【基本概念与公式】
【任何时候写向量时都要带箭头】
AB或a。
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|1。
4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。6.相等向量：长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。8.三角形法则：
AB
BC
AC；AB
BC
CD
DE
AE；AB
AC
CB（指向被减数）
AB
BA。
9.平行四边形法则：
以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为10.共线定理：a
b
a//b。当
a
b，a
b。
0时，a与b同向；当0时，a与b反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。12.向量的模：若a
(x,y)，则|a|
x
2
y，a
2
2
|a|，|ab|
2
(ab)
2
13.数量积与夹角公式：ab|a||b|cos；14.平行与垂直：a//b
cos
ab|a||b|b
ab
0
x1x2
y1y2
0
ab
x1y2
x2y1；a
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。件是AB
CD。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条
（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（8）若ma
na，则m
n。
（7）若mamb，则ab。
（9）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。
（11）若|ab||ab|，则a
b。
（10）若ab|a||b|，则a//b。题型2.向量的加减运算
1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则|ab|2.化简(AB
MB)
(BO
BC)
OM
。
。
、
。，AD
BC。
3.已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为4.已知AC为AB与AD的和向量，且AC5.已知点C在线段AB上，且AC题型3.向量的数乘运算
1.计算：2(2a5b3c)3(2a3b2c)2.已知a
(1,4),b
(3,8)，则3a
12b35
a,BD
b，则AB
BC，AB
。
AB,则AC
。
题型4根据图形由已知向量求未知向量1.已知在
AC表示AD。ABC中，D是BC的中点，请用向量AB，
2.在平行四边形ABCD中，已知AC
a,BD
b，求AB和AD。
题型5.向量的坐标运算
1.已知AB2.已知PQ
(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是
。。
。
3.若物体受三个力F14.已知a
(3,4)，b
(1,2),F2(2,3),F3
b，a
(1,4),则合力的坐标为
b，3a
2b。
(5,2)，求a
5.已知A(1,2),B(3,2),向量a6.已知AB
(2,3)，BC
(x2,x3y2)与AB相等，求x,y的值。
(m,n)，CD(1,4)，则DA
3BC
。
0，求OC的坐标。
7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)，且AB
题型6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.e1e2和e12.已知a
e2 B.3e1
2e2和4e2
6ee13e2和e21 C.
）
(1,
43)
3e1 D.e2和e2
e1
(3,4)，能与a构成基底的是（
43
(,) C.55
(35,45) D.
34
A.(,) B.
55
题型7.结合三角函数求向量坐标
1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2，
xOA
150，求OA的坐标。
2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|43，
xOA
60，求OA的坐标。
题型8.求数量积
1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）a(ab)，（3）(a
12
（4）(2ab)b，
b)(a3b)。
2.已知a（4）(2a
(2,6),bb)(a
(8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）ab，（3）a(2ab)，
3b)。
题型9.求向量的夹角1.已知|a|8,|b|3，ab
12，求a与b的夹角。
2.已知a
(3,1),b
(23,2)，求a与b的夹角。
3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC。
题型10.求向量的模
1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）|a
b|，（2）|2a
3b|。
2.已知a
(2,6),b
(8,10)，求（1）|a|,|b|，（5）|ab|，（6）|a
12
b|。
|b|2，|3a2b|3，求|3a3.已知|a|1，b|。
题型11.求单位向量1.与a是
【与a平行的单位向量：e
2.与m
a|a|
1
】
(12,5)平行的单位向量是
(1,)平行的单位向量
2
。
题型12.向量的平行与垂直1.已知a
(1,2)，b
（1）k为何值时，向量ka(3,2)，b与a3b垂直？（2）k为
何值时向量kab与a3b平行？
2.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：a
(b
c)。
题型13.三点共线问题
1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。
2.设AB
22
(a5b),BC2a8b,CD
3(ab)，求证：A、B、D三点共线。
3.已知AB
a2b,BC5a6b,CD7a
2b，则一定共线的三点是。
4.已知A(1,3)，B(8,1)，若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值。
5.已知四个点的坐标
O(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使
OA
tOB
OC成立？
题型14.判断多边形的形状1.若AB
3e，CD
5e，且|AD||BC|,则四边形的形状是
。
2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形。
3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。
题型15.平面向量的综合应用1.已知a(1,0)，b
(2,1)，当k为何值时，向量ka
b与a
3b平行？
2.已知a
(3,5)，且a
b，|b|2，求b的坐标。
3.已知a与b同向，b(1,2)，则ab10，求a的坐标。
4.已知a(1,2)，b(3,1)，c(5,4)，则cab。
5.已知a(m,3)，b(2,1)，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；
（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围。
6.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a与b的夹角为钝角？（b的夹角为锐角？
2）a与
7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为AB
2CD，求点C的坐标。
A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，
8.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，
（1）若ABAC0，求c的值；2）若c5，求sinA的值。
（
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