半导体物理第三章半导体中载流子的统计分布

第三章 半导体中载流子的统计分布

第三章 Part 1 3.1 状态密度 3.2 3 2 费米能级和载流子的统计规律 3.3 电子和空穴浓度的一般表达式 电子和空穴浓度的 般表达式 3.4 本征半导体的载流子浓度 3.5 杂质半导体的载流子浓度 3.6 杂质补偿半导体 3.7 3 7 简并半导体

3.1 状态密度 状态密度g(E) dZ(E) g( E ) = dE

表示在能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数。 dZ 为E到E+dE内的量子态数 计算状态密度的方法：

1、k空间的量子态密度 1 k空间的量子态密度 2、dZ或Z(E) dZ=k空间量子态密度×能量间隔对应的k空间体积 Z(E)=k空间量子态密度×能量为E的等能面在k空间的体积

一、导带底附近的状态密度 1、k空间的量子态密度

对于边长为L的立方晶体，波矢 对于边长为L的立方晶体 波矢 k 的三个分量为 的三个分量为： n n n 即( k x = x ， = y ， z = z ) k ky k x ,k y ,k z L L L 其中 n x , n y , n z 取 0，±1，±2… 每 个代表点都与体积为 每一个代表点都与体积为 1 = 1 的一个小 的 个小 L3 V 立方体相联系 即 k 空间中，电子的状态密度是V 若考虑电子的自旋，量子态密度是2V。 若考虑电子的自旋 量子态密度是2V

一、导带底附近的状态密度 2、求dZ或Z 2 dZ Z ①等能面为球面：

1 h2k 2 假设导带底在k=0，即 E (k ) = EC + * 2 mn 以

k 为半径的球面对应E，以 k + d k 为半径的球面对应E+dE dZ = 2V × 4πk dk

2

由 E - k 关系可解得 关系可解得： (2m ) ( E - EC ) k= h 2 n 1 1 2

m dE kdk = 2 h n

一、导带底附近的状态密度 得到

(2m ) dZ = 4π V ( E - EC ) dE h 1 2 3 ? 2 n 3 所以

(2m ) g ( E ) = 4π V ( E - EC ) h 3 ? 2 n 3 1 2

一、导带底附近的状态密度

②实际材料： 对于Si、Ge来说，在导带底附近等能面为旋转椭球面 假设有S个能谷，在每个能谷附近：

2 2 ? k x + k y k z2 ? h E( k ) = Ec + + ? ? 2 ? mt ml ? 2 将上式变形 2 kx

2mt ( E ? Ec ) h2 态数为 + 2 ky

2mt ( E ? Ec ) h2

+

k z2 2ml ( E ? Ec ) h2 =1

能量为E的等能面在k空间所围成的s个旋转椭球体积内的量子 4 2 mt ( E ? Ec ) [2 ml ( E ? Ec )]1 2 Z ( E ) = 2Vs π 3 h2 h 一、导带底附近的状态密度 则导带底（附近）状态密度为

(8s m ml ) dZ ( E ) gC ( E ) = = 4π V dE h 2 2 t 3 12 ( E ? Ec) 12

* mn = mdn = ( s 2 mt2 ml )1 3 令 ，称 m 为导带底电子状态密度 dn

有效质量，则 有效质量 则

(2m ) dZ d (E) = 4π V gC ( E ) = dE h * 32 n 3 ( E ? Ec) 12

二、价带顶的状态密度

①等能面为球面： ①等能面为球面 h2k 2 E (k ) = Ev 2m* p g v ( E ) = 4π V ? (2 m * ) 3 2 p h 3

( Ev - E )1 2

②实际材料： 价带顶在 价带顶在k=0，而且重空穴带 (mp)h和轻空穴带 (mp)l在布里渊区 而 空穴带 ( ( 在布 渊区 的中心处重合。它们的等能面可以近似为球面。 价带顶附近的状态密度:

g v ( E ) = g v ( E ) h + g v ( E )l = 4π V ?

(2m ) h * 32 p 3 ( Ev - E ) 12

m* = mdp = [(m p )3 2 + (m p )3 2 ]2 3 为价带顶空穴状态密度有效质量 p l h

gc(E)与(E-EC)之间有抛物线性关系： * (2mn )3 2 ( E ? Ec)1 2 gC ( E ) = 4π V h3 能量越高，状态密度越大。 能量越高 状态密度越大 C c V v

gv(E)与(Ev-E)之间也呈抛物线性关系 g v ( E ) = 4π V ? (2m* )3 2 p h 3 ( Ev - E ) 12

3.2 费米能级和载流子的统计分布 一、费米分布函数和费米能级

能量为E的量子态被电子占据的几率f(E)为： 1 f (E ) = E ? EF 1 + exp k 0T

f(E)称为电子的费米分布函数/费米-狄拉克分布函数 f(E)的物理意义：是描写热平衡状态下，电子在允许的量 f(E)的物理意义 是描写热平衡状态下 电子在允许的量 子态上如何分布的一个统计分布规律。 EF是描述热平衡状态下电子系统性质的一个参考量，称为 费米能级

一、费米分布函数和费米能级

如果将半导体中大量电子的集体看成是一个热力学系统，由统计 理论可以证明，费米能级就是这个热力学系统的化学势，即

F EF = μ = ( )T ?N

处于热平衡状态的电子系统具有统一的EF 只要知道了EF，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布 也就完全确定了。

一、费米分布函数和费米能级 分析费米分布函数的性质： 1 f (E) = E ? EF 1 + exp k0T 当T=0K时， E < EF E > EF 则 则 f (E) = 1 f (E) = 0

一、费米分布函数和费米能级 1 f (E) = E ? EF 1 + exp k0T 当T>0k时， E = EF 则 则 则 1 f(E) = 2

1 f (E) > 2 1 f (E) < 2 E < EF E > EF

随着温度升高，E>EF的量子态被占据的几率 增大；而EEF是量子态基本上被电子占据或基本上空着的一 是量子态基本上被电子占据或基本上空着的 个分界线。 EF的位置比较直观的标志了电子占据量子态的状况 EF标志着电子填充能级的水平。

二、玻耳兹曼分布函数

当E-EF>>koT时，费米分布函数 1 f (E) = E ? EF 1 + exp k0T 简化为： 简化为

E ? EF ? ? EF ? ? E ? ? E ? fB (E) = exp? ? ? = exp? ? exp? ? ? = Aexp? ? ? ? k0T ? ? k0T ? ? k0T ? ? k0T ?

这是电子的玻耳兹曼统计分布函数。 二、玻耳兹曼分布函数

玻耳兹曼分布函数是对费米分布函数 在E-EF>>koT （高能态）时的近似。

当EF-E>>koT时，可以得到

EF ? E ? ? E ? 1 ? f ( E ) = exp ? ? ? = B exp ? ? k0T ? ? ? k0T ? 这是空穴的玻耳兹曼分布函数