解析几何中的一些最值问题

【例4】如图，已知点P（－１，－３），F为椭圆+=1的右16121

焦点，点Q在椭圆上移动，则QF+PQ的最小值为________。2分析：由椭圆方程可知其右准线l方程为x=８，如图求出最小值。一、利用对称性求最值（动点在直线上）动点在直线上求最值，解决的办法是把折线问题转化成直线问题，利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用两点间距离公式求出线段长的最值。【例1】已知点P在x轴上运动，A(-2，2），B（1，3）（1）则│PA│+│PB│的最小值为多少？分析：作出A点关于x轴的对称点A'(-2，2），那么│PA│+│PB│=│PA'│+│PB│，利用三角形两边之和大于第三边，可得：│PA'│+│PB│≥│A'B│，当且仅当A'，P，B三点共线时取得最小值│A'B│=34。（2）则│PB│-│PA│的最大值为多少？分析：此题不用找对称点，利用三角形两边之差小于第三边，只要延长BA交x轴于P，│PB│-│PA│此时得到的最大值为│BA│=10。小结：当动点在直线上时，（1）求线段长之和的最小值时，若定点是异侧，则两定点距离即为最小值。若是同侧，作对称点即可解决。（2）求线段长之差的最大值时，若定点是同侧，则两定点距离即为最大值。若是异侧，就利用对称性，转化到同侧，也可解决。所示，过P、Q分别作l的垂线，又由椭圆的第二定义知，QFQQ=e,∴QF=

，易知当P,Q,Q'在同一条直线上时，即9小值为2。111QQ,∴QF+PQ=(QQ+PQ)

222当Q与P点重合时，2(QQ1

+PQ)取得最由此可知：动点在椭圆上，可以先利用椭圆的定义，把１、２│PQ│转化为│QQ１│,再利用点到直线的距离为垂线段最短的定理求出最小值。【例5】已知点P是抛物线y2=16x上的一个动点，A是圆C：(x-4)2+y2=1上的动点，则│PA│的最小值为________。分析：结合图示可知│PA│的最小值为(│PC│－１）的最小值，而C恰为抛物线的焦点，所以根据抛物线的定义，│OC│的最小值为A│，则│PA│的最小值为3。│P由此可知：题目中涉及到两个动点就不容易确定最值，当看到圆上的动点自然就会想到圆心，所以如果先把两个动点之间距离转化为动点和圆心（定点）之间距离，这样就能很快得到答案了。二、利用圆锥曲线的定义求最值（动点在圆锥曲线上）动点在圆锥曲线上求最值，解决方法是先利用圆锥曲线定义对所求的问题进行转化，再利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用点到直线的距离为垂线段最短，求出最值。【例2】已知F是抛物线y2=4x的焦点，A（４，２），点P是该抛物线上的一个动点，试求│PF│+│PA│的最小值为______。分析：此题与上一题可谓异曲同工，设P到l１的距离为　d１，d１＝│PF│，F（１，０），所以│PF│＋│PA│＝d１＋│PA│，过A作AH┴l１于H，│AH│＝５即为最小值。由此可知：动点在抛物线上，且两定点在抛物线内部，可以先利用抛物线的定义，把焦半径PF转化为动点到准线的距离，再根据点到直线的距离为垂线段最短，求出最小值。曲线右支上的动点，则│PF│＋│PA│的最小值为_______。分析：由双曲线定义可得：x2y2

【例3】已知F是双曲线−=1的左焦点，A(1,4),P是双412三、小结当动点在圆锥曲线上时，一般都是从定义入手，圆锥的定义是灵魂，如果能有效借助定义，同时也重视图形的应用以及数形结合思想的运用，不但能使问题的解决变得容易，而且还可以避免大量的计算。综合上面的内容，我们可以得出规律：关于最值问题，解答的时候，需要从动点的位置进行考虑。（１）当动点在直线上时，求线段长之和的最小值，若定点是异侧，则两定点距离即为最小值。若是同侧，就作对称点。求线段长之差的最大值，若定点是同侧，则两定点距离即为最大值。若是异侧，就利用对称性，转化到同侧，即可解决。（２）当动点在圆锥曲线上时，一般都是从定义入手，如果能有效借助圆锥的定义，同时应用图形以及数形结合思想，就会容易解答。所以，有效的归纳是很重要的，作为教师，要善于引导学生分析解题思路，指导学生及时进行归纳、整理题型，找到解题思路与技巧，这样才能做到事半功倍。（作者单位：浙江省温岭市职业中等专业学校）│PF│＋│PA│＝│PA│＋│PF１│＋２a(F１为右焦点)。当162

OCCUPATION 2011 7

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