一、二元一次方程组易错压轴解答题
1．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨某公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车恰好装满货物．根据以上信息解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该公司设计共有几种租车方案？
2．为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗
手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完． （1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．
3．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费6200元；如果购买2台A型电脑，1台B型打印机，一共需要花费7900元。
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机? 4．在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B (b，0)，a、b满足方程组 为y轴正半轴上一点，且
.
，C
（1）求A、B、C三点的坐标； （2）是否存在点D（t，-t）使 说明理由.
（3）已知E(-2，-4)，若坐标轴上存在一点P，使
，请求出P的坐标.
？若存在，请求出D点坐标；若不存在，请
5．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有220人，在乙处植树的有96人. （1）若要使甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，应从乙处调多少人去甲处? （2）为了尽快完成植树任务，现调m人去两处支援，其中
，若要使甲处植
树的人数仍然是乙处植树人数的3倍，则应调往甲，乙两处各多少人?
6．菜矿泉水厂在山脚下筑有水池蓄水，山泉水不停地流入水池，水池底部有大小两个排水口， （1）当蓄水到 口
吨时，需要截住泉水清理水池。若开放小排水口 小时，再开放大排水
分钟，能排完水池半的水:若同时开放两个排水口 小时，刚好把水排完.求两个排水
口每分钟的流量；
（2）现关闭排水口，开放泉水放满水池后，泉水仍以固定的流量流入水池.若用-台抽水机抽水， 小时刚好把水抽完；若用 台抽水机抽水， 每分针的抽水量是泉水流量的 倍； （3）在
的条件下，若用 台抽水机抽水，需要名长时间刚好把水池的水抽完？
（a为实数）．
分钟刚好把水抽完。证明:抽水机
7．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）若方程组的解始终满足y=a+1，求a的值．
（2）己知方程组的解也是方程bx+3y=1(b为实数，b≠0且b≠-6)的解． ①探究实数a，b满足的关系式．
②若a，b都是整数，求b的最大值和最小值．
8．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。 （1）求文具袋和圆规的单价：
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干，文具店给出两种优惠方案 方案一：购买一个文具袋还送1个圆规
方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折． ①设购买圆规m个(m≥20)，则选择方案一的总费用为________ ，选择方案二的总费用为________ 。
②若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由 ________
9．某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问： （1）春游学生共多少人，原计划租45座客车多少辆？
（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算．
10．某市中学生举行足球联赛，共赛了17轮(即每队均需参赛17场)，记分办法是胜-场得3分。平场得1分，负一场得0分.
（1）在这次足球赛中,若小虎足球队踢平场数与踢负场数相同，共积16分，求该队胜了几场；
（2）在这次足球赛中,若小虎足球队总积分仍为16分，且踢平场数是踢负场数的整数倍，试推算小虎足球队踢负场数的情况有几种,
11．为建设京西绿色走廊，改善永定河水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． （1）求x、y的值；
（2）如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）的条件下，如果月处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请为该公司设计一种最省钱的购买方案． 12．某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 20元 17元 14元 某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1912元；如果两个班联合起来，作为个团体购票，则只需付1456元 （1）列方程或方程组求出两个班各有多少学生？
（2）若（1）班全员参加，（2）班有20人不参加此次活动，请你设计一种最省钱方式来帮他们买票，并说明理由．
（3）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上买票的钱数相等？如果有，是多少人与多少人买票钱数相等？（直接写结果）
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一、二元一次方程组易错压轴解答题
1．（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨 根据题意，得： {2x+y=10x+2y=11 ， 解方程组得： {x=3y=4 ，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一
解析： （1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨 根据题意，得： 解方程组得：
，
，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨. （2）解：根据题意，得：
∴
，
∵a，b都是正整数 ∴
，
，
∴共有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车9辆，B型车1辆； 方案三：A型车9辆，B型车1辆；
【解析】【分析】（1）此题关键的已知条件：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨，这就是两个等量关系，设未知数，列方程组求出方程组的解即可。
（2）此题等量关系为：租用A型车的数量×1辆A型车一次运货的数量+租用B型车的数量×1辆B型车一次运货的数量=31，列出关于a，b的二元一次方程，求出此二元一次方程的整数解，即可得到租车的方案。
2．（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得
{800x+120y=56001200x+80y=5400 首先将方程化简为 ①×3-②×2得：5y=150 解
解析： （1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得
首先将方程化简为 ①×3-②×2得：5y=150 解得：y=30
y=30将代入①得：20x+90=140 解得：x=2.5
（2）解：解：设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则医用口罩(1200-a)个，根据题意得
6a+2.5（1200-a）+30b=5400 化简，得 7a+60b=4800
∵a，b都为正整数
∴a为60的倍数，且a≤200 ∴
∴有三种购买方案.
【解析】【分析】（1）本题的数量关系为 ：医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元，即可得方程800x+120y=5600；医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完，即可得方程1200x+80y=5400.
（2）解本题注意两个条件：一是 N95口罩不超过200个 ，二是：口罩和洗手液的个数为正整数。
3．（1）解：设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元， 则 {x+2y=62002x+y=7900 ， 解得： {x=3200y=1500 ，
答：A型电脑每台3200元，B型打印机每台1500元.
解析： （1）解：设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元， 则 解得：
， ，
答：A型电脑每台3200元，B型打印机每台1500元.
（2）解：设A型电脑购买a台，则B型打印机购买（a+1）台， 则3200a+1500（a+1）≤20000， 47a+15≤200， 47a≤185，
，
∵a为正整数， ∴a≤3，
答：学校最多能购买4台B型打印机.
【解析】【分析】(1)二元一次方程组的实际应用： ①根据题意，适当的设出未知数； ②找出题中能概括数量间关系的等量关系； ③用未知数表示等量关系中的数量；
④列出等量关系式，并求出其解，他的解要使实际问题有意义，或是符合题意. (2) 一元一次不等式解决实际问题的应用： ①根据题意，适当的设出未知数； ②找出题中能概括数量间关系的不等关系； ③用未知数表示不等关系中的数量； ④列出等量关系式，并求出其解集；
⑤检验并根据实际问题的要求写出符合题意的解或解集，并写出答案.
4．（1）解：方程组 {a+b=-2a-b=-4 ，解得： {a=-3b=1 ， ∴A（-3，0），B（1，0），
∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6， ∴ 12 AB×OC=6，解得OC
解析： （1）解：方程组 ∴A（-3，0），B（1，0），
∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6， ∴ AB×OC=6，解得OC=3， ∴C（0，3）；
（2）解：∵D（t，-t），且S△PAB= S△ABC ， ∴ ×4×|t|＝ ×6，解得t=±1， ∴D（1，-1）或（-1， 1）； （3）解：如图，∵ 当点P在x轴上时，
，E（-2，-4），设点P坐标为（m，0）， ，解得：
，
，
解得m=±3，
∴点P的坐标为（3，0）或（-3，0）； 当点P在y轴上时，
，
解得m=±6，
∴点P的坐标为（0，6）或（0，-6）；
综上：坐标轴上存在点P，坐标为（3，0）或（-3，0）或（0，6）或（0，-6）； 【解析】【分析】（1）解出方程组即可得到点A，B的坐标，利用S△ABC=6，求出点C的
坐标；（2）利用 求出点D的坐标即可；（3）设点P（m，0），分点P在
x轴和在y轴两种情况讨论，结合点E坐标和△ABC的面积分别求出点P坐标.
5．（1）解：设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人， 列方程得： 解得：x=17
（2）解：设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+
解析： （1）解：设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人， 列方程得： 解得：x=17
（2）解：设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，由此可得方程： ∴ ∴ ∵
当m=91时： 当m=92时： 当m=93时： 当m=94时： 当m=95时： 当m=96时： 当m=97时： 当m=98时： 当m=99时：
，y （舍去） （舍去） （舍去） （舍去） （舍去） （舍去） 综上所述：当m=92时： 则应调往甲处各86人，乙处6人 当m=96时： 则应调往甲处各89人，乙处7人 答：（1）应从乙处调7人去甲处；（2）当m=92时： 则应调往甲处各86人，乙处6人 当m=96时： 则应调往甲处各89人，乙处7人 【解析】【分析】（1）设应从乙处调x人到甲处，则乙处剩下（96-x）人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍得出方程，求出x的值；（2）设调往甲处y人，甲处现有（220+y）人，则调往乙处（m-y）人，乙处现有（96+m-y）人，此时甲处植树的人数是乙处植树人数的3倍，由此可得方程： 的人数，进而求出调往甲处多少人. .解此方程后即得调往乙处 6．（1）解：设两个排水口每分钟的抽水量为 x 吨， y 吨 依题意得 {60x+15y=9060x+60y=180 ，解得 {x=1y=2 答：两个排水口每分钟的抽水两为 1 吨， 2 吨。 解析： （1）解：设两个排水口每分钟的抽水量为 吨， 吨 依题意得 ，解得 答：两个排水口每分钟的抽水两为 吨， 吨。 （2）解：设水池的水量为 ，泉水每分钟的流量为 ，抽水机每分钟的抽水量为 两式相减消去 ，得 即抽水机每分钟的抽水量是泉水流量的 倍。 （3）解：设 台抽水机用 分钟把水抽完，则有 由(2)得 即 【解析】【分析】（1）根据题意，设未知数x，y，列关于x，y的二元一次方程组，即可求解； （2） 设水池的水量为 ， 泉水每分钟的流量为 ， 抽水机每分钟的抽水量为 ，列出方程，即可求解； （3） 设 台抽水机用 分钟把水抽完，则有 即可求解. ，结合第（2）小题的结论， 7．（1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3 ∴y=2a-1 ∵y=a+1 ∴2a-1=a+1 ∴a=2 （2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2 ∴方程组的解为 {x=a+2y= 解析： （1）解：将方程组②-①，得3y=6a-3 ∴y=2a-1 ∵y=a+1 ∴2a-1=a+1 ∴a=2 （2）解：①将y=2a-1代入方程①，可得x=a+2 ∴方程组的解为 ∴b(a+2)+3(2a-1)=1 ∴ab+6a+2b=4 ②由ab+6a+2b=4可得b= ∴b= ∵a，b都是整数 ∴a+2=±1，±2，±4，±8，±16 ∴当a+2=1时，b有最大值10； 当a+2=-1时，b有最小值-22 【解析】【分析】（1）把a看成已知数，解关于x、y的方程组，解得y用a来表示，再将已知式 y=a+1 代入解得a的值即可。 （2） ① 将y=2a-1代入方程①，使x也用a来表示， 将x、y的值代入bx+3y=1中，则a、b的关系式可求。 ② 要求b的最大值和最小值，将a、b的关系式变形，使b用a来表示，因为a、b都是整数，根据整数的特点，把b的关系式变形，使分子不含有字母，以便取整数。列出所有符合条件的a+2值，找出b的最大值和最小值即可。 ∵方程组的解也是方程bx+3y=1的解 8．（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元 依题意，得： {x+2y=212x+3y=39 解得： {x=15y=3 答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元。 （2）(3m+ 解析： （1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元 依题意，得： 解得： 答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元。 （2）(3m+240)元；(2.4m+306)元；解：当m=100时，3m+240=540，2.4m+306=546， ∵540<546， ∴选择方案一更合算 【解析】【解答】(1)①设购买圆规m个，选择方案一的总费用为：20×15+3(m-20)=3m+240(元)； 选择方案二的总费用为：20×15+10×3+3×80%(m-10)=2.4m+306(元) 故答案为：(3m+240)元；(2.4m+306)元 【分析】（1） 设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元 ，总费用=文具袋数量×单价+圆规数量×单价，据此在两种情况下分别列方程，组成方程组求解即可； （2） ①设购买圆规m个，因为购买一个文具袋还送1个圆规，则购买20个文具袋送20个圆规，实际花钱购买的圆规有m-20个，根据“总费用=文具袋数量×单价+圆规数量×单价”列式即可；文具袋的费用不变，为20×15，圆规的费用分两部分，其中10个按原价，费用为10×3，超过10个的部分数量为m-10,享受优惠价，费用为3×80%(m-10)，几项费用相加即是总费用； ② 把m=100, 代入上述两种方案，分别计算费用，比较费用的大小，若费用低就更合算。 9．（1）解：设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆． 根据题意，得 ， 解这个方程组，得 ． 答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆 （2）解：租45座客车：240÷4 解析： （1）解：设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆． 根据题意，得 ， 解这个方程组，得 ． 答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆 （2）解：租45座客车：240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×6=1320（元）， 租60座客车：240÷60=4（辆），所以需租4辆，租金为300×4=1200（元）． 答：租用4辆60座客车更合算 【解析】【分析】 （1） 设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆, 本题的等量关系为：45×45座客车辆数+15=学生总数，60×（45座客车辆数-1）=学生总数，据此列方程组求出x,y即可求解； （2）根据总人数÷每辆车的座位数=车辆数，分别计算单独租用两种车需要的车辆数，再分别计算两种租车方案下的租金，比较租金即可得出那辆车更合算。 10．（1）解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了y场，依题意得 {x+2y=173x+y=16 解得 {x=3y=7 ； （2）解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得 {x+y+ 解析： （1）解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了y场，依题意得 解得 ； （2）解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得 把③代入①②得 解得 ∴当 当 当 时， 时， 时， ; . (k为整数). : ， 又∵z为正整数， 即：小虎足球队踢负场数的情况有三种 ①负7场；②负5场；③负1场 【解析】【分析】（1）根据题意可得两个相等关系： 胜场数+平场数+负场数=17； 胜场得分+平场得分+负场得分=16；根据这两个相等关系列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意，可以把整数倍用k倍来表示，列出三元一次方程组，并将负的场数用k表示出来，根据k为正整数，负的场数也为非负整数，分析即可得出结果. 11．（1）解: 由题意，得 解得 {x=12y=10 （2）解: 设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备（10-a）台. 由题意，得 解得 所以，该公司有 解析： （1）解: 由题意，得 解得 由题意，得 解得 （2）解: 设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备（10-a）台. 所以，该公司有以下三种方案： A型设备0台，B型设备为10台； A型设备1台，B型设备为9台； A型设备2台，B型设备为8台 （3）解: 由题意，得 240a+200（10-a）≥2040 解得： 所以，购买A型设备1台，B型设备9台最省钱 【解析】【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出答案. （2） 设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备（10-a）台，根据 购买污水处理设备的资金不超过105万元列出一元一次不等式，解之即可得出a的范围，从而可得具体方案. （3）根据题意列出一元一次不等式，解之 即可得出a的取值范围，从而可得答案. 12．（1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100， 则1456÷17=85（人） （元），不符合题意， ∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100． 设初一（1）班有x人，初一 解析： （1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100， 则1456÷17=85（人） （元），不符合题意， ∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100． 设初一（1）班有x人，初一（2）班有y人， 依题意，得： 解得： ； ， 答：初一（1）班有48人，初一（2）班有56人 （2）解：48+（56﹣20）=84（人）． 两个班合起来买84张门票所需钱数为：84×17=1428（元）， 两个班合起来买101张门票所需钱数为：101×14=1414（元）， ∵1414＜1428， ∴两个班合起来买101张门票最省钱 （3）84人和102人或98人和119人买票钱数相等 【解析】【解答】（3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101）， 依题意，得：17m=14n， ∴m为14的整数倍，n为17的整数倍， ∴ 或 ． 答：84人和102人或98人和119人买票钱数相等． 【分析】（1）由两班人数之和为整数可得出初一（1）（2）两个班的人数之和大于100，设初一（1）班有 人，初一（2）班有y人，根据总价=单价×数量，即可得出二元一次方程组，解之即可；（2）求出参加活动的人数，利用总价=单价×数量，分别求出购买84张 门票及101张门票所需钱数，比较后即可得出结论； （3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101），根据总价=单价×数量且总价相等，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n为正整数及其范围，即可求出m，n的值． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容