2021-2022学年南京市金陵中学高三12月调研数学试卷

2021-2022学年南京市金陵中学高三12月调研

数学

一、单项选择题

1．已知集合M{x∣lgx0},N{x∣0x4} , 则MA.(0,1)

N（ ）

D. {1,4}

B.[0,4] C. (1,4]

12．已知tan，则sin2（ ）

3A.4 5

3B. 5 C.

3 10D.

1 10(3m1)x4m,x1,13．\"m0,\"是“函数f(x)是定义在R上的减函数”的（ ）

mx,x13A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

4．己知直线l:xym0(m0)与圆x2y24交于A,B两点，O为原点，且OAOB2，则实数m等于（ ）

A.2

B.3 C. 2 D.6

n1,n为偶数5．已知数列an满足ann，若am1amam1(m2)， 则m（ ）

3,n为奇数 A. 3 B. 6 C.8 D. 10

6．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1 的正方形，侧棱AA13,A1ADA1AB60，则AC1（ ）

A. 22

B. D.

10 17

C. 23

47．设函数f(x)x2,g(x)sinx,h(x)ax，若对于任意的x(0,),g(x)h(x)f(x)都成立，则实数

xa的取值范围为（ ）

A. 1,3

1B. ,4

2

C. 1,8

1D. ,17

2

x2y28．设椭圆C:221的左右两个焦点分别为F1,F2，右顶点为A,M为椭圆上一点，且

abMF2AMAF22MF1A，则椭圆C的离心率为（ ）

A.

31 2 B.

335 2 C.

51 4 D.

174 4

1

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．对于实数a,b,c，下列结论正确的是（ ）

A. 若ab，则acbc

B. 若ac2bc2，则ab D. 若cab0，则

C. 若ab0，则|a||b|

11 cacb10．已知f(x)Asin(x)A0,0,02像如图所示，则（ ）

A.yf(x)的最小正周期为 B. fxfx

1212C.yf(x)在,上单调递增

2x3O2

的部分图

 y 3D. yfx为奇函数

611．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,1),F1(1,0),F2(1,0)，若动点P满足PF1PF24，则（ ）

A. 存在点P，使得PF21

3 2B.PF1F2面积的最大值为3

C.对任意的点P，都有|PA|PF23

D. 有且仅有3个点P，使得PAF1的面积为

12．已知正方体ABCDA'B'C'D'的边长为2，Q为棱AA'的中点，点M,N分别为线段C'D',CD上两动点（包括端点），记直线QM,QN与平面ABB'A'所成角分别为,，且tan2tan24，则（ ）

A. 存在点M,N使得MN//AA'

B.DMDN为定值

C. 存在点M,N使得MN5 2D. 存在点M,N使得MNCQ

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）．

13．甲乙丙丁四人站成一排，其中甲不站排头和排尾，共有 种不同的站法（用数字作答）. 14．若复数z满足zz1，则|z2i|的最大值是 .

15. 已知A,B,C,D在球O的球面上，ABC为等边三角形且其面积为33，AD平面ABC,AD2，则球4O的表面积为 .

16．若存在正数x,y，使得(3e2yx)(lnxlny)ay0，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围

为 .

2

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

BC5·17．在ABC中, 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a32,bsinasinB

22(1) 求sinA;

(2) 如图, 点M为边AC上一点, MCMB,ABM

18．已知数列an满足a13,a25, 且2an23an1an,nN*

(1)设bnan1an, 求证:数列bn是等比数列;

(2)若数列an满足anmnN*, 求实数m的取值范围.

19．一个盒子里有8个大小相同的小球，其中有6个白球，2个黑球，现依次从盒中随机摸出一个球且不放

回，直至8个球都被摸出，以X表示6个白球被两个黑球隔成的段数， 例如，摸出的顺序为“黑白白白白白白黑”，则此时X1，摸出的顺序为“白黑白白黑白白白”，则此时X3. (1) 求两个黑球连在一起被摸出的概率； (2) 求X的分布列和期望.

2, 求ABC的面积.

 3

PAAB,BDCD22，20．如图，在多面体ABCDP中， ABC是边长为2的等边三角形，PCPB22，点E是BC中点，平面ABC平面BCD. (1) 求证：DE//平面PAC；

(2) F是直线BC上的一点，若二面角FDAB为直二面角，求BF的长.

x2y2621．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:221(a0,b0)的离心率为，两焦点与短轴两顶点3ab围成的四边形面积为82. (1) 求椭圆C的标准方程；

a(2) 我们称圆心在椭圆C上, 半径为的圆是椭圆C的\"卫星圆\过原点O作椭圆C的\"卫星圆\"的两条

2切线, 分别交椭圆C于A,B两点, 试问|OA|2|OB|2是否为定值?若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.

22．设f(x)exax2,g(x)x1, 其中e为自然对数的底数，aR.

(1) 若f(x)0对任意的x(0,)都成立, 求实数a的取值范围;

(2) 设F(x)f(x)g(x), 当a(t,)时,F(x)有三个不同的零点, 求实数t的最小值.

2021-2022学年南京市金陵中学高三12月调研

参考答案

一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 4

C B B D C D A B 二、多项选择题 9 BCD 三、填空题 13 12 14 3 15 8 10 ABD 11 ABD 12 ABCD 16 a4e2 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

BC517．(1) bsinasinB

22BC5sinAsinB22BC5sinB0,sinsinA22A5AAcos2sincos

2222AA5A25cos0,sin,cos22525AA4sinA2sincos225sinBsin4(2) 设MCMB4x，则cosBMCcosBMAsinA,AM5x,AB3x

5432x2185559535由余弦定理cosBMC，则，高，xMC5,MA,AChABsinA2532x4445则S

127 ACh2818．(1) 2an23an1an,nN*2(an2an1)an1an bnan1an，即2bn1bn，所以数列bn是等比数列

(2) 由（1）数列bn是等比数列，首项b1a2a12，公比q1，则bn22n 22(1根据累加法，b1b2bn1a2a1a3a2anan1ana11)2n,n2， 112 5

112则an32112n1723n,n2,，经检验n1符合，则an723n7，所以m7

1C771 19．(1) 设两个黑球连在一起被摸出为事件A，根据捆绑法得P(A)2C8284(2) P(X1)11 C822811C72C517P(X2)22

C8C828C52105P(X3)2

C82814分布列如下

X P 1 1 281343065 282828282 17 283 5 14期望E(X) 20．(1)

ABC是边长为2的等边三角形，则PAABAC2，又PCPB22，由勾股定理知

PAAB,PAAC，故PA平面ABC，BDCD，点E是BC中点，则DEBC，由于平面ABC平面

BCD知DE平面ABC，则DE//PA，DE//平面PAC

(2) 以点E为原点，EC方向为x轴，EA方向为y轴，ED方向为z轴建系 则D(0,0,1),A(0,3,0),B(1,0,0)，设F(a,0,0)

平面FDA内，DA(0,3,1),DF(a,0,1)，法向量m(3,a,3a)

平面BDA内，DA(0,3,1),DB(1,0,1)，法向量m(3,1,3)

37设直二面角FDAB的平面角，则cos0,mn4a30,a,BF

44

b21621．(1) 离心率为，则2，两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为82，即2bc82，又

3a3x2y21 abc，解得c22,b2,a23，椭圆C:124222(2) 当OA,OB斜率均存在时

设OA:yk1x,OB:yk2x,A(x1,y1),B(x2,y2),x1212122,x 2223k113k21 6

设\"卫星圆\"(xx0)2(yy0)23,(x0,y0)在椭圆上，直线与圆相切 则kx0y0y02313(x03)k2x0y0k(y03)0,k1k22 2x33k1022212k121212k221272(k1k2)248(k12k22)243248(k12k22)|OA||OB|16。当其中一条斜率

3k1213k2219(k1k2)23(k12k22)123(k12k22)22不存在或为0时经检验仍为16，故|OA|2|OB|2为定值16

exexex22．(1) x0,f(x)0,eax0a2，设f(x）=2，f'(x)3(x2)，则f(x)在(0,2)减，在(2,)xxx22ee增，f(x)f(2)，则a

44x(2) F(x)f(x)g(x)eax2x1,F'(x)ex2ax1,F''(x)ex2a

x2当a0时，F''(x)0恒成立，则F'(x)单调递增，F(x)最多存在两个零点，不合题意 当a0时，则F'(x)在(,ln2a)减，在(ln2a,)增，注意到F'(0)0 当ln2a0,0a1时，存在x0(,ln2a),F'(x0)0，则F(x)在(,x0)增，在(x0,0)减，在(0,)增，2此时F(0)20其不可能存在3个零点 当ln2a0,a当ln2a0,a1时，F'(x)0恒成立，则F(x)单调递增，F(x)最多存在一个零点，不合题意 21时，存在x0(ln2a,),F'(x0)0，则F(x)在(,0)增，在(0,x0)减， 2在(x0,)增，要使F(x)有三个不同的零点，

则F(x0)ex0ax02x010，F'(x0)ex02ax010， ex01ex01x0则ex0x0x01ex0x010，

2222x0ex01ex0ex01令h(x0)ex0x01，h'(x0)x00，注意到h(2)0，则x02，

22222x0ex01ex1ex(x1),x02，由F'(x0)e2ax010得到a令(x)则(x)在(2,)增，,'(x)0，2x02x2x2x0e21e21，即t的最大值为 (x)(2)44

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