2019年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分.下面每小题给出的四个选项中只有一个是正确的.）
1．（3分）计算sin45°＝（ ） A．
√3 3
B．1 C．
√2 2
D． 2
1
2．（3分）抽查九年级10位同学一周做数学作业的时间分别为（单位：h）4，5，4，6，7，6，8，6，7，8．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．6，7
B．6，6
C．8，6
D．6，6.5
3．（3分）如图，该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图所示，直线a∥b，∠1＝35°，∠2＝90°，则∠3的度数为（ ）
A．125°
B．135°
C．145°
D．155°
5．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ） A．a﹣1＜b﹣1
B．2a＜2b
C．−3＞−3 𝑎
𝑏
D．a2＜b2
6．（3分）下列各式变形中，正确的是（ ） A．x2•x3＝x6
C．（x2−𝑥）÷x＝x﹣1
B．√𝑥2=|x|
1
1
1
D．x2﹣x+1＝（x−2）2+4
第1页（共16页）
7．（3分）一次函数y＝kx﹣1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ） A．（﹣5，3）
B．（1，﹣3）
C．（2，2）
D．（5，﹣1）
8．（3分）已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（其中m为常数），该函数图象与y轴交点在x轴上方，则m的取值范围正确的是（ ） A．m＞3
B．m＞﹣3
C．m＜3
D．m＜﹣3
9．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，点M，N分别是AB，AC的中点，则线段MN长的最大值为（ ）
A．5
B．
25
C．5√2 D．
5√22
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，EB＝3，GC＝4，∠FEG＝60°，∠EGF＝45°，则BC的长为（ ）
4√3A．3+3 7√3B． 3
C．4+√3 D．3+4√3
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）近年来，党和国家高度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有65000000人脱贫，65000000用科学记数法表示为 ． 12．（4分）化简：﹣3（x﹣2y）+4（x﹣2y）＝ ．
13．（4分）袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为 ．
14．（4分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝5，则以AC为边长的正方形ACFE的周长是 ．
第2页（共16页）
15．（4分）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BC，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值为 ．
1
335
16．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A，B，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，若OQ长的最大值为，23
𝑘
𝑥则k的值为 ．
三、全面答一答（解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有7个大题，共66分） 17．（6分）解分式方程：
2𝑥−1
+
2𝑥𝑥−1
=1．
18．（8分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°．
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．
第3页（共16页）
19．（8分）在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下： 甲：79，86，82，85，83 乙：88，79，90，81，72． 回答下列问题：
（1）甲成绩的平均数是 ，乙成绩的平均数是 ；
（2）经计算知S甲2＝6，S乙2＝42．你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由； （3）如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率．
20．（10分）如图，已知点C在⊙O上，AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．
1
2
（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；
（2）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC＝2时，求△BPC的周长． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2=
𝑚
𝑥（m≠0）的图象交于第二、第四象限A，B两点，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD＝4，sin∠AOD=，且点B的坐标为（n，﹣2） （1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y1＝kx+b（k≠0）向下移动2个单位的函数记为y3，当y3＜y2时，求x的取值范围．
45第4页（共16页）
22．（12分）在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC分别交射线AD与射线CB于点E和点F，联结CE、AF． （1）如图，求证：四边形AFCE是菱形；
（2）当点E、F分别在边AD和BC上时，如果设AD＝x，菱形AFCE的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的长度．
23．（12分）二次函数y＝x2+px+q的顶点M是直线y=−2x和直线y＝x+m的交点． （1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；
（2）①当x≥2时，y＝x2+px+q的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； ②若m＝6，且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围． （3）试证明：无论m取任何值，二次函数y＝x2+px+q的图象与直线y＝x+m总有两个不同的交点．
1
第5页（共16页）
2019年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分.下面每小题给出的四个选项中只有一个是正确的.） 1．【解答】解：sin45°=故选：C．
2．【解答】解：将数据重新排列为4，4，5，6，6，6，7，7，8，8， 所以这组数据的众数为6，中位数为故选：B．
6+62
√22，
=6，
3．【解答】解：从几何体的上面看可得故选：A． 4．【解答】解：
，
∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝35°， ∵∠2＝90°， ∴∠4+∠5＝90°， ∴∠5＝55°，
∴∠3＝180°﹣∠5＝125°， 故选：A．
5．【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误； C、在不等式a＜b的两边同时乘以−3，不等号的方向改变，即−3＞−3，故本选项错第6页（共16页）
1𝑎𝑏
误；
D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确； 故选：D．
6．【解答】解：A、x2•x3＝x5，故此选项错误； B、√𝑥2=|x|，正确； C、（x2−𝑥）÷x＝x−
1
1
1
，故此选项错误； 𝑥23
D、x2﹣x+1＝（x−2）2+4，故此选项错误； 故选：B．
7．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1的图象的y的值随x值的增大而增大， ∴k＞0，
A、把点（﹣5，3）代入y＝kx﹣1得到：k=−5＜0，不符合题意； B、把点（1，﹣3）代入y＝kx﹣1得到：k＝﹣2＜0，不符合题意； C、把点（2，2）代入y＝kx﹣1得到：k=＞0，符合题意； D、把点（5，﹣1）代入y＝kx﹣1得到：k＝0，不符合题意； 故选：C．
8．【解答】解：将y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）展开得， y＝2x2﹣（2m+8）x+2m+6． ∵该函数图象与y轴交点在x轴上方 ∴2m+6＞0 解得，m＞﹣3． 故选：B．
9．【解答】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点， ∴MN=2BC，
当BC最大时，线段MN长的最大， 当BC为⊙O的直径时，BC的长度最大， ∵∠ACB＝45°， ∴直径BC＝5√2，
1
3
24
第7页（共16页）
则线段MN长的最大值为故选：D．
5√2， 2
10．【解答】解：过点F作FH⊥EG于O，交AD于点H， ∴∠EOH＝∠GOF＝90°， ∵∠OGF＝45°， ∴∠OFG＝∠OGF＝45， ∴OG＝OF．
在正方形ABCD中，EG⊥HF， ∴EG＝HF ∴OE＝OH ∴EH∥FG ∴△EHO～FGO， ∴
𝐸𝐻𝐺𝐹
=
𝐸𝑂𝑂𝐺
，
在Rt△EOF中，∠OEF＝60°，设OE＝x， ∴OF＝OE•tan∠OEF=√3x， 在Rt△GOF中，∠OGF＝45°
∴OG＝OF=√3x，FG=𝑡𝑎𝑛45°=√6x， 在Rt△EOH中，OH＝OE＝x， ∴EH=√2x，
∴△EOH与△GOF的相似比为
𝐸𝐻𝐹𝐺𝑂𝐹
=
1√2𝑥=， √6𝑥√3由Rt△AEH～Rt△CFG，GC＝4， ∴∴
𝐴𝐸𝐺𝐶𝐴𝐸4
==
𝐸𝐻𝐹𝐺1√3，
，
∴AE=
44√3=，又∵EB＝3
3√34√3∴AB＝AE+EB＝3+3 故选：A．
第8页（共16页）
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．【解答】解：将65000000用科学记数法表示为：6.5×107． 故答案为：6.5×107．
12．【解答】解：原式＝﹣3x+6y+4x﹣8y ＝x﹣2y， 故答案为x﹣2y．
13．【解答】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5， ∴组成的两位数是3的倍数的概率为故答案为：
5
516
，
16
．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝5，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF＝4×5＝20， 故答案是：20．
15．【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
第9页（共16页）
∵tanB=，即
35𝐴𝐷𝐴𝐵
=，
5
3
∴设AD＝3x，则AB＝5x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD＝90°， ∴△CDE∽△BDA， ∵DC=3BC， ∴BD＝2DC， ∴
𝐶𝐸𝐴𝐵
1
=
𝐷𝐶𝐵𝐷
=
𝐷𝐸𝐴𝐷32=，
2
1
∴CE=x，DE=x， ∴AE=2x，
5
𝐶𝐸2𝑥5
∴tan∠CAD===，
𝐴𝐸9𝑥92529
故答案为：．
9
5
16．【解答】解：连接BP， 由对称性得：OA＝OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQ=BP，
∵OQ长的最大值为，
23
1
2∴BP长的最大值为×2＝3，
2
3
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP＝1， ∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2， ∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2， t＝0（舍）或−5，
第10页（共16页）
4
∴B（−，−），
∵点B在反比例函数y=𝑥（k＞0）的图象上， ∴k=−5×(−5)=25； 故答案为：
32254
8
32
𝑘
4
585．
三、全面答一答（解答应写出必要的文字说明或推演步骤，本题有7个大题，共66分） 17．【解答】解：去分母得：2+2x＝x﹣1， 解得：x＝﹣3
经检验x＝﹣3是原方程的解， 所以方程的解是x＝﹣3．
18．【解答】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．
（2）∵∠B＝60°，BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝30°， ∵tan∠ABP=𝐴𝐵，
∴AP＝ABtan∠ABP＝3×3=√3， ∴S⊙P＝3π．
19．【解答】解：（1）𝑥甲=
√3𝐴𝑃
79+86+82+85+83
=83（分），
5第11页（共16页）
𝑥乙=
88+79+90+81+72
=82（分）； 5（2）选拔甲参加比赛更合适，理由如下： ∵𝑥甲＞𝑥乙，且S甲2＜S乙2，
∴甲的平均成绩高于乙，且甲的成绩更稳定， 故选拔甲参加比赛更合适．
（3）列表如下：
88 79 90 81 72
79 88，79 79，79 90，79 81，79 72，79
86 88，86 79，86 90，86 81，86 72，86
82 88，82 79，82 90，82 81，82 72，82
85 88，85 79，85 90，85 81，85 72，85
83 88，83 79，83 90，83 81，83 72，83
由表格可知，所有等可能结果共有25种，其中两个人的成绩都大于80分有12种， ∴抽到的两个人的成绩都大于80分的概率为故答案为：（1）83，82． 20．【解答】解：（1）∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC=2AB， ∴∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°， ∴∠CPD＝∠A＝60°， （2）∵∠A＝60°， ∴∠BPC＝∠A＝60°， ∵PC⊥AB，AB是直径， ̂=𝐴𝑃̂， ∴𝐴𝐶
第12页（共16页）
1225
．
1
∴∠ABP＝∠ABC＝30°， ∴∠CBP＝60°， ∴△CBP是等边三角形， ∴BP＝BC＝CP， ∵AC＝2，
∴BC=√3AC＝2√3，
∴C△BCP＝BP+BC+CP＝3BC＝6√3． 21．【解答】解：（1）∵AD⊥x轴，AD＝4， 又∵sin∠AOD=𝐴𝑂=5， ∴AO＝5，
∵DO2＝AO2﹣AD2， ∴DO＝3， ∴A（﹣3，4），
将A（﹣3，4）代入y2=𝑥，得4=−3，即m＝﹣12， ∴反比例表达式为y2=−
12
， 𝑥12
12
𝑚
𝑚
𝐴𝐷
4
将B（m，﹣2）代入y2=−𝑥，得﹣2=−𝑥，即x＝6， ∴B（6，﹣2），
将A（﹣3，4），B（6，﹣2）代入y1＝kx+b得
2−3𝑘+𝑏=4𝑘=−{，解得{3， 6𝑘+𝑏=−2𝑏=2
∴一次函数表达式为y1=−3x+2．
（2）将一次函数y1=−x+2向下移动2个单位得到函数y3 ∴y3=−3x， ∵y3＜y2，
∴−3x＜−𝑥，即𝑥＞𝑥 （1）当x＞0时，𝑥＞3√2． （2）当x＜0时，−3√2＜𝑥＜0．
第13页（共16页）
2
2
32
21218
22．【解答】解：（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△DOE和△BOF中， {𝑂𝐷=𝑂𝐵，
∠𝐸𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐹∴△DOE≌△BOF， ∴EO＝OF，∵OB＝OD， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，OB＝OD， ∴EB＝ED，
∴四边形EBFD是菱形．
（2）由题意可知：AC=√1+𝑥2，OA＝OC=2•√1+𝑥2， ∵cos∠DAC=𝐴𝐶=𝐴𝐸，
1+𝑥2
∴AE=2𝑥，
∠𝐸𝐷𝑂=∠𝐹𝐵𝑂
1
𝐴𝐷𝑂𝐴
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∴y＝AE•CD=2𝑥， ∵AE≤AD， ∴
1+𝑥22𝑥
1+𝑥2
≤x，
∴x2≥1，∵x＞0， ∴x≥1．
即y=2𝑥（x≥1）．
（3）①如图2中，当点E在线段AD上时，ED＝EO，则Rt△CED≌Rt△CEO， ∴CD＝CO＝AO＝1，
在Rt△ADC中，AD=√𝐴𝐶2−𝐷𝐶2=√22−12=√3．
1+𝑥2
如图3中，当的E在线段AD的延长线上时，DE＝DO，
∵DE＝DO＝OC，EC＝CE， ∴Rt△ECD≌Rt△CEO， ∴CD＝EO，
∵∠DAC＝∠EAO，∠ADC＝∠AOE＝90°， ∴△ADC≌△AOE，
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∴AE＝AC，
∵EO垂直平分线线段AC， ∴EA＝EC， ∴EA＝EC＝AC， ∴△ACE是等边三角形， ∴AD＝CD•tan30°=
√33，
√3． 3
综上所述，满足条件的AD 的值为√3或
2𝑚1𝑥=−，323．【解答】解：（1）由题意得{𝑦=−2𝑥，，解得{， 𝑚
𝑦=𝑥+𝑚𝑦=
3∴𝑀(−3，3)； （2）①根据题意得−
2𝑚
≤2，解得m≥﹣3， 32𝑚𝑚
∴m的取值范围为m≥﹣3；
②当m＝6时，顶点为M（﹣4，2），
∴抛物线为y＝（x+4）2+2，函数的最小值为2， ∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2， ∴{𝑡−1≤−4，， 𝑡+3≥−4解得﹣7≤t≤﹣3； 𝑦=𝑥2+𝑝𝑥+𝑞（3）{，
𝑦=𝑥+𝑚得x2+（p﹣1）x+q﹣m＝0，
△＝（p﹣1）2﹣4（q﹣m）＝p2﹣2p+1﹣4q+4m， ∵抛物线的顶点坐标既可以表示为𝑀(−∴𝑝=3𝑚，4𝑞=3𝑚+𝑝2，
∴△=𝑝2−2𝑝+1−(𝑚+𝑝2)+4𝑚=−2𝑝+1−𝑚+4𝑚， △=−2𝑝+1−3𝑚+4𝑚=−2(3𝑚)+1−3𝑚+4𝑚=1， ∴△＞0，
∴无论m取任何值，二次函数y＝x2+px+q的图象与直线y＝x+m总有两个不同的交点．
第16页（共16页）
2𝑚𝑚𝑝4𝑞−𝑝2
，)，又可以表示为𝑀(−，)． 332444
4
343444
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