湖北省武汉市青山区统考 2017-2018 学年八年级上期
期末数学试题
一、你一定能选对!（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1. 下列图案是轴对称图形的是（
）
A．
B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解． 解：A、此图形不是轴对称图形，不合题意； B、此图形不是轴对称图形，不合题意； C、此图形是轴对称图形，符合题意； D、此图形不是轴对称图形，不合题意； 故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 使分式 有意义的 x 的取值范是（ ）
A．x≠3 B．x＝3 C．x≠0 D．x＝0
【分析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案． 解：分式
有意义，则 3﹣x≠0，
解得：x≠3． 故选：A．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 3．（ 3 分）PM2.5 是指大气中直径≤0.0000025 米的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为（ A．2.5×10﹣7
）
C．25×10﹣7
D．0.25×10﹣5
B．2.5×10﹣6
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n， 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起
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word版 数学 第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 解：0.0000025＝2.5×10﹣6， 故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a| ＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 解：A、是整式的乘法，故 A 不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 C 符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 不符合题意； 故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化
）
成几个整式积的形式． 5．下列运算中正确的是（ A．x2•x3＝x6
C．（﹣2x2）3＝﹣2x6
）
B．（x+1）2＝x2+1 D．a8÷a2＝a6
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 解：∵x2•x3＝x5，故选项 A 错误， ∵（x+1）2＝x2+2x+1，故选项 B 错误， ∵（﹣2x2）3＝﹣8x6，故选项 C 错误， ∵ a8÷a2＝a6，故选项 D 正确， 故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
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6. 如图，将两根钢条 AA′、BB′的中点 O 连在一起，使 AA′、BB′能绕着
点 O 自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知 A′B′的长等于内槽宽 AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
【分析】由 O 是 AA′、BB′的中点，可得 AO＝A′O，BO＝B′O，再有∠AOA′ ＝∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法 SAS，判定△OAB≌△OA′B′．解：∵O 是 AA′、BB′的中点， ∴AO＝A′O，BO＝B′O，
在△OAB 和△OA′B′中
，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．
【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、 SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．
7. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（
）
A．
B．
C． D．
【分析】根据分式的性质，可得答案． 解：A、B、
＝
＝
＝＝
，此选项错误； ，此选项正确；
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word版 数学 C、
＝﹣
，此选项错误；
D、若 c＝0，则变形无意义； 故选：B．
【点评】本题考查了分式的性质，分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数 （ 或整式），结果不变．
8. 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时
间与原计划生产 450 台机器所时间相同，设原计划平均每天生产 x 机器， 根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． C．
＝
B． D．
【分析】根据现在生产 600 台机器时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同， 所以可得等量关系为：现在生产 600 台机器时间＝原计划生产 450 台时间． 解：设原计划平均每天生产 x 机器，根据题意得：
＝
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间＝工作总量÷ 工作效率．
9. 如图，已知每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的格点（顶点）上，
请在图中找一个格点 C，使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，这样的格点C有（
）
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7
【分析】以 AB 为腰，画出图形，即可找出点 C 的个数．
【解答】解：当 AB 为腰时，分别以 A、B 点为顶点，以 AB 为半径作圆，可找
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word版 数学 出格点点 C 的个数有 6 个；
使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，这样的格点 C 有 6 个． 故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
10. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠DAB，∠ABD＝52°，∠ABC
＝116°，∠ACB＝α°，则∠BDC 的度数为（ ）
A．α B． C．90﹣α D．90﹣ α
【分析】过 C 作 CE⊥AB 于 E，CF⊥BD 于 F，CG⊥AD 于 G，依据 BC 平分∠ DBE，AC 平分∠BAD，即可得到 CD 平分∠BDG，再根据三角形外角性质， 即可得出∠BDC 的度数．
解：如图，过 C 作 CE⊥AB 于 E，CF⊥BD 于 F，CG⊥AD 于 G， ∵∠ABD＝52°，∠ABC＝116°， ∴∠DBC＝∠CBE＝64°， ∴BC 平分∠DBE， ∴CE＝CF， 又∵AC 平分∠BAD， ∴CE＝CG， ∴CF＝CG，
又∵CG⊥AD，CF⊥DB，
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word版 数学 ∴CD 平分∠BDG，
∵∠CBE 是△ABC 的外角，∠DBE 是△ABD 的外角，
∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAB＝ （∠DBE﹣∠DAB）＝ ∠ADB， ∴∠ADB＝2∠ACB＝2α°， ∴∠BDG＝180°﹣2α°， ∴∠BDC＝ ∠BDG＝90°﹣α°， 故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角与内角、三角形外角的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作垂线，进而得到 CD 平分∠BDG． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置，
11. 分式 的值为 0，则 x 的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到 x﹣1＝0 且 x≠0，易得 x＝1． 解：∵分式
的值为 0，
∴x﹣1＝0 且 x≠0， ∴x＝1． 故答案为 1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时， 分式的值为零．
12．当 a≠﹣1 时，（a+1）0＝ 1 ． 【分析】直接利用零指数幂的性质得出答案． 解：当 a≠﹣1 时，（a+1）0＝1． 故答案为：1．
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word版 数学 【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握定义是解题关键． 13．计算：2ab2•（﹣3ab）＝ ﹣6a2b3 ．
【分析】首先利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式进行计算即可． 解：原式＝﹣6a2b3， 故答案为：﹣6a2b3．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握计算法则． 14．已知 a+b＝5，ab＝3，
＝
．
＝
，计算可
【分析】将 a+b＝5、ab＝3 代入原式＝得． 解：当 a+b＝5、ab＝3 时， 故答案为：
．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．
15. 如图，一块直径为 a+b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为 a 与 b 的两个圆，
则剩下的钢板的面积为
π ．
【分析】由大圆面积减去两个小圆的面积表示出剩下的钢板面积即可． 解：由题意得：剩下的钢板面积为：（
222）π﹣（ ）π﹣（ ）π＝ （a2+2ab+b2
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word版 数学 ﹣a2﹣b2）＝ π， 故答案为：
π．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16 .
如图，等边△ABC 的边长为 1，CD⊥AB 于点 D，E 为射线 CD 上一点，以 BE 为边在 BE 左侧作等边△BEF，则 DF 的最小值为
．
【分析】首先证明△CBE≌△ABF，推出∠BAF＝∠BCE，由 CA＝CB，CD⊥AB， 推出∠BCE＝∠ACB＝30°，AD＝BD＝4，推出∠BAF＝30°＝定值，根据垂线段最短可知，当 DF⊥AF 时，DF 的值最小． 解：如图，∵△ABC，△BEF 的是等边三角形， ∴AB＝BC，BF＝BE，∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝60°， ∴∠CBE＝∠ABF， 在△BCE 和△BAF 中，
，
∴△CBE≌△ABF（SAS）， ∴∠BAF＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴∠BCE＝ ∠ACB＝30°，AD＝BD＝ ， ∴∠BAF＝30°＝定值，
∴根据垂线段最短可知，当 DF⊥AF 时，DF 的值最小， ∴DF 的最小值＝AD＝． 故答案为 ．
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【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．垂线段最短等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质判断出∠FAD＝30°＝定值，属于中考常考题型．
三、解下列各题（本大题共 8 小题，共 72 分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程，满算步骤或画出图形． 17．（8 分）计算： （1）（x﹣8）（x+1） （2）
【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则计算可得； （2）先通分，再计算加法，继而约分即可得． 解：（1）原式＝x2+x﹣8x﹣8＝x2﹣7x﹣8；
（2）原式＝＝
+
＝
【点评】本题主要考查分式的加减法和多项式乘多项式，解题的关键掌握异分母分式加减运算顺序和法则及多项式乘多项式的法则． 18．（8 分）因式分解： （1）9a2﹣4 （2）ax2+2a2x+a3
【分析】（1）根据公式法分解因式即可；
（2）根据提公因式法与公式法的综合运用分解因式即可．
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word版 数学 解：（1）9a2﹣4＝（3a+2）（3a﹣2） （2）ax2+2a2x+a3＝a（x+a）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 19．（8 分）先化简，再求值：
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 解：当 x＝2 时， 原式＝＝x+1 ＝3
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（8 分）甲工程队单独完成一项工程需 3n 天，乙工程队要比甲队多用 9 天单独完成这项工程．
（1） 甲工程队一天完成这项工程的
，其中 x＝2
•
；乙工程队一天完成这项工程的
；
（2） 甲工程队比乙工程队一天多完成这项工程的几分之几？
【分析】根据题意先分别求出甲队和乙队每天的工作量，再把两者相减即可得出答案．
解：（1）甲队每天完成的工作量为：乙队每天完成的工作量为
，
，
（ 2 ） 甲 工 程 队 比 乙 工 程 队 一 天 多 完 成 这 项 工 程 的 工 作 量 是 ：
；
故答案为：；．
，关键是
【点评】此题考查了列代数式，用到的知识点是工作效率＝ 根据题意分别求出甲队和乙队每天的工作量．
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word版 数学 21．（8 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 边上，且 BE＝CF，BD＝CE．
（1） 求证：△DEF 是等腰三角形； （2） 当∠A＝40°时，求∠DEF 的度数．
【分析】（1）由 AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF 是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF 的度数． 证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE 和△CEF 中
，
∴△DBE≌△CEF， ∴DE＝EF，
∴△DEF 是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△CEF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝ （180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70°
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【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是 180°，因此有一定的难度，属于中档题． 22．（10 分）张明和李强两名运动爱好者周末相约到东湖绿道进行跑步锻炼．
（1） 周日早上 6 点，张明和李强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距
离分别为 4.5 千米和 1.2 千米的绿道落雁岛入口汇合，结果同时到达，且张明 每分钟比李强每分钟多行 220 米，求张明和李强的速度分别是多少米/分？
（2） 两人到达绿道后约定先跑 6 千米再休息，李强的跑步速度是张明跑步速度
的 m 倍，两人在同起点，同时出发，结果李强先到目的地 n 分钟． ①当 m＝12，n＝5 时，求李强跑了多少分钟？ ②张明的跑步速度为
【分析】（1）设李强的速度为 x 米/分，则张明的速度为（x+220）米/分，根据等量关系：张明和李强所用时间相同，列出方程求解即可；
（2）①根据路程一定，时间与速度成反比，可求李强跑了多少分钟； ②先根据路程一定，时间与速度成反比，可求李强跑了多少分钟，进一步得到张明跑了多少分钟，再根据速度＝路程÷时间求解即可． 解：（1）设李强的速度为 x 米/分，则张明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：解得：x＝80，
经检验，x＝80 是原方程的根，且符合题意， ∴x+220＝300．
答：李强的速度为 80 米/分，张明的速度为 300 米/分． （2）①∵m＝12，n＝5， ∴5÷（12﹣1）＝ （分钟）．
＝
，
米/分（直接用含 m，n 的式子表示）．
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word版 数学 故李强跑了
分钟；
分钟， +n＝
分钟， ＝．
米/
②李强跑了的时间：张明跑了的时间：
张明的跑步速度为：6000÷分． 故答案为：
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．（10 分）已知，△ABC 是等边三角形，过点 C 作 CD∥AB，且 CD＝AB，连接 BD 交 AC 于点 O
（1） 如图 1，求证：AC 垂直平分 BD；
（2） 点 M 在 BC 的延长线上，点 N 在 AC 上，且 ND＝NM，连接 BN．
①如图 2，点 N 在线段 CO 上，求∠NMD 的度数； ②如图 3，点 N 在线段 AO 上，求证：NA＝MC．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和旋转的性质证明即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法，证明△AND≌△CMD， 再利用全等三角形的对应边相等证明即可． 证明：（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
①以点 C 为旋转中心，将线段 CA 按顺时针方向旋转 60°得到线段 CD， ∴CD＝CA，∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴BO＝DO，CO⊥BD， ∴AC 垂直平分 BD；
（ 2 ） ① 如 图 2 ， 由 ① 知 AC 垂 直 平 分 BD ，
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∴NB＝ND，∠CBD＝ ∠ABC＝30°， ∴∠NDO＝∠NBO ∴∠BND＝180°﹣2∠NBO ∵ND＝NM， ∴NB＝NM，
∴∠3＝∠4，∠BNM＝180°﹣2∠4，
∴∠DNM＝360°﹣180°+2∠NBO﹣180°+2∠4＝2（∠NBO+∠4）＝60°， ②连接 AD，如图 3，
由题意知，△ACD 是等边三角形， ∴∠ADC＝60°，AD＝CD，
与（1）同理可证∠1＝∠NBO，∠3＝∠NBM， ∠BND＝180°﹣2∠NBO，∠BNM＝180°﹣2∠NBM， ∴∠MND＝∠BND﹣∠BNM＝2（∠NBM﹣∠NBO）＝60°， ∵ND＝NM，
∴△MND 是等边三角形，
∴DN＝DM，∠NDM＝60°，∠ADC＝∠NDM， ∴∠NDA＝∠MDC， 在△AND 与△MDC 中
，
∴△AND≌△CMD， ∴NA＝MC．
【点评】本题主要考查线段的旋转、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质等，解决此题的关键是能将三角形的判定和性质、等边三角形的相关性质灵活的应用．
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word版 数学 24．（12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点 A（a，0）点 B（0，b），且 a、b 满足 a2+4a+4+|2a+b|＝0 （1）a＝ ﹣2 ；b＝ 4 ．
（2）点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB＝45° ①若点 P 在 x 轴上，则点 P 的坐标为 （4，0） ； ②若△ABP 为直角三角形，求点 P 的坐标；
（2）如图 2，在（2）的条件下，点 P 在第四象限，∠BAP＝90°，AP 与 y 轴交于点 M，BP 与 x 轴交于点 N，连接 MN，求证：MP 平分△BMN 的一个外角．
【分析】（1）利用非负数的和等于 0，即可建立方程组求出 a，b；
（2） ①利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；
②分两种情况，利用等腰三角形的性质，及全等三角形的性质求出 PC，BC，即可得出结论；
（3） 先判断出∠PMG＝∠AHP，再 SSS 判断出△PMN≌△PHN，得出∠AHP＝
∠PMN，即可得出结论． 解：（1）∵a2+4a+4+|2a+b|＝0， ∴（a+2）2+|2a+b|＝0， ∴a＝﹣2，b＝4， 故答案为：﹣2，4；
（2）①如图 1，由（1）知，b＝4， ∴B（0，4）， ∴OB＝4，
点 P 在直线 AB 的右侧，且在 x 轴上， ∵∠APB＝45°，
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word版 数学 ∴OP＝OB＝4， ∴P（4，0）， 故答案为：（4，0）；
②由（1）知 a＝﹣2，b＝4， ∴A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°， ∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°， 如图 3，
Ⅰ、当∠ABP＝90°时，∵∠APB＝∠BAP＝45°， ∴AB＝PB ，
过点 P 作 PC⊥OB 于 C， ∴∠BPC+∠CBP＝90°， ∵∠CBP+∠ABO＝90 °， ∴∠ABO＝∠BPC，
在△AOB 和△BCP 中，
，
∴△AOB≌△BCP（AAS）， ∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2， ∴OC＝OB﹣BC＝2， ∴P（4，2），
Ⅱ、当∠BAP＝90°时， 过点 P'作 P'D⊥OA 于 D， 同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA， ∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4， ∴OD＝AD﹣OA＝2， ∴P'（2，﹣2）；
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word版 数学 即：满足条件的点 P（4，2）或（2，﹣2）；
（3）如图 2，由（2）知点 P（2，﹣2）， ∵A（﹣2，0），
∴直线 AP 的解析式为 y＝﹣x﹣1， ∴M（0，﹣1）， ∴BM＝5，
同理：直线 BP 的解析式为 y＝﹣3x+4， ∴N（，0）， ∴MN＝ ，
过点 P 作 PH∥AB 交 x 轴于 H， ∵∠BAP＝90°， ∴∠BAO+∠PAH＝90°， ∴∠BAO+∠ABM＝90°， ∴∠ABM＝∠PAH，
在△ABM 和△PAH 中，
，
∴△ABM≌△PAH（ASA）， ∴∠AMB＝∠PHA，AH＝BM＝5， ∴∠PMG＝∠PHA，OH＝AH﹣OA＝3， ∴H（3，0），
∴NH＝3﹣ ＝＝MN，
∵P（2，﹣2），M（0，﹣1），H（3，0）， ∴PM＝ ，PH＝∴PM＝PH，
∴△PNM≌△PNH（SSS）， ∴∠AHP＝∠PMN， ∴∠PMG＝∠PMN，
，
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word版 数学 即：MP 是△BMN 的一个外角的平分线．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了非负性，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，构造全等三角形是解本题的关键．
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