九年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．（3分）抛物线y=﹣x2+3x﹣的对称轴是（ ）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x=6 D．x=﹣ 3．（3分）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（ ） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位;B．向右移动1个单位，向上移动3个单位; C．向左移动1个单位，向下移动3个单位;D．向右移动1个单位，向下移动3个单位 4．（3分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 5．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，点P（a+b，ac ）是坐标平面内的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6． （3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）A．8
B．10 C．8或10 D．不能确定
7．（3分）抛物线y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 8．（3分）已知二次函数
C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0 ，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分
别取m﹣1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（ ）
A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜0
9．（3分）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下列关于二次函数的说法错误的是（ ） A．抛物线y=﹣2x2+3x+1的对称轴是直线
B．抛物线y=x2﹣2x﹣3，点A（3，0）不在它的图象上 C．二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2） D．函数y=2x2+4x﹣3的图象的最低点在（﹣1，﹣5）
11．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ） A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b
C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2
12．（3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）
A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 ． 14．（3分）已知a、b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为 ． 15．（3分）已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值
范围是 ．
16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3 的图象上有三点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 ．17．（3分）已知抛物线y=kx2+2x﹣1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围是 ．
三、解答题（共11小题，满分0分） 18．解方程：
（1）（x+2）（x﹣5）=1 （2）3（x﹣5）2=2（5﹣x）
19．先化简，再求值：
÷（a+2﹣
），其中a2+3a﹣1=0．
20．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为正整数的实数a的整数值．
21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
22．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
23．已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
24．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则
（x2﹣1）2=y2，原方程化为y2﹣5y+4=0．① 解得y1=1，y2=4
当y=1时，x2﹣1=1．∴x2=2．∴x=±当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的解为x1=解答问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程：x4﹣x2﹣6=0．
25．C是线段BD上一点，CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，如图，分别以BC，AD交CE于点F，BE交AC于点G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形有 对．
，x2=﹣
，x3=
； ． ，x4=﹣
26．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，），其顶点E的横坐标为2，此抛物线与x轴分别交于B（x1，0），C（x2，0）两点（x1＜x2），且x12+x22=16．则顶点E的坐标为 ． 27．恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P，A，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年四川省凉山州西昌市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B． www.czsx.com.cn
2．（3分）抛物线y=﹣x2+3x﹣的对称轴是（ ） A．x=3 B．x=﹣3
C．x=6 D．x=﹣
【解答】解：∵y=﹣x2+3x﹣， ∴a=﹣，b=3，
∴对称方程为x=﹣故选：A．
=3，
3．（3分）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y=﹣2x2的图象（ ） A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【解答】解：二次函数y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．
故选：C．
4．（3分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3
D．k≤4且k≠3
【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0， △=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0， k≤4；
②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点． 故选：B．
5．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，点P（a+b，ac ）是坐标平面内的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0； 又对称轴x=﹣
＜0，
∴a、b同号，即b＞0． ∴a+b＞0．
该抛物线与y轴交与负半轴， ∴c＜0， ∴ac＜0，
∴点P（a+b，ac）位于第四象限． 故选：D．
6． （3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
【解答】解：∵方程x2﹣6x+8=0的解是x=2或4， （1）当2为腰，4为底时，2+2=4不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长=4+4+2=10． 故选：B．
7．（3分）抛物线y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣
D．k＞﹣且k≠0
【解答】解：∵抛物线y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点， 即y=0时方程kx2﹣7x﹣7=0有实数根， 即△=b2﹣4ac≥0，即49+28k≥0， 解得k≥﹣，且k≠0． 故选：B．
8．（3分）已知二次函数
，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分
别取m﹣1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（ ） A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜0 【解答】解：令解得：x=
，
=0，
∵当自变量x取m时对应的值大于0， ∴
＜m＜
，
∵点（m+1，0）与（m﹣1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离， ∴m﹣1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右． ∴点（m+1，0）与（m﹣1，0）均在交点之外， ∴y1＜0、y2＜0． 故选：B．
9．（3分）已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是
（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b应经过二、四象限，故A可排除；
B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b应经过一、二、四象限，故B可排除；
C、由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b应经过一、三象限，故C可排除； 正确的只有D． 故选：D．
10．（3分）下列关于二次函数的说法错误的是（ ） A．抛物线y=﹣2x2+3x+1的对称轴是直线
B．抛物线y=x2﹣2x﹣3，点A（3，0）不在它的图象上 C．二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2） D．函数y=2x2+4x﹣3的图象的最低点在（﹣1，﹣5）
【解答】解：A、根据抛物线对称轴公式，抛物线y=﹣2x2+3x+1的对称轴是直线确；
B、当x=3时，y=0，所以点A（3，0）在它的图象上，错误； C、二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2），正确；
D、函数y=2x2+4x﹣3=2（x+1）2﹣5，图象的最低点在（﹣1，﹣5），正确． 故选：B．
，正
11．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）
A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2
【解答】解：用作图法比较简单，首先作出y=（x﹣a）（x﹣b）图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y=（x﹣a）（x﹣b）﹣1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现： 答案是：x1＜a＜b＜x2． 故选：C．
12．（3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）
A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0， ∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0， ∵对称轴为x=
＞0，
∴a、b异号，即b＜0， 又∵c＜0，∴abc＞0， 故本选项正确；
②∵对称轴为x=﹣
＜1，
＞0，a＞0，
∴﹣b＜2a， ∴2a+b＞0； 故本选项错误；
③当x=1时，y1=a+b+c；
当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定； 故本选项错误；
④当x=1时，a+b+c=0； 当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0， ∴（a+c）2=b2 故本选项错误；
⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2； 当x=1时，a+b+c=0， ∴a+c=1，
∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1； 故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤． 故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
13．（3分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 y=﹣（x﹣1）
2
﹣2 ．
【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣3 =﹣（x2﹣2x）﹣3
=﹣（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y=﹣（x﹣1）2﹣2．
14．（3分）已知a、b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为 0 ． 【解答】解：∵a、b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根， ∴ab=﹣5，a2+2a﹣5=0， ∴a2+2a=5，
∴a2+ab+2a=5﹣5=0， 故答案为0．
15．（3分）已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【解答】解：∵a=k，b=﹣2（k+1），c=k﹣1，
△=b2﹣4ac=12k+4＞0，即k＞﹣方程有两个不相等的实数根， 则二次项系数不为零k≠0． ∴k＞﹣且k≠0
故答案为k＞﹣且k≠0．
16．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系为 y1＜y2＜y3 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3， ∴9﹣3b﹣3=0， 解得，b=2，
∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， 当x=﹣时，y1=x=﹣时，y2=
﹣4， ﹣4，
x=时，y3=∴y1＜y2＜y3，
﹣4，
故答案为：y1＜y2＜y3．
17． （3分）已知抛物线y=kx2+2x﹣1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围是 k＞﹣1 ．【解答】解：由﹣1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，﹣1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x﹣1=0有两个不同的实根 ∴△=4+4k＞0即k＞﹣1， 故答案为：k＞﹣1
三、解答题（共11小题，满分0分） 18．解方程：
（1）（x+2）（x﹣5）=1 （2）3（x﹣5）2=2（5﹣x） 【解答】解：（1）x2﹣3x﹣11=0， △=（﹣3）2﹣4×（﹣11）=53， x= 所以x1=
，x2=
；
（2）3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0， （x﹣5）（3x﹣15+2）=0， x﹣5=0或3x﹣15+2=0， 所以x1=5，x2=．
19．先化简，再求值：÷（a+2﹣
），其中a2+3a﹣1=0．【解答】解：由于a2+3a﹣1=0 ∴a2+3a=1 原式=
÷
====
•
20．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为正整数的实数a的整数值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根， ∴
，即
，解得a≥0且a≠6，
∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x1+x2=﹣
，x1•x2=
，
∵﹣x1+x1x2=4+x2， ∴x1x2=4+x2+x1， 即
=4﹣
，
解得a=24；
（2）∵由（1）知，=﹣
，x1•x2=
， +
+1，
∴（x1+1）（x2+1）=x1•x2+x1+x2+1=﹣∵（x1+1）（x2+1）为正整数， ∴﹣
+
+1＞0，即
＞0，
∴a﹣6＜0，即a＜6，
∴0≤a＜6且a﹣6为6的因数， ∴a=0，3，4，5．
21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C
（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C，△A2B2C2，即为所求；
（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（1.5，﹣1）；
（3）如图所示：点P的坐标为：（﹣2，0）．
22．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【解答】解：（1）根据题意，得y=（2400﹣2000﹣x）（8+4×即y=﹣
（2）由题意，得﹣
x2+24x+3200=4800．
x2+24x+3200；
），
整理，得x2﹣300x+20000=0． 解这个方程，得x1=100，x2=200． 要使百姓得到实惠，取x=200元． ∴每台冰箱应降价200元；
（3）对于y=﹣当x=150时， y最大值=5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
23．已知二次函数y=ax2（a≠0）与一次函数y=kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
x2+24x+3200=﹣
（x﹣150）2+5000，
【解答】解：∵一次函数y=kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1=﹣k﹣2，解得k=﹣1，
∴一次函数表达式为y=﹣x﹣2， ∴令x=0，得y=﹣2， ∴G（0，﹣2），
∵y=ax2过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1=a×1，解得a=﹣1， ∴二次函数表达式为y=﹣x2， 由一次函数与二次函数联立可得
，
解得，，
∴S△OAB=OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标=×2×1+×2×2=1+2=3．
24．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则
（x2﹣1）2=y2，原方程化为y2﹣5y+4=0．① 解得y1=1，y2=4
当y=1时，x2﹣1=1．∴x2=2．∴x=±当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±∴原方程的解为x1=解答问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体现了 转化 的数学思想． （2）解方程：x4﹣x2﹣6=0．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； 故答案为：换元；转化；
（2）设x2=y，原方程可化为y2﹣y﹣6=0， 解得：y1=3，y2=﹣2， ∵x2=y＞0，∴y1=3，即x2=3，
，x2=﹣
，x3=
； ． ，x4=﹣
则x=±
．
25．C是线段BD上一点，CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE，如图，分别以BC，AD交CE于点F，BE交AC于点G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形有 2 对．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠ECD=60°， ∴△ACD绕点C逆时针旋转60°可得到△BCE； ∵∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACF=180°=60°﹣60°﹣60°，
∵ACD绕点C逆时针旋转60°可得到△BCE； ∴∠BEC=∠ADC， 在△FCD和△GCE中， ∵
，
∴△FCD≌△GCE（ASA），
∴△FCD绕点C逆时针旋转60°可得到△GCE．
△ACD绕点C逆时针旋转60°△FCD绕点C逆时针旋转60°综上所述：可得到△BCE；可得到△GCE． 故答案为：2．
26．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，），其顶点E的横坐标为2，此抛物线与x轴分别 交于B（x1，0），C（x2，0）两点（x1＜x2），且x12+x22=16．则顶点E的坐标为 （2，2） ．【解答】解：设所求抛物线为y=a（x﹣2）2+n，即y=ax2﹣4ax+4a+n， ∵点A（1，）在抛物线上，
∴=a+n①，
∵x1，x2是方程ax2﹣4ax+4a+n=0的两实根， ∴x1+x2=4，x1x2=
，
=16，
又∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=42﹣2×∴4a+n=0②，
由①②，解得：a=﹣，n=2，
∴所求抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+2，即y=﹣x2+2x， 顶点E的坐标为（2，2）； 故答案为：（2，2）．
27．恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）由题意y与x之间的函数关系式为y=（10+0.5x）（2000﹣6x）， =﹣3x2+940x+20000（1≤x≤110，且x为整数）；
（2）由题意得：
2000﹣340x=22500 ﹣3x2+940x+20000﹣10×
解方程得：x1=50，x2=150（不合题意，舍去）
李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售；
（3）设利润为w，由题意得
w=﹣3x2+940x+20000﹣10×2000﹣340x=﹣3（x﹣100）2+30000 ∵a=﹣3＜0，
∴抛物线开口方向向下， ∴x=100时，w最大=30000 100天＜110天
∴存放100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元．
28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上． （1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P，A，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解（1）∵抛物线的对称轴为x=﹣∴顶点A的横坐标为x=1， ∴点A的纵坐标为y=1﹣4=﹣4． ∴A（1，﹣4）．
（2）△ABD是直角三角形．
=1，
将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c中，可得到1﹣2+c=﹣4，解得：c=﹣3， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3， ∴C（﹣1，0）、D（3，0）．
∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=12+（﹣4+3）2=2，AD2=（3﹣1）2+42=20， ∴BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°即△ABD是直角三角形． （3）存在．
由题意可知：直线y=x﹣5交y轴与点E（0，﹣5）． 交x轴于点F（5，0）． ∴OE=OF=5． 又∵OB=OD=3，
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形， ∴BD∥l，即PA∥BD．
则构成的平行四边形只能是PADB或PABD． ∴PA=BD=3
．
设P（x，x﹣5），两点间的距离公式可得到（1﹣x）2+（1﹣x）2=18，x2﹣2x﹣8=0，解得：x=﹣2或x=4，
∴点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）．
∴存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使得以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．
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