◆随堂检测
1、若x2 = a ，则叫的平方根，如16的平方根是，2的平方根7是
2、3暗示的平方根，12暗示12的 3、196的平方根有个，它们的和为 4、下列说法是否正确？说明理由 （1）0没有平方根； （2）—1的平方根是1； （3）64的平方根是8； （4）5是25的平方根； （5）366
5、求下列各数的平方根
（1）100 （2）(2)(8) 11549 ◆典例分析
例 若2m4与3m1是同一个数的平方根，试确定◆课下作业 ●拓展提高 一、选择
1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15，那么这个数是（93）1.21 m的值 4）
）
（（A、49 B、441 C、7或21 D、49或441 2、(2)2的平方根是（ ）
A、4 B、2 C、-2 D、2 二、填空
3、若5x+4的平方根为1，则x= 4、若m—4没有平方根，则|m—5|=
5、已知2a1的平方根是4，3a+b-1的平方根是4，则a+2b的平方根是 三、解答题
6、a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解 （1） 求a的值 （2）a2的平方根 7、已知x1+∣x+y-2∣=0 求x-y的值 ● 体验中考
1、（09河南）若实数x，y满足x2+(3y)2=0，则代数式xyx2的值为
2、（08咸阳）在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有个
3、（08荆门）下列说法正确的是（ ）
A、64的平方根是8 B、-1 的平方根是1 C、-8是64的平方根 D、(1)2没有平方根
12.1.1平方根（第二课时）
◆随堂检测
1、
9的算术平方根是；81的算术平方根_____ 252、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是 3、若x2有意义，则x的取值范围是，若a≥0，则a0 4、下列叙述错误的是（ ）
A、-4是16的平方根 B、17是(17)2的算术平方根 C、
11的算术平方根是 D、0.4
864的算术平方根是0.02
◆典例分析
例：已知△ABC的三边分别为a、b、c且a、b满足a3|b4|0，求c的取值范围
分析：根据非负数的性质求a、b的值，再由三角形三边关系确定c的范围 ◆课下作业 ●拓展提高 一、选择
1、若m22，则(m2)2的平方根为（ ）
A、16 B、16 C、4 D、2 2、16的算术平方根是（ ）
A、4 B、4 C、2 D、2 二、填空
3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是 4、若x2+(y4)2=0，则yx= 三、解答题
5、若a是(2)2的平方根，b是16的算术平方根，求a2+2b的值 6、已知a为170的整数部分，b-1是400的算术平方根，求ab的值
●体验中考
1．(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）
A．a1 B．a21 C．a21 D．a1 2、（08年泰安市）88的整数部分是；若a<57 化简 a2b2(ab)2 = 4、（08年随州）小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2的房间，小明想知道每块瓷砖的规格，请你帮忙算一算. 12.1.2 立方根 ◆随堂检测 1、若一个数的立方等于 —5，则这个数叫做—5的，用符号暗示为，—64的立方根是，125的立方根是；的立方根是 —5. 2、如果x3=216，则x=. 如果x3=64， 则x=. 3、当x为时，3x2有意义. 4、下列语句正确的是（ ） A、64的立方根是2 B、3的立方根是27 C、 82的立方根是 D、(1)2立方根是1 273典例分析 例 若32x135x8，求x2的值. ◆课下作业 ●拓展提高 一、选择 1、若a2(6)2，b3(6)3，则a+b的所有可能值是（ ） A、0 B、12 C、0或12 D、0或12或12 2、若式子2a131a有意义，则a的取值范围为（ ） A、a B、a1 C、a1 D、以上均分歧错误 二、填空 3、64的立方根的平方根是 4、若x216，则（—4+x）的立方根为 三、解答题 5、求下列各式中的x的值 （1）125(x2)3=343 （2）(1x)3163 6412126、已知：3a4，且(b2c1)2c30，求3ab3c3的值 ●体验中考 1、（09宁波）实数8的立方根是 2、（08泰州市）已知a0，a，b互为相反数，则下列各组数中， 不是互为相反数的一组是（ ） A、3a与3b B、a+2与b+2 C、a2与b2 D、3a与3b 3、（08益阳市）一个正方体的水晶砖，体积为100 cm3，它的棱长大约在（ ） A、4～5cm之间 B、5～6cm之间 C、6～7 cm之间D、7～8cm之间 12.2实数与数轴 ◆随堂检测 221、下列各数：32，，3277••，1.414，，3.12122，9，3.14693中，无理数有个，有理数有个，负数有个，整数有个. 2、33的相反数是，|33|= 75的相反数是，12的绝对值= 3、设3对应数轴上的点A，5对应数轴上的点B，则A、B间的距离为 4、若实数a 例： 设a、b是有理数，而且a、b满足等式a2b2b52，求a+b的平方根 ◆课下作业 ●拓展提高 一、选择 1、如图，数轴上暗示1，2的对应点分别为A、B，点B关于点 A的对称点为C，则点C暗示的实数为 （0 ）A C B A．2－1B．1－2C．2－2D．2－2 2、设a是实数，则|a|-a 的值（ ） A．可以是负数 B．不成能是负数 C．必是正数 D．可以是整数也可以是负数 二、填空 3、写出一个3和4之间的无理数 4、下列实数 7，，0，491903，21，31，1.1010010001…（每 两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m个有理数，n个无理数，则nm= 三、解答题 5、比较下列实数的大小 （1）|8| 和3 （2）25 和0.9 （3） 517和 286、设m是13的整数部分，n是13的小数部分，求m-n的值. ● 体验中考 2．（2011年青岛二中模拟）如图，数轴上A，B两点暗示的数分别为1和3， 点B关于点A的对称点为C，则点C所暗示的数为（） A．23 B．13 C．23 D．13 C A O B （第46题图） 3．（2011年湖南长沙）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1a|a2的结果为（ ） a 1 0 1 A．1 B．1 C．12a D．2a1 3、（2011年江苏连云港）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ） A．ab0 B．ab0 C．ab0 D．0 4、（2011年浙江省杭州市模2）如图，数轴上点A所暗示的数的倒数是（ ） A.2B.2C.1D.1 220 a 1 b 10 （第8题图） ab§13.1 幂的运算 1. 同底数幂的乘法 试一试 （1）2×２＝（）×（）＝２ 34()； （2） 53×５4＝5 ()； （3） a3·a4＝a()． 概括：am·an＝（）（） ＝＝amn． 可得am·an＝amn这就是说，同底数幂相乘，． 例1计算： （1） 103×１０4； （2） a·a3； （3） a·a3·a5． 练习 1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由． （1） a·a2＝a2；（2） a＋a2＝a3；（3）a3·a3＝a9；（4）a3＋a3＝a6． 2. 计算： （1） 102×105； （2） a3·a7； （3） x·x5·x7． 3．填空： （1）am叫做a的m次幂，其中a叫幂的________，m叫幂的________； （2）写出一个以幂的形式暗示的数，使它的底数为c，指数为3，这个数为________； （3）(2)4暗示________，24暗示________； a3＝________，a4＝________， （4）根据乘方的意义，因此a3a4＝()()() 同底数幂的乘法练习题 1．计算： （1）a4a6 （2）bb5 （3）mm2m3 （4）cc3c5c9 （5）amanap （6）tt2m1 （7）qn1q （8）nn2p1np1 2．计算： （1）b3b2 （2）(a)a3 （3）(y)2(y)3 （4）(a)3(a)4 （5）3432 （6）(5)7(5)6 （7）(q)2n(q)3 （8）(m)4(m)2 （9）23 （10）(2)4(2)5 （11）b9(b)6 （12）(a)3(a3) 3．下面的计算对分歧错误？如果分歧错误，应怎样改正？ （1）233265； （2）a3a3a6； （3）ynyn2y2n； （4）mm2m2； （5）(a)2(a2)a4； （6）a3a4a12； （7）(4)343； （8）7727376； （9）a24； （10）nn2n3． 4．选择题： a2m2可以写成2am1 B．a2ma2C．a2ma2 D．a2am1 （1）（ ）．A． （2）下列式子正确的是（ ）．A．3434 B．(3)434 C．3434 D．3443 （3）下列计算正确的是（ ）． A．aa4a4 B．a4a4a8 C．a4a42a4D．a4a4a16 2. 幂的乘方 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： （1） （23）2＝×＝２()； （2） （32）3＝×＝３()； （3） （a3）4＝×××＝a()． 概 括 （am）n＝（n个）＝（n个）=amn 可得（am）n＝amn（m、n为正整数）．这就是说，幂的乘方，． 例2计算： （1） （103）5； （2） （b3）4． 练习 1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由． （1） （a3）5＝a8；（2） a5·a5＝a15；（3） （a2）3·a4＝a9． 2. 计算： （1）（22）2； （2）（y2）5； （3）（x4）3； （ 4）（y3）2·（y2）3． 3、计算: （1）x·（x2）3（2）（xm）n·（xn）m（3）（y4）5－（y5）4 （4）（m3）4+m10m2+m·m3·m8（5）[（a－b）n] 2 [（b－a）n－1] 2 （6）[（a－b）n] 2 [（b－a）n－1] 2（7）（m3）4+m10m2+m·m3·m8 幂的乘方 一、基础练习 1、幂的乘方,底数_______,指数____.（am）n= ___(其中 m、n都 是正整数) 2、计算：（1）（23）2=_____； （2）（－22）3=______； （3）－（－a3）2=______； （4）（－x2）3=_______。 3、如果x2n=3，则（x3n）4=_____． 4、下列计算错误的是（ ）． A．（a5）5=a25 B．（x4）m=（x2m）2C．x2m=（－xm）2 D．a2m=（－a2）m 5、在下列各式的括号内，应填入b4的是（ ）． A．b12=（ ）8 B．b12=（ ）6 C．b12=（ ）3 D．b12=（ ）2 6、如果正方体的棱长是（1－2b）3，那么这个正方体的体积是（ ）． A．（1－2b）6 B．（1－2b）9C．（1－2b）12D．6（1－2b）6 7、计算（－x5）7+（－x7）5的结果是（ ）． A．－2x12 B．－2x35 C．－2x70 D．0 二、 能力提升 1、若xm·x2m=2，求x9m=__________ 2、若a2n=3，求（a3n）4=____________。 3、已知am=2,an=3,求a2m+3n=______，4、若644×83=2x，求x的值。 5、已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2－（b2n）3+a2m·b3n的值． 6、若2x=4y+1，27y=3x- 1，试求x与y的值． 7、已知a=355，b=444，c=533，请把a，b，c按大小排列． 8．已知：3x=2，求3x+2的值． 9．已知xm+n·xm－n=x9，求m的值．10．若52x+1=125，求（x－2）2011+x的值． 3. 积的乘方 试一试 （1） （ab）2＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝a()b()； （2） （ab）3＝＝＝a()b()； （3） （ab）4＝＝＝a()b()． 概 括（ab）n＝（ ）·（ ）…（ ）（n个）＝（）·（） ＝an bn．可得 （ab）n＝an bn（n为正整数）． 积的乘方，等于，再． 例3计算： （1）（2b）3； （2）（2×a3）2； （3）（－a）3； （4）（－3x） 4． 练习 1. 判断下列计算是否正确，并说明理由． （1） （xy3）2＝xy6；（2） （－2x）3＝－2x3． 2. 计算： （1）（3a）2；（2）（－3a）3；（3）（ab2）2；（4）（－2×１０3）3． 3、计算： （1）（2×103）2 （2）（－2a3y4）3 (3)a3a4a(a2)4(2a4)2 （4）2(x3)2x3(3x3)3(5x)2x7 （5）（－2a2b）2·（－2a2b2）3 （6）[（－3mn2·m2）3] 2 积的乘方 一、基础训练 1．（ab）2=______，（ab）3=_______． 2．（a2b）3=_______，（2a2b）2=_______，（－3xy2）2=_______． 3. 判断题 （错误的说明为什么） （1）(3ab2)2=3a2b4 （2）(-x2yz)2=-x4y2z2 （3）(xy2)2=x2y4 （4）(a2c3)2a4c6 (5)(a3+b2)3=a9+b6 （6）(-2ab2)3=-6a3b8 4．下列计算中，正确的是（ ） A．（xy）3=xy3 B．（2xy）3=6x3y3 C．（－3x2）3=27x5 D．（a2b）n=a2nbn 5．如果（ambn）3=a9b12，那么m，n的值等于（ ） A．m=9，n=4 B．m=3，n=4 C．m=4，n=3 D．m=9，n=6 6．a6（a2b）3的结果是（ ） A．a11b3 B．a12b3 C．a14b D．3a12b 7．（－ab2c）2=______，42×8n=2( )×2( )=2( )． 二、能力提升 1．用简便方法计算： （4）（－0.125）12×（－1）7×（－8）13×（－）9 2．若x3=－8a6b9，求x的值。 3．已知xn=5，yn=3，求（xy）3n的值． 233513234312144. 同底数幂的除法 试一试 用你熟悉的方法计算： （1） 25÷２2＝；（2） 107÷103＝；（3） a7÷a3＝（a≠0）． 概 括 25÷２2＝＝；107÷103=＝；a7÷a3＝＝ 一般地，设m、n为正整数，m＞n， a≠0，有am÷an＝amn． 这就是说，同底数幂相除，．am÷an＝amn． 例4计算： （1）a8÷a3；（2）（－a）10÷（－a）3；（3）（2a）7÷（2a）4． （2）你会计算（a＋b）4÷（a＋b）2吗? 练习 1. 填空： （1） a5·（ ）＝a9；（2） （ ）·（－b）2＝（－b）7； （3） x6÷（ ）＝x；（4） （ ）÷（－y）3＝（－y）7． 2. 计算： （1）a10÷a2；（2）（－x）9÷（－x）3；（3）m8÷m2·m3；（4）（a3） 2÷a6． 3.计算： （1） x12÷x4；（2） （－a）6÷（－a）4； （3） （p3）2÷p5；（4） a10÷（－a2）3． 习题13.1 1. 计算（以幂的形式暗示）： （1） 93×95；（2） a7·a8；（3） 35×２7；（4） x2·x3·x4． 2. 计算（以幂的形式暗示）： （1） （103）3；（2） （a3）7；（3） （x2）4；（4） （a2）3·a5． 3. 判断下列等式是否正确，并说明理由． （1） a2·a2＝（2a）2； （2） a2·b2＝（ab）4； （3） a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7． 4. 计算（以幂的形式暗示）： （1） （3×１０5）2；（2） （2x）2；（3） （－2x）3；（4） a2·（ab） 3； （5） （ab）3·（ac）4． 5. 计算： （1） x12÷x4； （2） （－a）6÷（－a）4； （3） （p3）2÷p5； （4） a10÷（－a2）3． 6.计算：（1） （a3）3÷（a4）2； （2）（x2y）5÷（x2y）3； （3） x2·（x2）3÷x5； （4）（y3）3÷y3÷（－y2） 2． §13.2 整式的乘法 1. 单项式与单项式相乘 计算：例 2x3·5x2 （1） 3x2y·（－2xy3）；（2）（－5a2b3）·（－４b2c）． 概 括单项式与单项式相乘，只要将它们的、分别相乘，对于只在 一个单项式中出现的字母，则作为积的一个因式． 例2卫星绕地球概况做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少? 你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗? 练习 1. 计算： （1） 3a2·2a3； （2） （－9a2b3）·8ab2； （3） （－3a2）3·（－2a3）2； （4） －3xy2z·（x2y）2． 2. 光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，则地球与太阳的距离约是多少米? 单项式与单项式相乘随堂练习题 一、选择题 1．式子x4m+1可以写成（ ） A．（xm+1）4 B．x·x4m C．（x3m+1）m D．x4m+x 2．下列计算的结果正确的是（ ） A．（-x2）·（-x）2=x4 B．x2y3·x4y3z=x8y9z C．（-4×103）·（8×105）=-3.2×109 D．（-a-b）4·（a+b）3=-（a+b）7 3．计算（-5ax）·（3x2y）2的结果是（ ） A．-45ax5y2 B．-15ax5y2 C．-45x5y2 D．45ax5y2二、填空题 4．计算：（2xy2）·（x2y）=_________；（-5a3bc）·（3ac2） 13 =________． 5．已知am=2，an=3，则a3m+n=_________；a2m+3n=_________． 6．一种电子计算机每秒可以做6×108次运算，它工作8×102秒可做_______次运算． 三、解答题 7．计算： ①（-5ab2x）·（-2 ③（-x2）·（yz）3·（x3y2z2）+x3y2·（xyz）2·（yz3） ④（-2×103）3×（-4×108）2 8．先化简，再求值： -10（-a3b2c）2·a·（bc）3-（2abc）3·（-a2b2c）2，其中a=-5，b=0.2，c=2。 9．若单项式-3a2m-nb2与4a3m+nb5m+8n同类项，那么这两个单项式的积是多少？ 四、探究题 10．若2a=3，2b=5，2c=30，试用含a、b的式子暗示c． 2. 单项式与多项式相乘 试一试 计算： 2a2·（3a2－5b）． （－2a2）·（３ab2－5ab3）． 概 括单项式与多项式相乘，只要将，再． 练习 15133a2bx3y） ②（-3a3bc）3·（-2ab2）10431. 计算：（1） 3x3y·（2xy2－3xy）；（2） 2x·（3x2－xy＋y2）． 2. 化简： x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）． 3、计算： ①（x2y-2xy+y2）·（-4xy） ②-ab2·（3a2b-abc-1） ③（3an+2b-2anbn-1+3bn）·5anbn+3（n为正整数，n>1） ④-4x2·（xy-y2）-3x·（xy2-2x2y） 单项式与多项式相乘随堂练习题 一、选择题 1．计算（-3x）·（2x2-5x-1）的结果是（ ） A．-6x2-15x2-3x B．-6x3+15x2+3x C．-6x3+15x2 D．-6x3+15x2-1 2．下列各题计算正确的是（ ） A ．（ ab-1 ）（ 1212-4ab2）=-4a2b3-4ab2 B．（3x2+xy-y2）·3x2=9x4+3x3y-y2 C．（-3a）（a2-2a+1）=-3a3+6a2 D．（-2x）（3x2-4x-2）=-6x3+8x2+4x 3．如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2，高为6xy，则这个三角形的面积是（ ）• A．6x3y2+3x2y2-3xy3 B．6x3y2+3xy-3xy3 C．6x3y2+3x2y2-y2 D．6x3y+3x2y2 4．计算x（y-z）-y（z-x）+z（x-y），结果正确的是（ ） A．2xy-2yz B．-2yz C．xy-2yz D．2xy-xz 二、填空题 5．方程2x（x-1）=12+x（2x-5）的解是__________． 6．计算：-2ab·（a2b+3ab2-1）=_____________． 7．已知a+2b=0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是___________． 三、解答题 8．计算： ①（x2y-2xy+y2）·（-4xy） ②-ab2·（3a2b-abc-1） ③（3an+2b-2anbn-1+3bn）·5anbn+3（n为正整数，n>1） ④-4x2·（xy-y2）-3x·（xy2-2x2y） 9．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。 四、探究题 10．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题． 已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值． 解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3 =x（x2+x-1）+x2+x-1+4 =0+0+4=4 如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 3. 多项式与多项式相乘 回 忆（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb 概 括 这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用，再把． 1212例4计算： （1） （x＋2）（x－3） （2） （3x－1）（2x＋1）． 例5计算： （1） （x－3y）（x＋7y）； （2） （2x＋5y）（3x－2y）． 练习 1. 计算：（1） （x＋5）（x－7）； （2） （x＋5y）（x－7y） （3） （2m＋3n）（2m－3n）； （4） （2a＋3b）（2a＋ 3b）． 2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形? 习题13.2 1. 计算： （1） 5x3·8x2；（2） 11x12·（－12x11）； （3） 2x2·（－3x）4；（4） （－8xy2）·－(1/2x)3． 2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问： 胡夫金字塔总重约多少千克? 3. 计算：（1） －3x·（2x2－x＋4）；（2） 5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)． 4. 化简： （1）x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2）x2（x－1）＋2x（x2－2x ＋3）． 5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少? 6. 计算： （1） （x＋5）（x＋6）； （2） （3x＋4）（3x－4）； （3） （2x＋1）（2x＋3）；（4） （9x＋4y）（9x－4y）． 13.5 因式分解（1） 一、基础训练 1．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么其余的因式是（ ） A．-1-3x+4y B．1+3x-4y C．-1-3x-4y D．1-3x-4y 2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ） A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c 3．下列用提公因式法分解因式正确的是（ ） A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab） B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y） C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c） D．x2y+5xy-y=y（x2+5x） 4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A．-6a3b2=2a2b·（-3ab2） B．9a2-4b2=（3a+2b）（3a-2b） C．ma-mb+c=m（a-b）+c D．（a+b）2=a2+2ab+b2 5．下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A．（y-x）2=（x-y）2 B．-a-b=-（a+b） C．（m-n）3=-（n-m）3 D．-m+n=-（m+n） 6．若多项式x2-5x+m可分解为（x-3）（x-2），则m的值为（ ） A．-14 B．-6 C．6 D．4 7．（1）分解因式：x3-4x=_______；（2）因式分解：ax2y+axy2=________． 8．因式分解： （1）3x2-6xy+x； （2）-25x+x3； （3）9x2（a-b）+4y2（b-a）； （4）（x-2）（x-4）+1． 二、能力训练 9．计算54×99+45×99+99=________． 10．若a与b都是有理数，且满足a2+b2+5=4a-2b，则（a+b）2006=_______． 11．若x2-x+k是一个多项式的平方，则k的值为（ ） A． B．- C． D．-12．若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求 mn21414121 2的值． 13．利用整式的乘法容易知道（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb，现在的问题是： 如何将多项式ma+mb+na+nb因式分解呢？用你发现的规律将m3-m2n+mn2-n3因式分解． 14．由一个边长为a的小正方形和两个长为a，宽为b的小矩形拼成如图的矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式． 15．说明817-299-913能被15整除． 参考答案 1．D 点拨：-6ab+18abx+24aby=-6ab（1-3x-4y）． 2．C 点拨：公因式由三部分组成；系数找最大公约数，字母找相同的，•字母指数找最低的． 3．C 点拨：A中c不是公因式，B中括号内应为x2-x+2，D中括号内少项． 4．B 点拨：分解的式子必须是多项式，而A是单项式；•分解的结果是几个整式乘积的形式，C、D不满足． 5．D 点拨：-m+n=-（m-n）． 6．C 点拨：因为（x-3）（x-2）=x2-5x+6，所以m=6． 7．（1）x（x+2）（x-2）；（2）axy（x+y）． 8．（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）； （2）-25x+x3=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）； （3）9x2（a-b）+4y2（b-a）=9x2（a-b）-4y2（a-b） =（a-b）（9x2-4y2）=（a-b）（3x+2y）（3x-2y）； （4）（x-2）（x-4）+1=x2-6x+8+1=x2-6x+9=（x-3）2． 9．9900 点拨：54×99+45×99+99=99（54+45+1）=99×100=9900． 10．1 点拨：∵a2+b2+5=4a-2b， ∴a2-4a+4+b2+2b+1=0，即（a-2）2+（b+1）2=0， 所以a=•2，b=-1，（a+b）2006=（2-1）2006=1． 11．A 点拨：因为x2-x+=（x-）2，所以k=． 14121412．解：m2+2mn+2n2-6n+9=0， （m2+2mn+n2）+（n2-6n+9）=0， （m+n）2+（n-3）2=0， m=-n，n=3， ∴m=-3． mn2= 13=-． 233 13．解：m3-m2n+mn2-n3=m2（m-n）+n2（m-n）=（m-n）（m2+n2）． 14．a2+2ab=a（a+2b），a（a+b）+ab=a（a+2b），a（a+2b）-a（a+b）=ab， a（a+2b）-2ab=a2，a（a+2b）-a2=2ab等． 点拨：将某一个矩形面积用分歧形式暗示出来． 15．解：817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13 =328-327-326=326（32-3-1）=326×5 =325×3×5=325×15， 故817-279-913能被15整除． 13.5 因式分解（2） 1．3a4b2与-12a3b5的公因式是_________． 2．把下列多项式进行因式分解 （1）9x2-6xy+3x； （2）-10x2y-5xy2+15xy； （3）a（m-n）-b（n-m）． 3．因式分解： （1）16-1m2； （2）（a+b）2-1； （3）a2-6a+9； （4）251x2+2xy+2y2． 2 4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A．（x+2）（x-2）=x2-4 B．x2-2x+1=x（x-2）+1 C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b） 5．因式分解： （1）3mx2+6mxy+3my2； （2）x4-18x2y2+81y4； （3）a4-16； （4）4m2-3n（4m-3n）． 6．因式分解： （1）（x+y）2-14（x+y）+49； （2）x（x-y）-y（y-x）；（3）4m2-3n（4m-3n）． 7．用另一种方法解案例1中第（2）题． 8．分解因式： （1）4a2-b2+6a-3b； （2）x2-y2-z2-2yz． 9．已知：a-b=3，b+c=-5，求代数式ac-bc+a2-ab的值． 参考答案 1．3a3b2 2．（1）原式=3x（3x-2y+1）； （2）原式=-（10x2y+5xy2-15xy）=-5xy（2x+y-3）； （3）原式=a（m-n）+b（m-n）=（m-n）（a+b）． 点拨：（1）题公因式是3x，注意第3项提出3x后，不要丢掉此项，括号内的多项式中写1；（2）题公因式是-5xy，当多项式第 一项是负数时，•一般提出“－”号使括号内的第一项为正数，在提出“－”号时，注意括号内的各项都变号． 3．（1）16-1111m2=42-（m）2=（4+m）（4-m）； 55525 （2）（a+b）2-1=[（a+b）+1][（a+b）-b]=（a+b+1）（a+b-1）； （3）a2-6a+9=a2-2·a·3+32=（a-3）2； （4）x2+2xy+y2=（x2+4xy+4y2）= [x2+2·x·2y+（2y）2]=（x+2y）2． 点拨：如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式，若不是，•则要先化成符合公式的形式，再套用公式．（1）（2）符合平方差公式的形式，（3）（4）•符合完全平方公式的形式． 4．C 点拨：这是一道概念型试题，其思路是根据因式分解的定义来判断，分解因式的最后结果应是几个整式积的形式，只有C是，故选C． 5．（1）3mx2+6mxy+3my2=3m（x2+2xy+y2）=3m（x+y）2； （2）x4-18x2y2+81y4=（x2）2-2·x2·9x2+（9y2）2 =（x2-9y2）2=[x2-（3y）2] 2 =[（x+3y）（x-3y）] =（x+3y）2（x-3y）2； （3）a416=（a2）2-42=（a2+4）（a2-4）=（a2+4）（a+2）（a-2）； （4）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2=（2m-3n）2． 点拨：因式分解时，要进行到每一个多项式因式都不克不及分 12121212解为止．（1）先提公因式3m，然后用完全平方公式分解；（2）把x4作（x2）2，81y4作（9y2）2，然后运用完全平方公式． 6．（1）（x+y）2-14（x+y）+49=（x+y）2-2·（x+y）·7+72=（x+y-7）2； （2）x（x-y）-y（y-x）=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）； （3）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2 =（2m-3n）2． 7．x（x-y）+y（y-x）=x2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=（x-y）2． 8．解：（1）原式=（4a2-b2）+（6a-3b）=（2a+b）（2a-b）+3（2a-b）=（2a-b）（2a+b+3）； （2）原式=x2-（y2+2yz+z2）=x2-（y+z）2=（x+y+z）（x-y-z）． 9．∵a-b=3，b+c=-5， ∴a+c=-2，∴ac-bc+a2-ab=c（a-b）+a（a-b）=（a-b）（c+a） =3×（-2）=-6． 因式分解方法研究系列 三、十字相乘法(关于x2pqxpq的形式的因式分解) 1、因式分解以下各式： 1、x25x6； 2、x26x5； 3、x2x6； 4、 x22x15 2、因式分解以下各式： 1、x325x36； 2、x426x45； 3、2a3b22a3b6； 4、x42x215 2、因式分解以下各式： 1、x23x10； 2、x45x26； 3、x24xy12y2； 4、 x2xy2y2 3、挑战自我： 1、x24x2x24x15； 2、x2x14x2x24 22数学当堂练习(1) 姓名 计 算 (1) (-2a)2 (3ab2-5ab3) (2)x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5) (3)3(m+n) (m+n) 4+3(-m-n) 3(m+n) 2 数学当堂练习(2) 姓名 计算 (1)(x-y) 3÷(y-x) 2= (2) (3)5xy[4xy-6(xy-xy2)] (4)(2x-3)(x+4) (5)(3x+y)(x一2y) 数学当堂练习(3) 姓名 计算(1) (3x-5)(2x+3) (2) 5x(x-2)-(x-2)(x+4) 解不等式1-(2y+1)(y-2)＞y 2-(3y-1)(y+3)-11 数学当堂练习(4) 姓名 计算 （1） （1-xy）(-1-xy) (2)(a+2)(a-2)(a2+4) (3) (x+y)(x-y)-(x-2y)(x+2y) (4) 6×5 133a2·(2a2-9a+3)-4a(2a-1) 121323数学当堂练习(5) 姓名 计算 (1) (2x-1) 2- (2x+1) 2 (2) (2x-1) 2(2x+1) 2 (3) (2x) 2- 3(2x+1) 2 (4) ( 2x+ y – 3) 2 (5)(m – 2n + 3)(m+2n +3) 数学当堂练习(6) 姓名 计算 (1) (1+x+y)(1- x –y) (2) (3x- 2y +1) 2 （3）已知 (x+y) 2=6 (x- y) 2=8 求 (1) ( x+y ) 2 (2) xy 值 （4）（x- 2）(x 2+2x+4) (5) x(x- 1) 2- (x 2–x +1)(x+1) 数学当堂练习(7) 姓名 计算 (1) (-2m- 1) 2 (2) (3x-2y+1) 2 (3) (3s-2t)(9s2 +6st+4t2) (4) -21a2b3c÷7a2b2 (5) (28a4b2c-a2b3+14a2b2) ÷(-7a2b) (6)(x2y -xy2-2xy) ÷xy 数学当堂练习(8) 姓名 一． 计算 (1) (16x3-8x2 +4x) ÷(-2x) (2) (x2x3) 3÷(-x3) 4 二 。因式分解 (1)2x+4x (2) 5(a-2) – x(2-x) (3) -12m2n+3mn2 18.1 勾股定理 12121. 在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（ ） A．c2=a2+b2 B．a2=（b+c）（b-c） C．a2=c2-b2 D．b=a+c 知识点：勾股定理 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。 答案：B 详细解答：在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b2=a2+c2。a2=（b +c）（b-c）可变形为b2=a2+c2，所以选B 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2； B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2； C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，A90，则a2＋b2＝c2； D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，C90，则c2-b2＝a2。 答案：D 详细解答：A是错的，缺少直角条件； B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方； C也是错的，既然A90，那么a边才是斜边，应该是a2＝c2＋b2 D才是正确的，C90，那么c2＝a2+b2，即c2-b2＝a2. 2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是 ( ) A. 9英寸(23cm) B. 21英寸(54cm) C. 29英寸(74cm) D.34英寸(87cm) 知识点：勾股定理的应用 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。 答案：C 详细解答： 如答图，四边形ABCD暗示彩电屏幕，其长58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。 在直角三角形 ABC 中，BC=58cm,AB=46cm,那么 为 AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。 2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( ) A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm 答案：C 详细解答： 如答图，一只小鼹鼠从B挖到C， BC=8cm×10=80cm， 另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm， 由题意可知两个方向互相垂直， 所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100 cm 3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是( ) A.1:1:2 B.1:1:2 C.1:2:3 D.1:4:1 知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形 知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。 答案：A 详细解答： 三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、 45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=2，三条边的比是1:1:2。 3．已知△ABC中，∠A=∠C=∠B，则它的三条边之比为（ ）． A．1：1：2 B．1：3：2 C．1：2：3 D．1：4：1 答案：B 详细解答：△ABC中，∠A=∠C=∠B，可求出∠A=30°，∠C=60°，∠B=90°，画出答 12131213图。 假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所以AB=3，因此三边的比为1：3：2。 4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三 角形的最小锐角为（ ） （A）15° （B）30° （C）45° （D）不克不及确定 知识点：勾股定理在数学中的应用 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB×BC，所以BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。 4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′长为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）18 答案：D 详细解答：由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′， 所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3， 在直角三角形APP′中，PP′2= AP′2+AP2=32+32=18，所以PP′=18 5．如图，数轴上的点A所暗示的数为x，则x的值为（ ） A．2 B．-2 C．2 D．-2 知识点：认识长度为无理数的线段 知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段 答案：B 详细解答：在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2=2，所以CD=2，CA=CD=2，因此点A所暗示的数为-2 5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 A 答案：C C 详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么B 26 AB2=AD2+BD2=26，AB=在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2+CE2=13，BC=13 在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5 所以边长为无理数的边是：AB 和BC 6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A．5 B．25 C．7 D．5或7 知识点：两解问题 知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。 答案：D 详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为7。 6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( ) A.42 B.32 C.42或32 D.37或33 答案：C 详细解答：若高AD在△ABC内部，如图， 在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9 在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5 所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42 若高AD在△ABC外部，如图， 在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9 在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么 CD2=AC2-AD2=25，CD=5 所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32 所以选C. 7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ） （A）6 m （B）8 m （C）10 m （D）18 m 知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题 知识点的描述：在解决实际问题时，经常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题 答案：C 详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB暗示高8m的树，CD暗示高2 m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。 在直角三角形AED中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10 m。 7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险 ( ) A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 答案：B 详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图， AB代表原旗杆的位置，AF暗示折段的旗杆，CD暗示小明，如果AD 小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。 在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。 由题意知AF=5，所以AF2=25，显然AD小于AF，有危险。 8．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D A 处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求. D 树高AB（ ）. B A．10 m B．11 m C．12 m D．15 m C 知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题 知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。 答案：C 详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米， ∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米） 所以树高12 m 。 8.小刚准备丈量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ). A.2m B.2.5m C.2.25m D.3m 答案：A 详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的竹竿，CD是水面， 由题意知：CD=1.5 m，AD=0.5 m,假设河水的深度BD为x m，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5） m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得x=2，所以河水的深度为2m 9.已知：如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（ ） （A）24 （B）4 （C）6 （D）12 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。 答案：A （26也行） 分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度 详细解答：作AB边的高CD,如图， 在 Rt△BDC 中，∠B=60°，那么 ADBC∠BCD=90°-60°=30°，BC=4， 那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=12； 在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD=12， 那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=24； 小结：可见解一般三角形的问题经常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角) 9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（ ）。 （A）20 （B）103 （C）63 （D）16 答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到248-12就可以了) 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。无妨几种方法都测验考试一下，你会有很多收获的。 详细解答：延长AD、BC交于E。 A∵∠A=∠60°∴∠E=30°。 ，∠B=90°， DECB∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=43。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE=12=23。 ∴S ABCD=S△ABE-S△CDE= 12四 12边 12形 ×4×48-12AB·BE-CD·DE= 12×2· =248-12=63 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过 将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不克不及把特殊角分割的。 10.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ） CDBAEA. 2cm B.3cm C.4cm D. 5cm 知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用 知识点的描述：“折叠”问题是数学中罕见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。 答案：B 详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。 因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm， 又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm), 在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x）2=x2+42， 解得x=3 所以CD=3cm 10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长( )． （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 答案：A 详细解答： 由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm． 在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系建立方 程:(8－x)2＝42＋x2 解得x＝3，即CE的长为3cm． 18.2 勾股定理的逆定理 1.如图所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于( ) A.22 B.23 C.6 D. 236 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：作BC边上的高AD, △ ABC 中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30° 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=3 在Rt△ACD中，∠C=45°，AD=3,所以CD=AD=3， 利用勾股定理可得AC=6。 1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=3，线段AB长为（ ）。 A.2 B.3 C.4 D.33 答案：C 分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD。或欲求AB，可由ABAC2BC2，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。 BDAC详细解答：在Rt△ACD中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=3,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。 在Rt△ACB中，∠A=60°，那么∠B=30°。 在Rt△BCD中，∠B=30°，又已知CD=3,所以BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。 因此AB=BD+CD=3+1=4， 小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。 2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，则它的形状为 A．直角三角形B．等腰三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形 知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状 知识点的描述：这类问题经经常使用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。 答案：D 详细解答：∵ a2c2－b2c2=a4－b4，∴左右两边因式分解得 c2(a2b2)(a2b2)(a2b2) ∴(a2b2)(c2a2b2)0∴a2b20或c2a2b20， 即ab或c2a2b2，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。 2．若△ABC的三边a，b，c满足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，则△ABC是（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形 答案：C 详细解答：∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，∴c-b=0且a2-b2-c2=0 即cb且c2a2b2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形。 3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 知识点：勾股定理的逆定理 知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住罕见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。 答案：C 详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都 不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。 3．在下列说法中是错误的（ ） A．在△ABC中，ACm2n2、BC=2mn、AB=m2n2（m、n为正整数，且 mn），则△ABC 为直角三角形. B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形. C．在△ABC中，若a2b2c2，则△ABC为直角三角形. D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，则△ABC为直角三角形. 答案：B 详细解答： 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝ 51800750 12不是直角三角形。 △ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形． 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( ) A.两直线平行,同旁内角互补； B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C.对顶角相等 D.如果a2=b2,那么a=b 知识点：互逆命题 知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。 答案：C 详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。 4．下列命题的逆命题成立的是（ ） （A）若a=b，则ab （B）全等三角形的周长相等 （C）同角（或等角）的余角相等 （D）若a=0，则ab=0 答案：C 详细解答：（A）的逆命题是：若ab，则a=b。纷歧定成立，也可能a=-b （B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。纷歧定成立，两个三角形周长相等，形状纷歧定就相同。 （D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。纷歧定成立，也可能是b=0，而a≠0。 5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行， 离开港口2小时后，两船相距（ ） A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里 知识点：勾股定理的实际应用题 知识点的描述：求距离或某个长度是很罕见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。 答案：D 详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形， AC=32海里，AB=24海里， 根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600， 所以BC=40（海里） 5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不克不及露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ） A．41cm B．34cm C．50cm D．53cm 答案：C 详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm 在Rt△ACB中，AC和BC 是直角边，AB是斜边，AB2=AC2+CB2=41, CBDA在Rt△ADB中，AB和BD 是直角边，AD是斜边，AD2=AB2+BD2 =41+9=50,所以AD=50cm 6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ） BCA．直角三角形 B．锐角三角形 AC．钝角三角形 D．以上答案都分歧错误 知识点：网格问题，勾股定理和逆定理 知识点的描述：网格问题是罕见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 答案：A 详细解答：把△ABC的各边分别放在分歧的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。 在Rt△BCD中， CD=1，DB=8，那么CB2=CD2+BD2=65， 在Rt△ACE中， AE=2，CE=3，那么AC2=AE2+CE2=13， 在Rt△ABF中， AF=6，BF=4，那么AB2=AF2+BF2=52， 所以，在△ABC中， AC2+AB2=13+52=65， 又CB2=65，所以，AC2+AB2= CB2，根据勾股定理的逆定理可知三 角形ABC是直角三角形 6．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边 D形的面积是 ( ) A.25 B.12.5 ACB C. 9 D.8.5 答案：B 详细解答：S四边形EFGH =SABCD -S△DEF -S△CFG -S△BGH -S△AEH =5×5-×1×2-×3×3-×2×3-×2×4=12.5 7.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD的面积.（ ） A. 36 B. 25 C. 24 D. 30 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 答案：A 分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形. 12121212详细解答：连接AC，在Rt△ABC中， AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴AC=5. 在△ACD中，∵AC2＋CD2=25＋122=169， 又∵AD2=132=169， ∴AC2＋CD2=AD2，∴∠ACD=90°． 故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=1AB·BC＋AC·CD 212=1×3×4＋1×5×12=6＋30=36. 227．在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝5，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是( )。 A. 10 B.56 C.45 D. 65 答案：B 详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝5 BA所以AC2AB2BC2＝22＋(5)2＝9 所以AC＝3 CD又因为AC2AD2324225，CD25225 222所以ACADCD 所以∠CAD＝90° 所以 S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD11＝×2×5＋×3×4＝56 228.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 那么四边形ABCD的面积是( )。 A. 24 B. 36 C. 18 D. 20 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 答案：C 详细解答：如图，作DE∥AB，连结BD，可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； 所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3； 在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5， B3、4、5勾股数，所以△DEC为直角三角形，DE⊥BC； ECAD利用梯形面积公式可得：四边形ABCD的面积是（3+6）×4=18 8．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，求AC得( )。 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 答案：C 详细解答：如图，∵AD是BC边上的中线，BC＝16cm ∴BD＝8cm ∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm B D C A 12则有：BD2AD2AB2 ∴∠ADB＝90° ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90° 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝15cm，CD＝8cm 22根据勾股定理得：AC＝ADCD＝17 （cm） 9.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD， C△ABC是( )。 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 BC. 不等边三角形 D. 等边三角形 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 答案：A 详细解答：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2又∵CD2=AD·BD ∴AC2+BC2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2 所以△ABC是直角三角形。 9．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点， DAC 且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度数（ ）． A. 115° B. 125° C. 135° D. 120° 答案：C 详细解答：如答图， 将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC, ∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8. 又∵PB2=1，BE2=9， ∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°， ∴∠BPC=135°. A P B 10．已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝DC，判断△BEF为（ ）。 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 等边三角形 14AEDFCB知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 答案：A 详细解答： 设DF＝a，则DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。 在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝（4a）2＋(2a)2＝20a2在Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2＝（2a）2＋a2＝5a2 在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2＝（4a）2＋(3a)2＝25a2 所以BE2＋EF2＝BF2 所以∠BEF＝90° 所以△BEF为直角三角形。 10．如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝ C 13。2△ABC为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案：A 详细解答： 延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE ∵CD＝ 13，DE＝CD 2ADB∴CE＝13 ∵在△ADE和△BDC中 ∴△ADE≌△BDC ∴AE＝BC＝5 在△AEC中：AE＝5，AC＝12，CE＝13 即AE＋AC＝CE，∴∠EAC＝90° ∵∠EAB＝∠CBA 222∴∠CAB＋∠CBA＝∠CAB＋∠EAB＝90° ∴∠ACB＝90° ∴△ACB为直角三角形 第十八章 勾股定理 1. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不克不及判断它是直角三角形的是（ ） A．a:b:c=8∶16∶17B． a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c) D． a=26 b=10 c=24 知识点：勾股定理的逆定理 知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住罕见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。 答案:A 详细解答: A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k， a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝ 289k2， 所以，a2＋b2≠c2，这个三角形不是直角三角形． B． a2-b2=c2 即a2 =c2+b2，这个三角形是直角三角形． C．a2=(b+c)(b-c) 即a2 =b2-c2，所以a2+c2= b2，这个三角形是直角三角形． D． a=26，b=10，c=24，那么c2+b2=102+242=676，a2 =262=676，所以a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形． 1．有一木工师傅丈量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但 他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮他找出来，是（ ）． （A）13、12、12 12 答案:C 详细解答:如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中线AD=12， 由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是 高。 其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不成能是高。 2、△ABC中，AB=AC=10，BC边上的高AD=6，则BC的长为（ ） A、8 B、10 C、12 D、16 知识点：勾股定理在数学上的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经经常使用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。 答案:D 详细解答: 在Rt△ACD中，AD=6，AC=10，那么CD2=AC2-AD2=64， （D）5、8、4 （B）12、12、8 （C）13、10、 CD=8. △ABC中，AB=AC，那么BC边上的高AD平分BC，所以BC=2CD=16 2、已知平面直角坐标系中有A（1，1）和B（4，4）两点，则连结两点的线段AB的长是（ ） A、3 B、18 C、4 D、5 答案: B（32也可） 详细解答:画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形， 由 A（1，1）和B（4，4）两点的坐标可以知道 AC=3, BC=3 ,所以AB2=AC2+BC2=9+9=18 因此AB=18 3、王英同学从C地沿北偏东600方向走10米到B地，再从B地向正南方向走20米到D地，此时王英同学离C地的距离为（ ） A、10米 B、12米 C、15米 D、300米 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。 答案:D（103也可） C北BE东D详细解答:根据题意画出如图所示的示意图， 由题意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=300, 在Rt△BCE中，CB=10米, ∠BCE=300, 那么BE=5米， 因为BC2=BE2+CE2，所以CE2=75。 在Rt△DCE中，DE=BD-BE=15米，CD2=DE2+CE2=75+225=300， 所以CD=300米. 3.如图，一个圆桶儿，底面直径为24cm，高为32cm，则桶内能容下的最长的木棒为( ) A. 20cm B. 50cm 24cm 32cm C. 40cm D. 45cm 答案:C 详细解答:画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长， 由题意知在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=32 cm，那么AB2=AC2+BC2=242+322=1600， 所以AB=40 cm 4．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）． A． B．3 C． 523233 D． 22知识点:特殊三角形——含30°角的直角三角形。 知识点的描述: 含30°角的直角三角形是一个非常重要的图形，要记住这个三角形的角与角之间的关系，也要记住这个三角形中的 边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特别要记住三边之比1： 3：2，应用它来解决问题方便快捷。 答案:D 详细解答:如图，直角三角形ABC中，一个锐角∠B=60°，斜边长 AB为1， 那么BC=,根据勾股定理求出AC=所以周长1++ 12123=12123, 33 24．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB于D，AC边的垂直平分线交AB于E，那么AE∶ED等于( ) A．1∶1 B．1∶2 C．3∶2D．2∶3 答案:D 详细解答:∵AC边的垂直平分线交AB于E，∴AE=CE, ∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°, ∵ CD⊥AB于D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶3 5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状( )。 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。 答案:A 详 细 解 答 : ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c , ∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 ∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0 ∴a=5，b=12，c=13，是一 组勾股数， 利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形。 5、△ABC的三边a,b,c满足a2b2c2abbcac则△ABC是（ ） A、 等边三角形 B 腰底不等的等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形 答案:A 详细解答:∵a2b2c2abbcac ∴2a22b22c22ab2bc2ac ∴a22abb2b22bcc2a22acc20 ∴(ab)2(bc)2(ac)20 ∴abc ∴△ABC是等边三角形 6. 一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是（ ） Ａ.100 B.110 C.120 D. 150 知识点:对比值处理的一般方法。 知识点的描述:当已知几个比相等的时候，我们经常采取设比值为 k的方法，这样往往便于应用条件，也便于计算。 答案:C 详细解答: ∵△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∵它的周长为60cm，∴5k +12k +13k =60，k=2， ∴△ABC的三边分别为a＝10 cm，b＝24 cm，c＝26 cm， ∴a2＋b2＝102＋242＝676，c2＝262＝676， ∴a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形． ∴它的面积是×10×24=120 （cm2） 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10 答案:D 详细解答: 斜边与一条直角边之比为13∶5，无妨设a＝5k，c＝13k，那么b＝12k，又周长为60，∴5k +12k +13k =60，解得k=2， ∴△ABC的三边分别为a＝10 ，b＝24 ，c＝26 。 7．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝23，BC＝2，则S△ABC等于 ( ) 23或43 A．23 B．3 C．3或23 D． 12知识点:多解问题 知识点的描述:中考中经经常使用多解问题来检查学生思考问题的 严密性，从而培养学生研究问题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。 答案:C 详细解答:本题没给出图形，作△ABC的AB边的高CD，分两种情况讨论： （1） 若高CD在△ABC的内部，如图 在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝23，那么CD=3，利用勾股定理 得AD=3 在Rt△BDC中，BC＝2， CD=3，那么利用勾股定理得BD=1 11∴S△ABC=AB×CD=（3+1）×3=23 22（2） 若高CD在△ABC的外部，如图 在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝23，那么CD=3，利用勾股定理 得AD=3 在Rt△BDC中，BC＝2， CD=3，那么利用勾股定理得BD=1 11则S△ABC=AB×CD=（3-1）×3=3 22∴S△ABC=3或23 7．若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此三角形的顶角为 ( ) A．30° B．150° B．30°或150° D．60°或120° 答案:B 详细解答:本题没给出图形，作图如下，作△ABC的AC边的高BD，分两种情况讨论： （1） 若高BD在△ABC的内部，如图 在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2， ∴ BD1=，∴∠A＝30° AB2（2） 若高CD在△ABC的外部，如图 在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2， ∴ BD1=， AB2∴∠DAB＝30°∴∠BAC＝150° ∴三角形的顶角为 30°或150° 8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。 答案:A 详细解答: Rt△ABC中，∠C=90°，那么a2+b2=c2，又c=10cm， 所以a2+b2=100 由已知a+b=14cm，得（a+b）2=196，即a2+b2+2ab=196，所以 2ab=196-100=96，ab=48 则Rt△ABC的面积是ab=×48=24（cm2） 8．直角三角形中一直角边的长为11，另两边为自然数，则直角三 角形的周长为（ ） A．121 B．132 C．100 D．不克不及确定 答案:B 详细解答:假设另一直角边为a，斜边为c，根据勾股定理得： c2=a2+112 ，即（c+a）（c-a）=11×11=121×1 因为 c+a＞c-a ，所以c+a=121，c-a=1解方程组得c=61，a=60，则直角三角形的周长为132。 9．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向480千米的B处，以30 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心300•千米范围内是受台风影响的区域． A市是否会受到台风的影响？如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？（ ） Ａ. 8小时 B. 10小时 C. 12小时 D. A市不会受到台风影响 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 F北1212AB东知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。 答案:C 详细解答:过A作AC⊥BF于C，则AC=AB=240<300， 北CDB东12∴A市会受到台风影响． F 过A作AD=300km，交BF于点D． A∴DC= AD2AC230022402=180（km）， 1802=12小时． 30∴该市受台风影响的时间为： 9．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ Ａ.15 km B.16 km C.17 km D.18 km 答案:C 详细解答: 如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线. M A′ P N 牧童 A 小河 北 东 B 小屋 在Rt△A′DB中，A′D= AA′+AD=8+7=15（km），DB=8， A （km）由勾股定理求得A′B= A'D2DB215282=17（km） D B 10．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D 点在边AB上，•已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？（ ） Ａ.D点在距A点60米的地方，最低造价为480元 B. D点在距A点50米的地方，最低造价为 300元 C. D点在距A点64米的地方，最低造价为480元 D. D点在距A点64米的地方，最低造价为400元 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。 答案:C 详细解答: ∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米， 那么根据勾股定理得AB=100米 当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价， 作AB边的高CD ∵CD·AB=AC·BC ∴CD= ACBC8060==48（米） AB100∴AD=AC2CD2802482=64（米） ∴D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元． 10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元 20m 150° 30m 答案:C 详细解答:作BC边上的高AD，∵∠ABC=150°∴∠ABD=30°，在 Rt△ABD中，AB=20m， ∴AD=10 m， ∴三角形空地的面积为 12BC·AD= 12×30m×10 m =150m2 ∵ 这种草皮每平方 米a元，则购买这种草皮至少需要150a元 11．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝90°，AD＝CD＝52，则四边形ABCD的() A．47B．49 C．53D．60 ＝6，∠B面积为 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求面积问题时，常通过添加辅助线，把一般图形的问题通过分割等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。 答案: B 详细解答：连结AC，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90° ∴AC= AB2BC2826210 在△ADC中，AD＝CD＝52 ∴AD2+DC2=（52）2+（52）2=100 又∵AC2=102=100 ∴AD2+DC2=AC2 所以∠ADC=90° ∴S 12四 1212边 12形 ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AD·DC=×8×6+·52·52=24+25=49 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之和。 11．在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2，则BD等于（ ） A、4 B、6 C、8 D、210 答案:B 详细解答: ∵ AC=10，DC=2 ， ∴AD=8 在Rt△ABD中，AB=10，AD=8， ∴BD=6 12．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（ ）． A．5 B．3 C．1 D．知识点:方程的思想 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往 往要利用方程来解决问题。 答案:B 详细解答: ∵ AD=2BD， ∴可设BD=k，AD=2k Rt△ADC中，∠ADC=90°，那么AC2-AD2=DC2； Rt△BDC中，∠BDC=90°，那么BC2-BD2=DC2， ∴AC2-AD2= BC2-BD2， 得方程52-（2k）2= 42-k2 解得k=3，所以BD的长为3。 12．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A.56 B.48 C.40 A1 2 D.32 答案:B 详细解答:如图，假设BD=DC=x，那么AB=AC=16-x， BDC在Rt△ADC中， AD2+DC2=AC2 ∵ AD＝8，CD＝x，AC=16-x ∴82+x2=（16-x） 2 解得x=6 三角形的面积为AD·BC=×8×12=48 13．一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是( ) A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定. 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。 答案:B 详细解答:将圆柱沿过点A的母线展开，画出如图所示的圆柱的正面展开图， 蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路径就是图中的线段AB， 由题意知在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝×2×2=6，∠C＝90° 12A1212B∴AB= AC2BC2826210（cm） 13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00时甲、乙二人还能坚持联系吗？（ ） Ａ.能 B.不克不及 答案:A 分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离． B 详细解答:如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时， 走了12千米，即OA=12（千米）． O A 乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB=5（千米）． 在Rt△OAB中，AB2=122十52＝169，∴AB=13（千米）， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能坚持联系． 14、如图，∠AOB=450，点P在∠AOB的内部， OP=2，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则P1P2 的长（ ）。 A、23 B、3 C、22 D、2 知识点：勾股定理在数学上的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经经常使用于求线段的长度。求一条线段长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。 答案:C（8也可） 详细解答: ∵P1与P关于OA对称， ∴OP1=OP=2 ，∠AOP=∠AOP1∵P2与P关于OB对称，∴OP2=OP=2 ，∠BOP=∠BOP2∵∠AOB=450， 即∠AOP+∠BOP=450， ∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP ）=2×450=900， ∴在Rt△P1OP2中， P1P22= OP12+ OP22=8 ∴P1P2=822 14、如图，AC是圆的直径，∠B为直角，AB=6，BC=8，则阴影面积 为（ ）。 （A）100π-24 25π-24 （C）100π-48 25π-48 答案:B 详细解答: ∠B为直角，AB=6，BC=8，那么AC=10 （ D ） （ B ） 则阴影面积为π×52-×6×8=25π-24 15．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（ ） A．10B．410C．13D．213 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。 答案:D（52也可以） 详细解答:如图所示，无妨设中线AD=210，中线BE=5 假设AC=b，BC=a 在Rt△ADC中，AC2+DC2=AD2，即b2+（a）2=（210）2， 化简为4b2+a2=160， 在Rt△BEC中，BC2+EC2=BE2，即a2+（b）2=52， 化简为4a2+b2=100， 两式相加得4b2+a2+4a2+b2=160+100，即5（a2+ b2）=260， 所以a2+b2=52，根据勾股定理得AB=52=213 15、CD是直角△ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（ ）。 A、 417121212 B、 317 C、 2 17D、 1 17答案:A 详细解答:假设CB=k，那么AC=4k，直角△ABC中求得AB=17k， 又已知AB=1，所以k= AB·CD=AC·BC得CD= 117，BC= 117，AC= 417 4 1716、如图，△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，则BD的长 25 B、3 81516C、 D、 45为（ ） A、 知识点:方程的思想和折叠问题 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往 往要利用方程来解决问题。折叠问题中用得最多，还要特别注意利用相等的线段。 答案:A 详细解答:连结AD， △ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，那么AB=5 ∵AB的垂直平分线交AB于E，∴AD=BD 假设BD为x，那么AD=x，DC=4-x， △ADC中，∠C=900，AC=3，DC=4-x，AD=x，∴32+（4-x）2=x2，解得x= 25 816．已知，如图长方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ） A.6cm2 B.8cm2 C.10cm D.12cm22 A E D 答案:A B F C 详细解答:假设AE=x，那么EB=ED=9-x 在Rt△ABE中，32+x 2=（9-x）2，解得x=4 △ABE的面积为×3×4=6（cm2） 17．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.（ ） Ａ. 141 cm B.53cm C.53 cm D.42 cm 3312知识点:方程的思想 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往 往要利用方程来解决问题。 答案:B 详细解答:由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB 又AC=AB=BD+AD=12+AD， 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2， 即(12+AD)2=AD2+162，解得AD= 1314， 3B C D A 故△ABC的周长为2AB+BC=53cm 17.如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇 的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？（ ） Ａ. 10时41分 B. 10时30分 C. 10时51分 D. 11时 答案:A 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解. 详细解答:设MN交AC于E，则∠BEC=900. 又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900. 又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE， 则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得 B A M E C 26CE=288， ∴CE= 144. 13N 144144÷13=≈0.85（小时），0.85×60=51（分）. 131699时50分+51分=10时41分. 答：走私艇最早在10时41分进入我国领海. 18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连结CQ．若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 知识点:综合利用勾股定理以及逆定理、数学思 想、经常使用方法 知识点的描述:一个综合题往往要用到很多数学 知识和方法，设比值为k、方程的思想、勾 股定理以及逆定理，还有代数中的一些变形技巧都可能用到，要综合利用。 答案:A 详细解答:在△ABP与△CBQ中， ∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60° ∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ ∴△ABP≌△CBQ ∴AP＝CQ 由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60° ∴△PBQ为等边三角形 ∴PQ＝4a 于是在△PQC中，PQ∴△PQC是直角三角形 18.如图，长方形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm.点P是边AD上的一个点,PA=PC， Q是AB边上的一个点,AQ15,△PCQ是 42A P C Q B QC216a29a225a2PC2 （ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案:A 详细解答:设AP=x，则PD=8－x，PC=x，8x242x2，解得 x=5 在Rt△APQ 15中， QP2=AP2+AQ2=52+422=625, 1615+82=1025, 在Rt△CBQ中，CQ2=BQ2+BC2=4416∵QP2+PC2=625+52= 161025= CQ2 ∴QPPC 16所以△PCQ是直角三角形 15.1.1图形的平移 ◆随堂检测 1、下列几种运动属于平移的是（） （1）水平运输带上的砖的运动；（2）啤酒生产线上的啤酒通过压盖机前后的运动；（3）升降机上下做机械运动；（4）足球场上足球的运动 A．一种 B．两种 C．三种 D．四种 2、下列图形中，由原图平移得到的图形是（ ） 原图 A． B． C． D． 3、在如图所示的四个汽车标记图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( ) A． B． C ． D． ４、如图所示，△ABC平移后成为△EFB,下列说法正确的个数有：（ ） EA F C B ①线段ＡＣ的对应线段是ＢＥ；②点Ｂ的对应点是点Ｃ；③点Ｂ的对应点是点Ｆ；④平移的距离是线段ＣＦ的长度。 Ａ１个 Ｂ２个 Ｃ３个 Ｄ４个 5、卷帘门上有A、B两点，（B点在A点下方）当A点向上移1m,那么B点向移动了 m。 ６、如图，经过平移圆心点O平移到了点o，你能作出平移后的圆吗？ O •O ◆ 典例分析 如图所示，若∠A=80O,∠E=60O,你知道∠CABC平移后得到△DEF，的度数吗？说明理由。 A D B E O C F ◆课下作业 ●拓展提高 1、火车在笔挺的铁路上开动，火车头以100千米/时的速度前进了半小时，则车尾走的路程是（ ） A、100千米 B、50千米 C、200千米 D、无法计算 2、将线段AB平移1cm,得到的线段是A/B/,则A到点A/的距离是。 3、如图所示，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中有两个小等边三角形，其中△FBD可以看成是由△AFE平移而得到，则平移的方向是，平移的距离为。 A F EB ＤC 4、△DEF是把△ABC水平向左平移3.5cm得到，你能作出△ABC吗？ D E F 5、如图所示，长方形ABCD，对角线AC,BD相交于O,DE∥AC,CE∥BD,那么△EDC可以看作由平移得到的，平移的距离是线段的长度。 AOBDE C●体验中考 1、（2009年广东广州）将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ） 2、（2009年青海）如图，请借助直尺按要求画图： （1）平移方格纸中左下角的图形，使点P1平移到点P2处． （2）将点P1平移到点P3处，并画出将原图放大为两倍的图形． P2 P3 P1 15.1.2平移的特征 ◆随堂检测 1、在下面的六幅图案中，平移（1）可得到（2）、（3）、（4）、（5）、（6）中的哪个图案？ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2、在下列说法中，①四边形在平移过程中，对应线段一定相等； ②四边形在平移过程中，对应线段一定平行；③四边形在平移过程中，周长不变；④四边形在平移过程中，面积不变，、其中正确的是：（ ） A、①②③ B、①②③④ C、②③④ D、①③④ 3、平移不改变图形的和，只改变图形的 4、小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印（填能或不克不及）通过平移与右手手印完全重合。 5、将线段AB向右平移3cm得到线段CD，如果AB=5 cm，则CD=cm. 6、将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG，如果∠ABC=52°，则∠EFG=°，BF=cm. ◆典例分析 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB 方向平移到△A’B’C’的位置。 （1）若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重 叠部分的面积； （2）若平移距离为x（ ），求△ABC与△A’B’C’的重叠 部分的面积y，并写出y与x的关系式。 ●拓展提高 1、下图中，ABC平移到了A'B'C'位置，下列结论不成立的是 ( ) A ．BCB'C' B ．CC' C ．AA' D．ABA'C' 2、如图，△ABC沿着点A到A1的方向平移到△A1B1C1的位置，如果AB=5cm,BC=4cm,∠A=60O∠B=50O,则∠C1=,B1C1=. A A1 B C B1 C1 3、 将面积为30cm2的等腰直角三角形ABC向下平移20cm，得到△MNP，则△MNP是三角形，它的面积是cm2. 4、如图，在长方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O ，画出AOB平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长． 5、如图，由三角形ABC平移得到的三角形有几个？ 6、△ABC经过平移后得到△DEF,(1)指出平移的方向和距离； （2）写出图中相等的线段和平行的线段(包含虚线)； （3）写出图中相等的角。 A E F C D B ●体验中考 1、（2009年，广东）将线段AB平移1cm，得到线段A/B/,则点A到点A/ 的距离是 2．(2009年福建宁德)在如图所示的四个汽车标记图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( ) A． B． C ． D． 15.2.1图形的旋转 ◆随堂检测 1、如右图，甲图案可以看作是乙图案通过怎样变换而得到？（ ） A．先按逆时针旋转90°再平移； B．先按逆时针旋转90°再作轴对称图 C．先平移再作轴对称； D．先平移再作逆时针旋转90° 2．将字母“T”按顺时针方向旋转90°后的图形是（ ） 3、现象中属于旋转的有( )个 ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动； ⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动. A.2 B.3 C.4 D.5 4、如图，线段MO绕点O旋转900得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是，旋转角是，它等于度. （第4题） （第5题） 5、如图，长方形ABCD是长方形EFGD绕旋转中心________•沿_______•旋转______度得到的，对角线AC与EG的关系是________，理由是_________． ◆典例分析 如图，将△ABC绕点A旋转得到△AEF，指出图中的 旋转中心、旋转角度及对应线段、对应角。 分析:旋转角是连结对应点与旋转中心所形成的角，而对应线段是对应点所在的线段，对应角则由对应点所形成的角，因此关键是要分清楚是谁的对应点。 ◆课下作业 ●拓展提高 1、如图1，在正方形ABCD中有一点P，把⊿ABP绕点B旋转到⊿CQB， 连接PQ，则⊿PBQ的形状是（ ） （A）等边三角形 （B）等腰三角形 （C）直角三角形 （D）等腰直角三角形 D （第1题） （第2题） （第 F C A 450D C3题） B O OE M·AB2．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（） A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠AOF 3、如图，ABO绕点O旋转450后得到DCO，则点B的对应点是_____；线段OB的对应线段是____；线段AB的对应线段是____；∠A的对应角是_____；∠B的对应角是_____；旋转中心是_____；旋转的角度是______.△AOB的边OB的中点M的对应点在. 4、图中的两个等腰三角形是全等的，且∠AOD=45°，OB=4㎝，OA= 1㎝．怎样将右边的三角形变成左边的三角形? 5、如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转 A D O 第4题 B C 后到达△ACE的位置。 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ A M E B D C 6、如图，四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？ D A E B C F ●体验中考 1、（2009年，陕西）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角的大小可以是（ ） A、30° B、45° C、60° D、90° （第1题） （第2题） 2、如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，如果∠A′DC=90°，那么∠A的度数是多少？ 15.2.2旋转的特征 ◆随堂检测 1、你玩过万花筒吗？它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。下图是看到的万花筒的一个图形，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ） A．顺时针旋转600得到 B．顺时针旋转1200得到 C．逆时针旋转600得到 D．逆时针旋转1200得到 G F A E D B C 2、如图，在△ABC中，∠B=900，∠C=300，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转1800，点C落在C1处，则C C1的长为（ ） A．42 B．4 C．23 D．25 3、如图所示，图形①经过变更成图形②，图形②经过变更成图形③。 图① 图② 图③ 4、如图，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A=，∠B=,AB=, AC= C B1 A C1 B A E B C D 5、如图，△ABC中，∠ACB=1200，将它绕着点C旋转300 后得到△DCE，则∠ACE= ∠A+∠E= D A B E C 6、如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点A′，•试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形． ◆典例分析 如图所示，△ACD和△BCE都是等边三角形，△DCB经过旋转后得到△ACE。 ⑴指出旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶图中还存在是旋转关系的三角形吗？ ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列关于图形旋转特征的说法不正确的是（ ） A.对应线段相等 B.对应角相等 C.图形的形状与大小都坚持不变 D.旋转中心平移了一 定的距离 2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=∠BCD=90O,AH⊥BC于H,AH=5,则四边形ABCD的面积是（ ） A.15 B．20 C．25 D．无法确定 A D B H C 3、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转300到正方形A1B1C1D1，图中阴影部分的面积为（ ） C B B1 31A． B． 32C1 D C．1 - 33 D．1 - 34A D1 4、将等边△ABC绕着点A按某个方向旋转400后得到△ADE(点B与点D是对应点)，则∠BAE的度数为_____. 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，以直角顶点C•为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，求∠BDC的度数． 6、如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3．试求∠APB的度数．（提示：可将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△BP′C，连PP′，从而求出∠PP′C的度数）． ●体验中考 1、（2009年，泸州）如图l，P是正△ABC内的一点，若将△BCP绕点B旋转到△BAP’，则∠PBP’的度数是（ ） A、45° B、60° C、90° D、120° 2、（2008年，长沙）如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点(不与A、B重合)，以CD为一边，向上作等边△EDC。连结AE。 求证：⑴AE∥BC； ⑵图中是否存在旋转关系的三角形，若有，请说出其旋转中心与旋转角，若没有，请说明理由。 15.2.3旋转对称图形 ◆随堂检测 1、如图,过圆心O和圆上一点A连一条曲线,将曲线OA绕O点按同 一方向连续旋转三次,每次旋转900,把圆分成四部分,则 ( ) A．这四部分纷歧定相等 B．这四部分相等 B．前一部分小于后一部分 D．不克不及确 A （第 1 O 题） （第 2题) 2、如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ） A．30° B．60° C．120° D．180° 3、如图3所示的图形是旋转对称图形，•它是绕它的旋转中心旋转_______度后与自身重合的？ （第3题） (第4题) （第5题） 4、如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 5、如上图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？ ◆典例分析 我们在生活中可以看到很多图形绕着某一点旋转一定的角度后重合，如下图所示，这四个图形都是旋转对称图形。 ⑴⑵⑶⑷ 请大家观察上面的图形，然后说一说它们在旋转多少度后能与自身重合？ ◆课下作业 ●拓展提高 1、如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数分歧的是（ ） （A） （B） （C） （D） 2、如图所示图形旋转一定角度能与自身重合，则旋转的角度可能是 ( ) A．30° B．60° C．90° D．120° B A （C D （第2题） （第3题） （第4题） 3、如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的，把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合，则旋转的角度为（ ） A．45°或90° B．90°或180° C．180°或270° D．n·45°（1≤n≤8，且n为正整数） 4、如图，已知等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC，以图中的某个点为旋转中心，旋转△DBC与△ABC重合，则旋转中心为（写出所有满足条件的点）。 5、如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，•将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，•你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，而且还要扣分的噢！ 6、已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF: (1)FDC与EBC相等吗？（2）△DCF能与△BCE重合吗？（3）BE与DF垂直吗？ A D E B C F ●体验中考 1、（2009年，天津）如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长． 15.3中心对称 ◆随堂检测 1、如图，不是中心对称图形的是 （ ） 2、给出下列图形：（1）角；（2）直角三角形；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）圆。其中为中心对称图形的是（ ） A．（4）（5） B．（2）（3）(5) C．(3)(4) D.(1)(3)(4)(5) 3、在数字0至9中，哪些是中心对称图形。 4、世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性。请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有。 一石激起千层浪 方向盘 铜钱 5、如图,已知ΔABC和ΔDEF关于点O成中心对称,则AO＝，BO＝，CO＝，点A关于对称中心O的对称点是，点B关于对称中心O的对称点是，点C关于对称中心O的对称点是． A O B F E 6、若ΔABC和ΔABC关于点O成中心对称,那么ΔABC绕点O旋 B C重合. D 转后能与ΔCA◆典例分析 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ◆课下作业 ●拓展提高 1、单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（ ） A．N B．A Ｃ．M D．E 2、下列说法错误的是 ( ) A．中心对称图形一定是旋转对称图形 B．轴对称图形纷歧定是中心对称图形 C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分。 D．旋转对称图形一定是中心对称图形。 3、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是( )． (A) 平行 (B) 相等 (C) 平行且相等 (D) 相等且平行或在同一直线上 4、．已知点O是 ABCD对角线的交点,则图中关于点O对称的三角形有对,它们分别是. 5、如图, ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD,连结AD、BC,得到四边形ABCD,则ABCD(填位置关系),与ΔAOD成中心对称的是，由此可得ADBC(填位置关系)． A O D C B 6、如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）； （2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积． ●体验中考 1、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形 2、（2009年山东济宁）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 15.4图形的全等 ◆随堂检测 1、下列命题正确的是：（ ） A．形状相同的两个图形叫做全等形 B．大小相同的两个多边形叫做全等多边形 C．“△ABC≌△DEF“说明点A与点D是对应点，点B与点F是对应点，点C与点E是对应点 D．全等三角形是能够完全重合的两个三角形 2、判断如图（1）（2）（3）所示的两个图形是不是全等图形。 （1） （2） （3） 3、如图，如果所画的两个三角形是全等的，那么可以写成________≌________． 4、下列8个图形中的全等图形： 5．如图所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数． ◆典例分析 已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长. ◆课下作业●拓展提高 1、下列说法正确的是：( ) A．全等图形的面积一定相等 B．面积相等的两个多边形一定全等 C．轴对称的两图形一定全等，全等的两个图形一定关于某条直线对称 D．面积相等的两个圆纷歧定全等 2、如图，ABC≌AEF,ABAE,BE，则对于结论①ACAF；②FABEAB；③EFBC；④EABFAC，其中正确结论的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、（2009年广东省清远市）如图，若△ABC≌△A1B1C1，且 A110°，B40°，则C1=． A B C B1 A1 C1 4．如图所示，△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6cm，AC=4cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度？ 5、如图所示，△ABD≌△ACE,且E在BD上，CE交AB于F,若∠CAB=20O,求∠DEF的度数。 A C D B E 6、如图，△ABC与△DCB全等，写出它们的对应边和对应角，你认为图中还有没有全等的三角形？如果有，请你把它们写出来。 A E D B C ●体验中考 1.（2009年海南省）已知图中的两个三角形全等，则∠度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50° 2.（2009山西省太原市）如图，△ACB≌△ACB，BCB=30°，则 ACA的度数为（ ） A A A．20° B．30° BB C．35° D．40° C 16.1.1 平行四边形的性质 ◆随堂检测 1、ABCD的周长为40cm， ABC的周长为25cm，则AC得长为（ ） A．5cm B．6cm C．15cm D．16cm 2、平行四边形不具有的性质是（ ） A．对角线互相垂直 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 3、如图，在 ABCD中，∠ACB=∠B=50°，则∠ACD=． 4、在 ABCD中，∠A的余角与∠B的和为190°，则∠BAD=． 5、在 ABCD中，AD边与BC边的长度之和恰好是边AB与CD边长之和的2倍，又知AB=3，求该平行四边形的周长． ◆典例分析 如图，在 ABCD中，∠A+∠C =160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数． ◆课下作业 ●拓展提高 1、如图所示，在 ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF交GH于点O，则该图中的平行四边形的个数为（ ） A．7 B．8 C．9 D．11 2、如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF=60°，则∠B等于 （ ） A．60° B．50° C．70° D．65° 3、如图，在 ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF， ∠E+∠F等于 （ ） A．110° B．30° C．50° D．70° 4、三的 第4题 如图，等腰角形ABC一 腰 AB=4cm，过底边BC上的任一点D 作两腰的平行线，分别交两腰与E、F，则平行四边形AEDF的周长是. 5、如图，在 ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=. 6、如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD=8，AB=10，BD=6，求BC、CD及此平行四边形的面积. ●体验中考 1、（2009年山东省东营市）如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm A D B E C 2、(2009年黑龙江省牡丹江市)如图，ABCD中，E、F分别为BC、需添加一个条件：． AD边上的点，要使BFDE，A F D B E C 参考答案： ◆随堂检测 1、A．平行四边形的周长为40cm，所以AB+BC=20cm，所以AC=25-20=5cm. 2、A．平行四边形的性质. 3、80° 根据三角形内角和为180°可得. 4、40° 平行四边形的性质. 5、18 在 ABCD中，CD=AB=3，AD+BC=(3+3)×2=12， AB+BC+CD+DA=3+3+2=18. ◆课下作业 ●拓展提高 1、C. 平行四边形的性质. 2、A．在 ABCD中，BC∥AD，AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵∠EAF=60°， ∴∠FAD=30°， 在Rt△ADF中，∠D=90°-∠FAD=60°=∠B. 3、D．由∠B=110°可得∠ADC=∠B=110°，∴∠EDF=∠ADC=110°，∴∠E+∠F=70°. 4、8cm 在 AEDF中，DE∥AF，∠BDE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BDE， ∴BE=DE，同理FD=FC，∴AE+ED+DF+AF=AB+AC=8cm. 5、3 易求AE=AB=4，DE=DF=3. 6、解：在 ABCD 中，BC=AD=8，CD=AB=10， ∵AD2BD28262102AB2， ∴AD⊥BD，S平行四边形ABCD=AD·DB=48. ●体验中考 1、A. 平行四边形的性质. 2、BEDF或BF∥DE；AFCE;BFDBED；AFBADE等 16.1.2 平行四边形的性质 ◆随堂检测 1、已知O是 ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=•12cm，•则△BOC的周长 是_______． 2、如图，已知O是 ABCD的对角线的交点，AC=38mm，BD=24mm，AD=14mm， 那么 OBC的周长等于mm. 3、个四 若平边 第4题 一行形 的一条边长为10cm，一条对角线长为16cm，则另一条对角线长a的取值范围为. 4、如图，AF∥BG，AB∥CD，CE⊥BG，FG⊥BG，则下列说法错误的是（ ） A．AB=CD B．点C到直线BG的距离就是线段CE的长 C．EC=FG D．直线AF与直线BG的距离就是线段CD的长 ◆典例分析 如图所示，已知 ABCD，AB=8cm，BC=10cm，∠B=30°，求 ABCD的面积． ◆课下作业 ●拓展提高 1、已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以其中的两条线段为平行四边形的对角线，剩下的一条为平行四边形的一边，可以画出个平行四边形. 2、已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，那么 ABCD的面积 为_______． 3、在 ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（ ）． A. AB=4，AD=4 B. AB=4，AD=7 C. AB=9，AD=2 D. AB=6，AD=2 4、平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）． A.8cm和14cm B.10cm和14cm C.18cm和20cm D.10cm和34cm 5、平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为( ) A. 6 △OBC的周长大4cm，求平行四边形的边长． ●体验中考 1、（2009年广西省桂林市、百色市）如图，ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6， BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）． A．3 B．6 C．12 D．24 A D B C 2、（2009年内蒙古呼和浩特）如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝42，则ΔCEF的周长为（ ） A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 参考答案： ◆随堂检测 1、26cm 平行四边形对角线相互平分. 2、45 由AC=38mm，BD=24mm，可得OC=19mm，OB=12mm，又AD=14mm，所以BC=AD=14mm. 3、4cm﹤a﹤36cm 4、D. 平行线及平行四边形的性质可得. ◆课下作业 ●拓展提高 1、2 平行四边形的性质. 2、8 根据三角形等底同高面积相等，可得平行四边形的面积为△AOB的面积的4倍. 3、B. 根据三角形任意两边之和大于第三边可得. 4、C. 同上. 5、D. 平行四边形对角线的性质. 6、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，OB=OD， ∵△ABC 的周长比△OAB 的周长小 4cm， ∴(AD+AO+OD)-(AO+OB+AB)=AD-AB=4cm， 又∵ ABCD的周长为28cm，AD+AB=14cm，故而求得AD=9cm，AB=5cm， ∴这个平行四边形各边的长为9cm，5cm，9cm，5cm. ●体验中考 1、C. 平行四边形有关的计算. 2、B. 平行四边形的性质. 16.2.1 矩形的性质 ◆随堂检测 1、矩形是轴对称图形，它有______条对称轴． 2、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，•边BC=•8cm，•则△ABO的周长为________． 3、如图1，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）． A.98 B.196 C.280 D.284 （1） (2) (3) 4、如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________． 5、如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．•若矩形 ABCD•的周长为48cm，•则矩形ABCD的面积为_______cm2． 6、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的F处，折痕为AE，求CE的长． ◆典例分析 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，求∠COD与∠COE的度数． ◆课下作业 ●拓展提高 1、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为12，则对角线长为，短边长为． 2、在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，作AE⊥BD，垂足为E．ED=3EB，则∠AOB得度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 3、矩形中，对角线把矩形的一个直角分成1︰2两部分，则矩形对角线所夹的锐角为 A.30° B.45° C.60° D.不确定 4、如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC的三等分点，则△BEF的面积为( ) A.8 B.6 C.4 D.5 5、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=10cm，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，则四边形AEFD的面积为（ ） A.28cm2 B.26 cm2 C.24 cm2 D.20cm2 6、在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°. （1）△AOB为等边三角形，说明理由； （2）求∠AOE的度数. ● 体验中考 1、（2009年山东济南）如图，矩形ABCD中，AB3，BC5．过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是（ ） A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4 2、（2009年湖北仙桃）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝ 3，折叠后，点 C落在AD边 上的C1处，而且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）． A. 3 B.2 C.3 D.23 参考答案： ◆随堂检测 1、2 矩形的对角线有2条. 2、16cm 矩形的对角线互相平分. 3、C. 可设小矩形的长为x，宽为y，则2（x+y+2x）=68，又2x=5y，联立得x=10，y=4， 所以小矩形的面积为40，故大矩形的面积为40×7=280. 4、a（m-b） 5、108 6、解：由题可知，设CE=x，则DE=8-x，所以EF=8-x，因为AD=10，AB=8， 所以BF=6，所以FC=10-6=4，根据勾股定理得，x=3. ◆课下作业 ●拓展提高 1、8，4 矩形的对角线性质. 2、C. 通过ED=3EB，AE⊥BD，可得△ABO为等边三角形，可得∠AOB=60°. 3、C. 同上. 4、A. 因为E、F是AC的三等分点，根据同底等高面积相等可得△BEF 的面积为△ABC的三分之一. 5、C. 因为AB=4cm，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，所以四边形AEFD 的面积为矩形的面积减去边长为4的正方形的面积. 6、证明：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，又∵∠CAE=15°，∴∠BAC=60°， 又∵AO=BO，∴△AOB为等边三角形. （2）∵△AOB为等边三角形，∴BO=AB，又∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO, 又∵∠OBE=90°-60°=30°,∴∠BOE=∠BEO=75°, ∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=135°. ● 体验中考 1、D. 矩形的性质和勾股定理可得. 2、C. 矩形的性质. 16.2.2 菱形的性质 ◆随堂检测 1、在菱形ABCD中，AC＝6，DB＝8，则菱形的面积为. 2、菱形的周长是9.6，两个邻角之比为1：2，则这个菱形较短的对角线长为. 3、菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5：4，则它的各内角度数为. 4、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则 ∠BAD的度数为. 5、如图，菱形花坛DEFG的边长为6， ∠E＝60度，其中由两个正六边形组成的图形的部分种花，则种花部分的周长（粗线部分）为. 6、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6. 求这个菱形的周长与两条对角线的长度. ◆典例分析 如图，在菱形ABCD中，∠ACD=30°，求∠BDA、∠ABC的度数. ◆课下作业 ●拓展提高 1、菱形的两个邻角的比是1︰2，两条对角线长分别为a、b，且a＞b，则菱形的周长为（ ） A.4a B.4b C.2a-b D.4a+4b 2、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（ ） A.80° B.70° C.65° D.60° 3、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，MP+NP的最小值是（ ） A.2 B.1 C.2 D.1 24、在菱形ABCD中，对角线BD上一点O到AD的距离为2，则点O到另一边CD的距离 为. 5、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3︰4，则面积为. 6、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足.且BE=CE，AB=2.求： （1）∠BAD的度数； （2）对角线AC的长及菱形ABCD的●体验中考 1、(2009年河北)如图，在菱形ABCD= 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等（ ） A．20 B．15 B C A D 周长. 中，AB 于 C．10 D．5 2、（2009年广西河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ） A.3cm2 B.4cm2 C.3cm2 D．23cm2 3、（2009年江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离ABBC16cm，则∠1度． A 1 B C 参考答案： ◆随堂检测 1、24. 菱形的面积等于对角线乘积的2倍. 2、2.4. 由题可得较短对角线和菱形两边组成等边三角形，所以较短对角线为9.6÷4=2.4. 3、50° 40° 90° 4、100° 设∠BAE=x，则∠DAF=x，所以∠BAD=2x+60°，所以2∠B=360°-2（2x+60°）， 又2∠B=180°-x，联立得x=20°. 5、20 6、周长为4×10=40，两条对角线的长度分别为16，12. ◆课下作业 ●拓展提高 1、B. 菱形的对角线的性质. 2、D. 连接FB，易证AF=FB，∠FAB=∠FBA= 12∠BAD=40°， ∠ABC=100°，∠CBF=60°， 将△CDF沿CF对折，△CDF≌△CBF，所以∠CDF=∠CBF=60°. 3、B. 作N关于AC的对称点N′，连接MN′，易证N′为CD中点，MN′=AD=1. 4、2 5、96cm2 6、解：（1）∵AE⊥BC，且BE=CE，∴△ABC为等边三角形 ，∠B=∠D=60°， ∴∠BAD=∠BCD=120°. (2)AC=AB=2，周长为：4×2=8. ●体验中考 1、D. 菱形和等边三角形的性质. 2、D. 菱形的对角线的性质. 3、120 菱形的对角线的性质. 16.2.3 正方形的性质 ◆随堂检测 1、正方形具有而菱形纷歧定具有的性质是( ) A.内角和为360° B.对角线相等 C.对角线平分内角 D.对角线互相垂直平分 2、正方形具有而矩形纷歧定具有的性质是( ) A.四个角都相等 B.四条边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 3、下列结论中，正确的有( ) ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质； ③正方形具有菱形的一切性质； ④正方形有两条对称轴； ⑤正方形有四条对称轴. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm，则这个正方形的面积为( ) A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.64cm2 5、如图，E为正方形ABCD内的一点，且△BCE为等边三角形，则∠ABE=， ∠AEB=，∠AED=. 6、在中，ACBE=DE. ◆典例分析 第5题 已正点 第6题 知，如图，方形ABCDE在对角线上，求证： 如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，且AC=CE，AE交CD于点F，求∠E和∠AFC的度数. . ◆课下作业 ●拓展提高 1、已知正方形ABCD中，AC=20cm，M点在AD上，MN⊥AC，MP⊥BD.则MN+MP的值为( ) A.5cm B.10 cm C.20 cm D.8 cm 2、一个三角形与一个正方形的面积相等，三角形的底边长是正方形边长的4倍，则三角形的高与正方形的边长的比为( ) A.1︰4 B.1︰2 C.1︰1 D. 2︰1 3、如图，已知正方形ABCD中，E为对角线AC上的一点，且AE=AB. 则∠EBC的度数是. 4、如ABCD△ABP 第3题 图，P内一为等 第4题 是正方形点，如果边三角形，DP 的延长线交BC于C， 那么∠PCD=. 5、如图，正方形ABCD的面积等于9cm2，正方形DEFG的面积等于4cm2，则阴影部分的面积为多少？ ●体验中考 1、（2009年湖北孝感）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（ ） 第5题 A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都分 歧错误 2、（2009年北京市）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n2,且n为整数），则A′N=（用含有n的式子暗示） 参考答案： ◆随堂检测 1、B. 正方形的性质. 2、B. 正方形的性质. 3、D. 正方形的性质. 4、D. 由等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm，可以求得等 腰三角形的周长为32cm，故而正方形的周长为8cm，所以正方形的面积为64cm2. 5、30° 75° 150°.由正方形的性质和等边三角形的性质可得. 6、证明：证△BEC与△DEC完全重合. ◆课下作业 ●拓展提高 1、B. 令AC与BD相交于点O，由MN⊥AC，MP⊥BD，可得四边形 MNOP为矩形，所以MP=NO，又因为∠DAC=45°，所以MN=AN，所以MN+MP=AC=×20=10cm. 12122、B. 设三角形的高为x，正方形的a，则由面积相等可得， 11·4a·x=a2，x=22a. 3、22.5°. 由AE=AB可得，△ABE为等腰三角形，又因为∠EAB=45°， 所以∠ABE=∠AEB=77.5°，所以∠EBC=22.5°. 4、15°. 易求∠ABP=60°，∠PBC=30°，∠BPC=∠BCP=75°，所以∠PCD=15°. 5、解：因为正方形ABCD的面积等于9cm2，正方形DEFG的面积等于4cm2，EF=2cm，BC=3cm， 所以三角形EFC的面积为×2×3=3cm2，三角形ABC的面积为×3×3=cm2， 所以阴影部分的面积为4+9－3－=cm2. ●体验中考 1、C. 正方形的性质. 2、 321212929272， 2n1（n2，且nn为整数） 16.3 梯形的性质 ◆随堂检测 1、等腰梯形的两腰，同一底上的两个角，对角线. 2、如图，在梯形ABCD中，∠B=50°，∠C=80°，则∠D=，∠A. 3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=2，BC=6，∠B=60°，则CD=. 4、一等腰梯形的上底为9cm，下底为17cm，一底角为60°，则它 的腰长为（ ） A.8cm B.9cm C.8.5cm D.7cm 5、等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则其底角的度数为（ ） A.30°或150° B.45°或135° C.60°或120° D.75°或105° 6、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，DE∥BCAB于点E，梯形周长为30cm，CD=5cm， 则△ADE的周长为多少？ ◆典例分析 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4cm，BC=10cm，∠DBC=45°，求梯形ABCD的面积. ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列说法正确的是（ ） A.对角线相等的四边形是等腰梯形 B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C.两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D.等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 2、如果等腰梯形的两底之差等于一腰长，那么这个等腰梯形的锐角是（ ） 交 A.60° B.30° C.45° D.15° 3、等腰梯形有一角为120°，腰长为3cm，一底边长为4cm，则另一底边长为（ ） A.3cm B.2cm C.1cm D. 1cm或7cm 4、已知直角梯形的一条腰长为5cm，这腰与底边成30°角，则这梯形另一腰的长为（ ） A.10cm B.5cm C.2.5cm D. 7.5cm 5、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，则AB等于（ ） A.a B.b C.ab D.a2b 6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，试说明CD=BC-AD. b2a27、（2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º. (1)求证：AB⊥AC； 第6题 (2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积 . 参考答案： ◆随堂检测 1、相等 相等 相等. 2、100° 130°.根据梯形上底和下底平行，可知∠A与∠B互补，∠C与∠D互补. 3、2. 过A点作AE∥CD交BC于E，可得四边形AECD为平行四边形，所以∠AEC=∠C. 又因为∠B=60°，所以∠AEC=∠B=60°，所以CD=AB=2. 4、A. 可以等腰梯形上底的一顶点向下底作垂线，这样垂线和腰还 有下底构成直角三角形，再根据30°的直角边等于斜边的一半即可求得. 5、B. 要分为上底较长和下底较长两种情况去考虑. 6、20cm.解：因为梯形周长为30cm，所以AB+BC+CD+DA=30cm，又 因为DE∥BC， 所以四边形DEBC为平行四边形，所以EB=CD=5cm， 所 以 △ADE 的 周 长 为 AD+AE+DE=AD+AE+BC=AB+BC+CD+DA-2CD=30-2×5=20cm. ◆课下作业 ●拓展提高 1、D. 根据等腰梯形的性质可得. 2、A. 根据30°的直角边等于斜边的一半即可求得. 3、D. 要分底边长4cm为上底和下底两种情况来做. 4、C. 根据30°的直角边等于斜边的一半即可求得. 5、C. 过D作DE∥CB交AB于E，则四边形DEBC为平行四边形， 所以∠DEB=∠B， 又因为∠D=2∠B，所以∠ADE=∠AED，所以AD=AE，所以AB=AD+CD=a+b. 6、解：过点D作DE∥AB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形，AD=BE， 因为∠DEC=∠B=50°，∠C=80°，所以∠EDC=50°，所以 以∠EDC=∠DEC， 所以DC=EC. 因为EC=BC-BE，所以DC=BC-AD. ●体验中考 1、C. 根据等腰梯形的性质可得. 2、证明：（1）∵AD∥BC，AB=DC∠B=60°∴∠DCB=∠B=60° ∠DAC=∠ACB.又 600∵AD=DC∴∠DAC=∠DCA∴∠DCA=ACB= 2=30° ∴∠B+∠ACB=90°∴∠BAC=90°∴AB⊥AC （2）过点A作AE⊥BC于E∵∠B=60°∴∠BAE=30°又∵AB=DC=6 ∴BE=3 ∴AEAB2BE236933 ∵∠ACB=30°，AB⊥AC ∴BC=2AB=12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容