高考大题专项练第6页 1.(2019浙江杭州检测)如图是f(x)=2sin(ωx+φ)0<ω<2π,-<φ<的图像,A,B,D为函数图像与坐标轴的交点,直线AB与f(x)交于C,|AO|=1,2|AD|2+2|CD|2=4+|AC|2.
(1)求φ的值; (2)求tan∠DAC的值.
解(1)由f(x)=2sin(ωx+φ)0<ω<2π,-<φ<的图像,A,B,D为函数图像与坐标轴的交点,直线AB与f(x)交于C,|AO|=1,可得1=2sin φ,所以φ=
(2)如图,由三角函数图形的性子,可知四边形AECD是平行四边形,
可得2|AD|2+2|CD|2=4+|AC|2=|ED|2+|AC|2,解得|ED|=2,所以T=2,则ω=π,
所以f(x)=2sinπx+,所以B,0,D
6
6
π
5
116
,0,
1
kAC=-,kAD=-,
5
11
66
所以tan∠DAC=
-
6
1+
11566115
+
6
×=.
91
36
2.(2019天津和平区二模)已知函数f(x)=cos x(sin x-√3cos x),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解(1)由题意,得f(x)=cos xsin x-√3cosx=sin 2x-(1+cos 2x)=sin
2
2
2
2
1
√3
1
2x-cos 2x-=sin2x--.
2
2
3
2
√3√3
π
√3
所以f(x)的最小正周期T==π,其最大值为1-.
2
2
2π
√3
(2)令z=2x-,则函数y=2sin z的递增区间是-+2kπ,+2kπ,k
3
2
2
πππ
∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
2
3
2
12
12
π
π
π
π
5π
设A=,
3
π2π3
,B=x-+kπ≤x≤
12
π3
5π12
π512
π+kπ,k∈Z,
易知A∩B=,
.
所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增;在区间上单调递减.
2
3.(2019湖南株洲二模)如图,在四边形ABCD中,∠ADC=,AD=3,sin∠BCD=,连接BD,3BD=4BC.
3
3
2π
2
(1)求∠BDC的值;
(2)若BD=,∠AEB=,求△ABE面积的最大值. 解(1)在△BCD中,由正弦定理得,
∴sin∠BDC=
𝐵𝐶·sin∠𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐷
=.
2
1
∵3BD=4BC,∴BD>BC,∴∠BDC为锐角, ∴∠BDC=6.
(2)在△ABD中,AD=3,BD=√3,∠ADB=−=,
3
6
2
2π
π
π
π
∴AB=√𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=2√3.
在△ABE中,由余弦定理得AB=AE+BE-2AE·BE·cos, 3
222
π
∴12=AE2+BE2-AE·BE≥2AE·BE-AE·BE=AE·BE,当且仅当AE=BE时等号建立,∴AE·BE≤12,
∴S△ABE=2AE·BE·sin≤×12×=3√3, 322
即△ABE面积的最大值为3√3.
4.(2019吉林长春三模)在△ABC中,AB=6,AC=4√2.
3
1π1
√3
(1)若sin B=
2√23
,求△ABC的面积;
(2)若点D在BC边上且BD=2DC,AD=BD,求BC的长. 解(1)由正弦定理得,所以sin C=1,∠C=,
所以BC=√62-(4√2)2=2,所以S=×2×4√2=4√2.
12
(2)设DC=x,则BD=2x,由余弦定理可得
(2𝑥)2+(2𝑥)2-62
2·2𝑥·2𝑥
=-3
(2𝑥)2+𝑥2-(4√2)2
2·𝑥·2𝑥
, 解得x=
5√2
,所以BC=3DC=5√2.
5.(2019河北石家庄三模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为(1)求sin Bsin C;
(2)若10cos Bcos C=-1,a=√2,求△ABC的周长. 解(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=acsin B=
21
𝑎24sin𝐴
𝑎24sin𝐴
.
, ∴2csin Bsin A=a,
由正弦定理可得2sin Csin Bsin A=sin A,
∵sin A≠0,∴sin Bsin C=2; (2)∵10cos Bcos C=-1,∴cos Bcos C=-, 101
1
∴cos(B+C)=cos Bcos C-sin Bsin C=-5, ∴cos A=5,sin A=5, 4
3
4
3
则由bcsin A=
2
1
𝑎2
4sin𝐴
,可得bc=,由b2+c2-a2=2bccos A,
16
25
可得b+c=, 8
22
31
∴(b+c)2==7,可得b+c=,经查验切合题意,
∴三角形的周长a+b+c=√2+√7.
6.(2019上海杨浦区二模)已知函数f(x)=(1+tan x)·sin 2x. (1)求f(x)的定义域;
(2)求函数F(x)=f(x)-2在区间(0,π)内的零点.
解(1)由正切函数的性质可求f(x)的定义域为xx∈R,x≠+kπ,k∈
2π
Z.
(2)∵f(x)=1+
π4
sin𝑥cos𝑥
·2sin xcos x=sin 2x+2sin2x=sin 2x-cos
2x+1=√2sin2x-+1,
∴F(x)=f(x)-2=√2sin2x-4-1=0,
解得2x-=2kπ+,k∈Z,或2x-=2kπ+,k∈Z,
4
4
4
4
π
π
π
3π
π
即x=kπ+,k∈Z,或x=kπ+,k∈Z,
4
2
ππ
又x∈(0,π),∴k=0时,x=,或x=, 4
2
ππ
故F(x)在(0,π)内的零点为x=,或x=.
4
2
ππ
5
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