最全拉氏变换计算公式

1. 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2 微分定理 一般形式 L[af(t)]aF(s) L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s) df(t)]sF(s)f(0)dtd2f(t)L[]s2F(s)sf(0)f（0） 2dtL[ndnf(t)nLsF(s)snkfndtk1k1df(t)f(k1)(t)dtk1(k1)(0)初始条件为0时 dnf(t)nL[]sF(s) ndtL[f(t)dt]2 3 积分定理 一般形式 F(s)[f(t)dt]t0ss2F(s)[f(t)dt]t0[f(t)(dt)]t0 L[f(t)(dt)]2ss2s共n个nF(s)1nL[f(t)(dt)]nnk1[f(t)(dt)n]t0sk1s共n个初始条件为0时 4 延迟定理（或称t域平移定理） F(s)L[f(t)(dt)n]n s共n个L[f(tT)1(tT)]eTsF(s) 5 衰减定理（或称s域平移定理） L[f(t)eat]F(sa) 6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理 limf(t)limsF(s) ts0limf(t)limsF(s) t0sL[f1(t)f2()d]L[f1(t)f2(t)d]F1(s)F2(s) 00tt 1

2． 常用函数的拉氏变换和z变换表 序号 拉氏变换E(s) 时间函数e(t) δ(t) T(t)(tnT) n0Z变换E(z) 1 z z11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1eTs1 s1(t) z z11 s21s3t t22Tz(z1)2 Tz(z1)2(z1)321sn1tn n!(1)nnzlim() naTa0n!azezzeaT1saeat teat 1(sa)2 TzeaT(zeaT)2a s(sa)1eat(1eaT)z (z1)(zeaT)ba (sa)(sb)eatebt sint zz aTbTzezezsinT 2z2zcosT1z(zcosT) z2zcosT12s22 2 eess22cost at(sa)2sint cost at/T zeaTsinT 2aT2aTz2zecosTez2zeaTcosTz22zeaTcosTe2aTz zasa(sa)22at 1 s(1/T)lna 2

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsmbm1sm1b1sb0 （nm） F(s)A(s)ansnan1sn1a1sa0式中系数a0,a1,...,an1,an，b0,b1,bm1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s)0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

ncicncc1c2F(s)i

ss1ss2ssissni1ssi式中，s1,s2,,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算：

或

cilim(ssi)F(s)

ssiciB(s)

A(s)ssi式中，A(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

nncist f(t)LF(s)L＝cie

i1ssii111i②

A(s)0有重根

设A(s)0有r重根s1，F(s)可写为

FsB(s) r(ss1)(ssr1)(ssn)=

cicncrcr1c1cr1 rr1(ss1)(ss1)(ss1)ssr1ssissn式中，s1为F(s)的r重根，sr1，…, sn为F(s)的n-r个单根；

3

其中，cr1，…, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr1，…, c1则按下式计算：

crlimss(ssr1)F(s)

1cdr1limds[(ss1)rF(s)] ss1 c1rjj!limd(j)ss(j)(ss1)rF(s) (F-5) 1ds

c1d(r1) 1(r1)!limss(r1)(ss1)rF(s)

1ds原函数f(t)为 f(t)L1F(s)

L1crcrcicn(ssr1r1c11)(ss1)(ss)cr1sss 1r1ssisncrtr1cr1tr2ncs1ti(r1)!(r2)!2tc1ecstie ir1 4

F-6） （