函数最值与极限

第五节 函数极限与最大值最小值

在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点x1和x2就是具有这样性质的点，易见，对x1的某个邻域内的任一点x(x1)，恒有

f(x)f(1)，即曲线在点(1,f(1))处达到“峰顶”；同样，对x2的某

f(x)f(2)，即曲线在点(2,f(2))处达到“谷底”. 具有这种

个邻域内的任一点x(x2)，恒有

性质的点在实际应用中有着重要的意义. 由此我们引要入函数极值的概念.

内容分布图示

★ 函数极值的定义

★ 函数极值的求法

★ 例1 ★例2 ★例3

★ 第二充分条件

★ 例4 ★例5 ★例6

★ 最大值最小值的求法 ★例7

★ 例8 ★例9 ★例10

★ 例11 ★例12 ★例13

★ 内容小结 ★课堂练习

★ 习题3-5

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内容要点：

一、 极值的概念

二、极值的必要条件

三、第一充分条件与第二充分条件

四、求函数的极值点和极值的步骤：

（1） 确定函数f(x)的定义域，并求其导数f(x);

（2） 解方程f(x)0求出f(x)的全部驻点与不可导点;

（3）讨论f(x)在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;

（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数f(x)的全部极值.

五、 求函数的最大值与最小值

在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.

求函数在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：

（1）计算函数f(x)在一切可能极值点的函数值，并将它们与f(a),中最大的就是最大值，最小的就是最小值；

f(b)相比较，这些值

（2） 对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.

例题选讲：

求函数的极值

32f(x)x3x9x5的极值. 例1(讲义例1) 求出函数

23f(x)(x4)(x1)例2 (讲义例2) 求函数的极值.

3fxxx2/32例3 求函数 的单调增减区间和极值.

32f(x)x3x24x20的极值. 例4 (讲义例3) 求出函数

23f(x)(x1)1的极值. 例5 (讲义例4) 求函数

例6 求出函数

f(x)1(x2)2/3的极值.

32例7 (讲义例5) 求y2x3x12x14的在[3,4]上的最大值与最小值.

,例8 求函数ysin2xx在22上的最大值及最小值.

例9 (讲义例6) 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?

例10 (讲义例7) 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?

求函数的最大值最小值

x2y2212例11 求内接于椭圆ab而面积最大的矩形的各边之长.

22yxyxy0,x8例12 由直线及抛物线围成一个曲边三角行, 在曲边上求一点,

时曲线在该点处的切线与直线y0及x8所围成的三角形面积最大.

例

n22n12{an}n23e的最大项. (已知e37) 13 求数列

课堂练习

1. 下列命题正确吗?

若x0为f(x)的极小值点, 则必存在x0的某邻域, 在此邻域内,

x0的右侧上升.

f(x)在x0的左侧下降,而在

2. 若f(a)是f(x)在[a, b]上的最大值或最小值, 且f(a)存在, 是否一定有f(a)0?