高一期末复习之立体几何初步(知识点和配套习题)

高 一 期 末 复 习

立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共

边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱

'''''AD'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且

相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图

是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何

体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

''''''''''

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

'S直棱柱侧面积ch S圆柱侧2rh S正棱锥侧面积1ch' S圆锥侧面积rl2S正棱台侧面积1(c1c2)h' S圆台侧面积(rR)l 22rrl S圆锥表rrl S圆台表r2rlRlR2

S圆柱表（3）柱体、锥体、台体的体积公式

V柱Sh V圆柱Shr2h V锥1Sh V圆锥1r2h

331'11'''V(SSSS)h(r2rRR2)h V台(SSSS)h圆台333

2

（4）球体的表面积和体积公式：V球=4R3 ； S球面=4R34、空间点、直线、平面的位置关系 （1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作Al； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。 （2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1：Al,Bl,A,Bl

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一

平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 （4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：PABABl,Pl 公理3的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 （5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：aα a∩α＝A a∥α

（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；α∥β

相交——有一条公共直线。α∩β＝b 5、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行线面平行

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

（2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理

（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（线面平行→面面平行），

（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行→面面平行），

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间直角坐标系

（1）定义：如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点， 分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。 这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

1）O叫做坐标原点 2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z) 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

（4）空间两点距离坐标公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

典型例题

1、关于直线a、b、l与平面M、N，下列命题中正确的是（ ） A．若a∥M，b∥M，则a∥b B．若a∥M，b⊥a，则b⊥M

C．若aM，bM，则l⊥a，l⊥b，则l⊥M D．若a⊥M，a∥N，则M⊥N

2、若l,m,n是互不相同的空间直线，,是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．若//,l,n，则l//n B．若,l，则l C．若ln,mn，则l//m D．若l,l//，则

3.设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A．若a，b与所成的角相等，则a//b B．若a//，b//，//，则a//b C．若a，b，a//b，则// D．若a，b，，则ab

4、α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定α∥β的是 （ ） A．α、β都垂直于平面

B．α内不共线的三点到β的距离相等

C．l、m是α内的直线，且l∥β，m∥β

D．l、m是两条异面直线,且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β 6.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题：

①α∥βl⊥m ②α⊥β l∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β 其中正确的两个命题是 （ ）

A．①与② B．③与④ C．②与④ D．①与③

5、三个互不重合的平面，能把空间分成n个部分，n所有可能的值是 ( ) (A)4,6,7 (B)4,5,6,8 (C)4,7,8 (D)4,6,7,8 6.下列命题中，结论正确的个数是（ ）

（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 （2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等

（3）如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补

（4）如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个 7.已知正四棱柱的底面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则该正四棱柱的体积为 .

8.下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

① 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ② 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；

③ 四棱柱的四条对角线两两全等，则该四棱柱为直四棱柱. 其中真命题的编号是 ____

9.设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）.

A．86 B．646 C．242 D．722 10.如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VPABCD16，则球O的表面积是 3 A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

11．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 cm3.

12．如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，

如果等腰直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 ．

（第11题）

（第12题）

13.已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，该圆台的母线长__________

14.一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是 .

15.边长为a的正方体的内切球，外接球以及和各个棱都相切的球的体积比为 16.P是△ABC所在平面外一点，且PA平面ABC，若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ平面PBC.

17.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1= 8. 若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC,BC,AC则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少？ 11,B1C1的中点，

18．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V； （2）求该几何体的侧面积S。

19.如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G． 求证：AESB，AGSD．

SFGDEBCA

20.如图，已知矩形ABCD中，AB10，BC6，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上． （Ⅰ）求证：BCA1D；

（Ⅱ）求证：平面A1BC平面A1BD； （Ⅲ）求三棱锥A1BCD的体积．

21、如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SA底面ABCD，E是SC上一点．

（1）求证：平面EBD平面SAC；

（2）设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离；

22.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC. 已知A1B1B1C11,A1B1C190，AA12BB14,CC13，设点O是AB的中点，

（1）求证: OC//平面A1B1C1；（2）求该几何体的体积. A

C

O

B

C1A1

B1

ABDCOA1

23.如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图

在右边画出（单位：cm）。（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC'，证明：BC'∥面EFG。

D' C'622G FB' 2 4E CD

4AB

侧视图正视图

24、某几何体的三视图如右图所示

（1）根据三视图，画出该几何体的直观图； （2）求该几何体的表面积；

（3）在直观图中，设G是线段PB上的点，当G在线段PB上

运动时，是否总有平面PBD⊥平面AGC？证明你的结论。

25、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC,△PAD是等边三角形,BD2AD8,AB2DC45．

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积． P

M

D C A

B

26、如图:AB为⊙O的直径，⊙O所在的平面为α，PA⊥α于A，C为⊙O上一点 求证：平面PAC⊥平面PBC。

ADE90，27.如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，

AF//DE，DEDA2AF2.

(Ⅰ)求证：AC平面BDE； (Ⅱ)求证：AC//平面BEF； （Ⅲ）求四面体BDEF的体积.

28.已知四棱锥PABCD的底面是菱形．PBPD，E为PA的中点． （Ⅰ）求证：PC∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面PAC平面BDE．

AE F

D

C

A B PECDB

29.如图：梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB//DC,

P1ADCDAB，且O为AB中点.

2( I ) 求证：BC//平面POD； ( II ) 求证：ACPD.

AD

OCB30.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是正方形． （Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D； （Ⅱ）求证：CE平面AC1D．

A1AC1DB1EBC31.在长方形AA1B1B中，AB2AA14，C，C1分别是AB，A1B1的中点（如左图）.将此长方形沿CC1对折，使平面AA1C1C平面CC1B1B（如右图），已知D，

CC1的中E分别是A1B1，

C1 A1 C1 B1A1 ED点.

（Ⅰ）求证：C1D∥平面

B1A1BE；

（Ⅱ）求证：平面A1BE平面AA1B1B；

CA CBA B

（Ⅲ）求三棱锥C1A1BE的体积.

32、已知直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，且D,E,F分别为BC,BB1,AA1的中

A1C1B1点. (I) 求证：平面B1FC//平面EAD；

（II）求证：BC1平面EAD.

33.如图，菱形ABCD的边长为6，BAD60,AC（Ⅰ）求证：OM//平面ABD； （Ⅱ）求证：平面ABC平面MDO； （Ⅲ）求三棱锥MABD的体积.

34、如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是

SA底面ABCD，菱形，N为CDM为SA的中点，

SF

EADBCBDO.将菱形ABCD沿

对角线AC折起，得到三棱锥BACD,点M是棱BC的中点，DM32.

B A

O D C B M O

D C

A 的中点．

（Ⅰ）证明：平面SBD平面SAC； （Ⅱ）证明：直线MN‖平面SBC．

BMANCD

35．如图，已知棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD，

DAB60，ADAA1=１，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点，

（Ⅰ）求证：MF//面ABCD；

（Ⅱ）试判断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你的结论； （Ⅲ）求三棱锥D1BDF的体积.

36、如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结BC'，证明：BC'//面EFG。

37．已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示， E是侧棱PC上的动点.

(Ⅰ) 求四棱锥PABCD的体积； (Ⅱ) 若E是PC的中点， 求证PA∥平面BDE

(Ⅲ) 是否不论点E在何位置， 都有BDAE？证明你的结论．

A 22D C P E

B 11俯视图1正视图1侧视图