2009-2010(秋)线性代数考试试题(A)

2009 ~2010学年秋季学期

线性代数（B）课程考试试题（2010.1）

题号 得分

一 二 三 四 五 六 七 八 总分 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）

1．已知A为3阶方阵，且A2，则2A ；

1012．已知矩阵A021，则A的秩R(A) ；

0003．设A为n阶方阵，满足A2AE，则A1 ；

4．设1,2是n元非齐次线性方程组Axb的两个解，且A的秩R(A)n1，则 Axb的通解x ；

5．设A是n阶方阵，A0，A*是A的伴随矩阵．若A有特征值，则2A*征值是 ．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1．3阶方阵A(aij)33，A的行列式A3，Aij是A中元素aij的代数余子式，则

1必有一个特

(a11A11a12A12a13A13)2(a11A21a12A22a13A23)2(a11A31a12A32a13A33)2=【 】 ； (A) -3； (B) 2； (C) 9； (D) 0．

xy0,2． 已知线性方程组2x3y5,

2xya.有解，则a【 】；

(A) 2； (B) 1； (C) 3 ； (D) 0．

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考生诚信承诺

1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。 2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。

学院： 班级： 学号： 姓名：

3．设A是4阶方阵，且A的行列式A0，则A中【 】； (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例；

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任意列向量是其余列向量的线性组合．

1A4． 设2215； ，则【 】

2(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 0．

225． 若二次型fx1,x2,x32x12x2x32x1x2ax2x3是正定二次型，则a的取值范围是

2212相似于对角阵1【 】．．

(A) 2a2； (B) 2a2； (C) 2a2； (D) 2a2．

三、（本题满分14分）

1011121．已知4阶行列式D210111

ba1a1ba2a221，求2A11A21A312A41； 21a2an11a2an11a3a3ban． 112． 计算n1阶行列式Dn1a1a1

四、 (本题满分14分)设n阶方阵A和B满足条件：ABAB．

(1) 证明：AE是可逆矩阵，其中E是n阶单位矩阵；

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130(2) 已知矩阵B210，求矩阵A．

002

五、(本题满分14分) 当a、b为何值时，线性方程组

x3x40,x1x2x22x32x41, x2a3x32x4b,x3ax41.3x12x2有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．

六、(本题满分10分) 设0是非齐次线性方程组Axb的一个解，1,2,3是对应的齐次线性方程组

Ax0的一个基础解系，证明：

(1) 0,1,2,3线性无关；

(2) 0,10,20,30线性无关．

22七、（本题满分12分） 二次型f(x1,x2,x3)x12x2x32x1x2经正交变换xPy变为标准形

22，求出该正交变换． y22y3

八、(本题满分6分) 设1,2是n元非齐次线性方程组Axb的两个解，A为n阶方阵，证明： (1) 存在一个非零向量与A的每一个行向量都正交；

(2) A0．

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