高中常见函数图像及基本性质

常见函数性质汇总及简单评议对称变换

y b O 常数函数 f(x)=b (b∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势

2）、图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线

f(x)=b x 一次函数 f(x)=kx+b (k≠0,b∈R)

y 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——

f(x)=kx+b 点斜式——

2）、对斜截式而言，k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势：

x 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 O 4）、定 义 域：R 值域：R

单调性：当k>0时 ；当k<0时

奇 偶 性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。 补充：反函数定义： -1

例题：定义在rR 上的函数y=f（x）; y=g（x）都有反函数，且f（x-1）和g(x)函数的图像关于y=x对称，若g（5）=2016，求f（4）=

周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标

2、与曲线函数的联合运用

.

.

反比例函数 f(x)=

k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) xy f(x)=图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三

象限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：(,0)(0,) 值 域：(,0)(0,)

axb cxdx O 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身

补充：1、反比例函数的性质

2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）

3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）图像移动比较

3）、f(x)=

axb (c≠0且 d≠0)（补充一下分离常数）

cxd（对比标准反比例函数，总结各项内容）

二次函数

一般式：f(x)axbxc(a0) 顶点式：f(x)a(xk)h(a0) 两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 22y f(x)=axbxc

2图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为

x ②当a0时，开口向上，有最低点 当a0时。。。。。 O ③当 = >0时，函数图象与x轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。

④f(x)axbxc(a0) 2关系

f(x)ax(a0)

2定 义 域：R 值 域：当a0时，值域为（ ）；当a0时，值域为（ ）

单 调 性：当a0时；当a0时. 奇 偶 性：b=/≠0

反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无 补充：

1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以，a决定二次函数的 ）

2、

.

.

3、二次函数的对称问题：关于x轴对称；关于y轴对称；关于原点对称；关于（m，n）对称

4、二次函数常见入题考法：⑴交点（交点之间的距离） ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势（选择题）

指数函数

f(x)a(a0,a1)，系数只能为1。 图象及其性质：

1、恒过(0,1)，无限靠近x轴；

xx2、f(x)a与f(x)()a关于y轴对称；但均不

xxxf(x)=a(0a1) y f(x)=a(a1)

x1a具有奇偶性。

3、在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”——靠近关系

定 义 域：R 值 域：(0,)

单 调 性：当a0时；当a0时。 奇 偶 性：无 反 函 数：对数函数f(x)logax(a0,a1) 周 期 性：无 补充： 1、

2、图形变换

1/x- x

Log2和Log2ln（x-1）和lnx - 1

O x y f(x)=logax(a1)

对数函数（和指数函数互为反函数）

f(x)logax(a0,a1) 图象及其性质：①恒过(1,0)，无限靠近y轴；

②f(x)logax与f(x)log1xlogax关于x轴对称；

aO x f(x)=logax(0a1)

③x＞1时“底大图低”；0＜x＜1时“底大图高”（理解记忆）

定 义 域：R 值 域：(0,)

单 调 性：当a0时；当a0时； 奇 偶 性：无 反 函 数：指数函数f(x)a(a0,a1) 周 期 性：无 补充：

1、

.

x.

双钩函数

f(x)x1（变形式 ） x图象及其性质：①两条渐近线： ②最值计算： 定 义 域： 值 域：

单 调 性： 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无

注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法

幂函数（考察时，一般不会太难）

无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。

不需要背记，只要能够快速画出n=±1， ±1/2，±3,，1/3，0,的图象就行

注意：

3

掌握y=x的图像；

32

掌握y=ax+bx+cx+d的图像(当a>0,当a<0时)；

补充：

利用数形结合，判断非常规方程的根的取值范围。 例：P393，例题10

.

.

函数yf(x)图象变换

一．平移变换

y=f(x)+b向上平移b个单位二．对称变换

y=f(x+a)向左平移a个单位y=f(x)向右a平移个单位y=f(x-a)①y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称；

向下平移b个单位②y＝－f（x）与y＝f（x）关于x轴对称； ③y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称；

y=f(x)-b④y＝f－1（x）与y＝f（x）关于直线y＝x对称；

⑤y＝|f（x）|的图象可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．

⑥y＝f（|x|）的图象：可将y＝f（x），x≥0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性．

三、伸缩变换

①y＝Af（x）（A＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变而得到． ②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a＜1）缩（a＞1）到原来的

1，纵坐标不变而得到． a四、函数及图象(大致图象) 典型例题精讲

例1：已知y＝f（x）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f（x）的解析式是（ A

）

A．x22|x|1 B．x2－2|x|＋1 C．|x2－1| D．x22x1

解析：当f（x）＝

x22|x|1时， f(x)(|x|1)2||x|1|

(x1)x1 1x (0x1) 1x (1x0)(x1) (x1).

.

其图象恰好是上图．

例2：画出函数y＝lg|x＋1|的图象．

lg(x1) (x1)解析：y＝lg|x＋1|．

lg(x1) (x1)例3：要将函数y＝2x的图象通过平移变换得到y＝1的图象，需经过怎样的变换？

x1x解析：y＝

到y＝

1－1，先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位，即可得x11的图象． x例4：方程kx＝

1

1(x2)2有两个不相等的实根，求实数k的取值范围．

②

①

解析：设y＝kx

y2＝1(x2)2

方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当OA与半圆相切时，kOA333 ，故当0≤k＜时，直线与半圆有两个交点，即0≤k＜时，原方程有两333个不相等的实根．

例5：作函数f（x）＝x＋1的图象．

x分析：f（x）＝x＋1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究．

x解析：函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），

∵f（－x）＝－f（x），

.

.

∴f（x）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数， 又|f（x）|＝|x＋

11|＝|x|＋≥2，当且仅当|x|＝1时等号成立，

|x|x∴当x>0时y≥2；当x<0时，y≤－2；

当x∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；

当x∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x≠0，y≠0，

∴图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象， 再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—10所示．

评述：

（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性．

（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用．

例6：f（x）是定义在区间［－c，c］上的奇函数，其图象如图所示．

令g（x）＝af（x）＋b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（

B

）

A．若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称

B．若a＝－1，－2解析：将f（x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，再将所得图象向上（b>0）

或向下（b<0）平移|b|个单位，得g（x）＝af（x）＋b的图象．

例6：(全国Ⅱ)把函数

( C )

y＝ex的图象按向量a＝(2，3)平移，得到y＝f(x)的图象，则f(x)＝

(A)ex－3＋2 (B)ex＋3－2 (C)ex－2＋3 (D)ex＋2－3

例7：(菏泽模拟)如图为函数y＝m＋log论正确的是 ( D )

.

nx的图象，其中m，n为常数，则下列结

.

(A)m<0，n>1 (B)m>O，n>l (C)m>O，0例8：(安庆模拟)函数y＝e －｜x－1｜的图象大致是( D )

例9：在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0，2x＋3y＝30，

则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ A．95

B．91

C．88

B

）

D．75

解析：画出图象，补形做出长方形

AOBC，共有整点数11×16＝176，而六点（0，10），（3，8），

（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176＋6）×＝91．

12

例10：将函数y＝log解析：C:y＝log

＝－1－2x．

12x的图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C，图象C1与C关于原

点对称，图象C2与C1关于直线y＝x对称，那么C2对应的函数解析式是_____．

12（x－1）；由－y＝log1（－x－1）得C1:y＝log2（－x－1）；求C1的反函数得y2例11：若函数y＝｜－x＋4x－3｜的图象C与直线y＝kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该

2

直线有 个交点．

解析：（数形结合法）作y＝｜－x＋4x－3｜的图象，知其顶点在M（2，1）．过原点与点M（2，1）

2

作直线y＝kx，如图．

.

.

∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．

例12：作函数y＝（1）

2|x－1|

的图象．

2(x1) (x1),解析:（1）y＝x1故它在区间［1，＋∞）上的图象，

2 (x1).可由y＝2－x（x≥0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到

在区间（－∞，1）上的图象，可由y＝2x（x<0）的图象沿x轴方向

向右平移1个单位得到．

例13：已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（a＋x）＝f（a－x），求证y＝f（x）的图象关于直线

x＝a对称．

证明:设p（x，y）是y＝f（x）图象上的任一点，则有y＝f（x），

0

0

0

0

x2ax0设点P关于直线x＝a的对称点为p′（x′，y′），则有，

yy0x02ax即 由y0＝f（x0）

y0yyf(2ax)f[a(ax)]］＝f（x′）．  y′＝f［a－（a－x′）

又f(ax)f(ax)即点p′（x′，y′）也在y＝f（x）的图象上．

∴y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．

例14：画出函数y＝

2x1的图象，并利用此图象判定方程2x1＝x＋a有两个不同的实数解

时，实数a所满足的条件．

解析：图象是抛物线y＝2x＋1在y≥0上的部分．把y＝x＋a代入y＝2x＋1，得（x＋a）＝2x2

2

2

.

.

＋1，即x2＋2（a－1）x＋a2－1＝0，由Δ＝0得a＝1， 此时直线与抛物线相切．又因抛物线顶点是（－

1，0）， 2可知当直线过点（－

11，0）时，即a＝时直线与抛物线有两交点， 22故当

1≤a＜1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解． 2

.