的长；
（2）当点D在线段AB的延长线上时，请直接写出∠CAE的度数和CD的长．
【分析】（1）①证明△BCD≌△ACE得∠CAF＝∠B，再根据等腰直角三角形的性质便可得结果；
②连接DE，证明∠DAE＝90°，由勾股定理求得DE，再解Rt△CDE得CD的长度； （2）证明△BCD≌△ACE得∠CAF＝∠CBD，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理便可得结果．
【解答】解：（1）①∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠CAE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝45°， ∴∠CAE＝45°； ②连接DE，如图1，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CB＝CA＝2∴∠B＝∠BAC＝45°，AB＝∵△BCD≌△ACE，
∴∠B＝∠CAE＝45°，BD＝AE＝1， ∴∠DAE＝90°，AD＝AB﹣BD＝3， ∴DE＝
，
， ，
∵∠DCE＝90°，且CE＝CD， ∴∠CDE＝45°， ∴CD＝DE•cos45°＝
；
．
（2）∠CAE＝135°，CD＝
根据题意作出图形，连接DE，如图2，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠BCE＝∠DCE﹣∠BCE， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE＝1， ∵∠ACB＝90°，CB＝CA＝2∴AB＝
，
，∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠CAE＝∠CBD＝180°﹣∠ABC＝135°，AD＝AB+BD＝4+1＝5， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAB＝135°﹣45°＝90°， ∴DE＝
∵∠DCE＝90°，且CE＝CD， ∴∠CDE＝45°， ∴CD＝DE•cos45°＝
．
，
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