2013届高三六校第二次联合考试模拟试题

文科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A{cos0,sin270}，B{x|x2x0}，则AB为（ ）

A．{0,1}

B．{1,1}

C．{1}

D．{0}

2. 在ABC中，“ABBC0”是“ABC为直角三角形”的（ ）

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3. 下面是关于复数z2的四个命题： 1i

p1：|z|2

p2：z22i p4：z的虚部为1

p3：z的共轭复数为1i

其中真命题为（ ） A．p2和p3

B．p1和p2

C．p2和p4

D．p3和p4

4. 曲线f(x)xlnxx在x1处的切线方程为（ ）

A．yx1

B．y2x1

C．yx1

D．y2x1

5. 已知a、b均为单位向量，且它们的夹角为60，则|a3b|等于（ ）

A．13

B．10

C．7

D．4

6. 在等比数列{an}中，若a18，a4a3a5，则a7（ ）

A．

1 16 B．

18 C．

1 4 D．

1 25π7. 函数ysin2x的图像的一条对称轴方程是（ ）

2A．x

π2 B．x

π4 C．xπ 8 D．x5π 48. 若函数f(x)x36bx3b在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是（ ）

A．(0,1) B．(,1) C．(0,)

1D．0,

29. 在等差数列{an}中，a128，公差d4．若前n项和Sn取得最小值，则n（ ）

A．7

B．8

C．7或8

D．8或9

10. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减．若数列{an}是等差数

列，且a30，则f(a1)f(a3)f(a5)的值（ ） A．恒为正数

B．恒为负数

C．恒为0

D．可正可负

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11. 设平面向量a(1,2)，b(2,y)，若a∥b，则y ．

12. 在ABC中，若C60，AB3，BC2，则A ． 13. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若

S6S3，则9 ． S3S614. 已知函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x(2,4)时，f(x)x3，则f(2013)的

值等于 ．

2013届高三六校第二次联考模拟试题

文科数学答题卷

班级

姓名

成绩 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．

12．

13．

14． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分12分）

已知函数f(x)sin(x)（0，0π）为偶函数，且周期为2π． （1）求f(x)的解析式；

π12πππ（2）若,，f，求sin2的值．

33332

16. （本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Snkcnk（其中c、k均为常数），且a24，a68a3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{nan}的前n项和Tn．

17. （本小题满分14分）

1已知向量m(sinx,1)，n3cosx,，函数f(x)(mn)m．

2（1）求f(x)的最小正周期T及单调递增区间；

（2）已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的对边，A为锐角，a23，c4，

且f(A)是函数f(x)在0,

18. （本小题满分14分）

π上的最大值，求ABC的面积S． 2e2已知函数f(x)x2exm1，g(x)x（x0）．

x（1）若g(x)m有零点，求m的取值范围；

2（2）确定m的取值范围，使得方程g(x)f(x)0有两个相异实根．

19. （本小题满分14分）

32（1）求a的值以及f(x)在xR时的极值；

已知函数f(x)x3ax21（a1）在区间[1,1]上的最小值为2．

（2）若函数g(x)f(x)mx在区间[2,2]上单调递减，求实数m的取值范围．

20. （本小题满分14分）

设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的nN，都有Sn(m1)man（m为常数，且m0．

（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）设数列{an}的公比qf(m)，数列{bn}满足b12a1，bnf(bn1) （n2），求数列{bn}的通项公式；

2（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{bn}的前n项和Tn89． 18

2013届高三六校第二次联考模拟试题

文科数学参考答案

一、选择题：CACBA 二、填空题：

11．4

12．45

13．

BADCA

7 3 14．6

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）T2, 则21．f(x)sin(x)． T„„2分

f(x)是偶函数, k2(kZ), 又0，

2． „„5分

则 f(x)cosx．

（2）由已知得cos(15),(,)，(0,)． 333236

„„8分

则sin(3)22． 3sin(2242． )2sin()cos()3339

„„12分 „„2分

16．解：（1）由Snkc2k，得anSnSn1kcnkcn1（n2）．

kc(c1)4由a24，a68a3得5c2，k2． 2kc(c1)8kc(c1) „„5分

于是a1S12，ankcnkcn12n（n2），所以an2n（nN）；

（2）由（1）知：Tn2222323n2n，

„„6分

2Tn222223324(n1)2nn2n1，

3nn1„„9分

两式相减，得Tn2222n22(12n)n2n1，所以

12

„„12分

Tn(n1)2n12．

17．解：（1）f(x)(mn)msin2x13sinxcosx1 2

„„4分

1cos2x31π1sin2xsin2x2． 2226

2π „„5分 π．

2πππππ由2kπ2x2kπ（kZ）得kπxkπ（kZ），故所求的单调

26263因为2，所以f(x)的最小正周期T

„„7分

ππ递增区间为kπ,kπ（kZ）；

63

πππ5ππ（2）由（1）知：f(A)sin2A2．又A0,，2A，所以

66662当2Aπππ ，即A时，f(x)取得最大值3．

3621由余弦定理，得12b21624bb2，从而ABC的面积

211π SbcsinA24sin23．

223„„10分 „„12分 „„14分

e2e2e218．解：（1）方法1：因为g(x)x2x2e，当且仅当x，即xe时取得

xxx“”号，所以g(x)的值域是[2e,)．

„„4分 „„6分

因此，当m2e时，g(x)m有零点． 方法2：由g(x)m得x2mxe20．

m0依题意，此方程有大于零的实根，所以2，

m24e20所以m2e．

„„4分

„„6分

（2）若方程g(x)f(x)0有两个相异实根，即g(x)f(x)中函数g(x)与f(x)的图

e2像有两个不同的交点，作出g(x)x（x0）的图像（如图）．

xy2exOe „„9分

因为f(x)x22exm1的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2．由图像

知：当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点，即程

g(x)f(x)0有两个相异实根．

„„14分 „„1分

因此，m的取值范围是(e22e1,)．

19．解：（1）f(x)3x(xa)．

令f(x)0得x10，x2a．因为a1，所以x、f(x)、f(x)的情况列表如下：

x f(x) f(x)

(,0) 0 0 (0,a) a 0 (a,)  

 

 

„„4分

极大值

极小值

因此，f(x)在[1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，故f(x)的最小值是f(1)

3334a与f(1)2a中较小者，所以a2，a．

2223 当x0时，f(x)取得极大值f(0)1；

当x „„6分

4时，f(x)取得极小值354f．

273 „„8分

（2）由（1）知：f(x)x32x21，所以

g(x)x32x2mx1，g(x)3x24xm．

因为g(x)在[2,2]上单调递减，所以g(x)0在[2,2]上恒成立． 因为g(x)3x24xm的图像是开口向上的抛物线，所以

„„10分

g(2)20m0m20． g(2)4m0

因此，实数m的取值范围是[20,)．

„„14分 „„1分 „„2分

20．（1）证明：当n1时，a1S1m1ma1，解得a11． 当n2时，anSnSn1man1man． 即1manman1．

∵m为常数，且m0，∴

anmn2． an11m „„3分

m的等比数列． 1mm（2）解：由（1）得，qfm，b12a12．

1m∴数列an是首项为1，公比为∵bnfbn1

„„4分 „„5分 „„6分

bn1，

1bn1

∴

11111，即1n2． bnbn1bnbn1 „„7分

11∴是首项为，公差为1的等差数列．

2bn∴

„„8分

2112n1*，即bn（nN）． n112n1bn2224，则bn2． 22n12n1 „„9分

（3）证明：由（2）知bn „„10分

所以Tnb12b22b32bn2 4当n2时，

444， 29252n1

„„11分

42n12411，

2n2n2n1n „„12分

所以Tn4 44441111114 292592334n1n2n1

„„14分

401189． 92n18