江苏省淮安市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合

M={xx+1<2}，

N={xaA. (−∞,−3] B. (−∞,−3)

C. [−3,1)

D. (−3,1)

【答案】A 【解析】

【分析】首先求出集合A，再根据集合的包含关系计算可得. 【详解】由x+1<2，则−2又N={xa所以a≤−3，即实数a的取值范围是(−∞,−3]. 故选：A

2. −2)已知直线l的方向向量e(1,−1,，平面α的法向量n=−12,λ,1，若l⊥α，则λ=（ A. −5 1152B. −2 C.

2 D.

2 【答案】C 【解析】

【分析】根据空间向量平行的坐标关系即得. 【详解】由题可得e//n，所以可设−12,λ,1=µ(1,−1,−2)， −12=µ所以λ=−µ，

1=−2µ

）所以λ=

1. 2

故选：C.

3. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（ ） A.

1 5B.

2 5C.

3 5D.

4 5【答案】D 【解析】

【分析】根据古典概型的概率计算公式，先算出所选3人中没有1名女生的情况的概率，继而得出所选3人中至少有1名女生的概率.

【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛共有C6种，所选3人中没有1名女生的情况有

3C3441−3=. C=4，所以所选3人中至少有1名女生的概率是P=C6534故选：D．

4. 若x>0，y>0，称a=xy是x，y的几何平均数，

b=211是x，y的调和平均数，则“a>3”是+xy“b>3”的（ ） A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】B 【解析】

【分析】由b≤a结合充分条件必要条件的定义即得.

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

22xy2xy=≤=xy=b=a11x+y2xy，当且仅当x=y时取等号， 【详解】因为

+xy所以由b>3可推出a>3，而由a>3推不出b>3， 所以“a>3”是“b>3”的必要不充分条件. 故选：B.

5. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“

”和阴爻“

”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻

不相邻的概率是（ ）

A.

1 72B.

5 32C.

5 16D.

2 3【答案】B 【解析】

【分析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果.

【详解】所有“重卦”共有26种；

恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的“重卦”种数有C5种，

2C55∴恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率为. =62322故选：B.

6. 已知四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（ ） A.

5 4B.

5 2C.

2 2D.

32 4【答案】D 【解析】

【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,1),D(0,1,0),E1,,0，

12

11,−,0， 所以PD=(0,1,−1),DE=25,PD=2−12， DE⋅PD2,=2=−42PD所以DE=22DE⋅PD所以点E到直线PD的距离是DE−=PD故选：D.

5132. −=4847. 某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（ ）种报名方式 A. 49 【答案】C 【解析】

【分析】根据两个计数原理结合组合知识即得.

【详解】由题可知，若每人报集体赛1项，则报名方式有C2C7+C2C7+C2C7=58种， 若每人报集体赛2项，则报名方式有C2C7+C2C7=8种， 所以每人共有报名方式58+8=66种. 故选：C.

8. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(B)=A. P(A)=【答案】C 【解析】

【分析】利用全概率公式结合条件可得P(A)=逐项分析即得. 【详解】因为P(B)=2021101112B. 64 C. 66 D. 73

151，PBA=，PBA=，则（ ）

623()()1 3B. P(AB)=1 6C. P(A+B)=

34D. PAB=()1 41，然后利用和事件的概率公式和条件概率公式结合条件2151，PBA=，PBA=，

62311，又P(B)P(A)P(BA)+P(A)P(BA)， 所以P(BA)=，P(BA)==6211111=P(A)+(1−P(A))， 所以=P(A)+P(A)36262()()所以P(A)=1，故A错误； 2P(AB)11=由P，可得P(AB)=，故B错误； (BA)=P(A)612所以P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=1113+−=，故C正确； 23124=AB所以P故选：C.

()P(AB)113=1−=，故D错误. ，PAB=P(B)444()二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若a0 【答案】AD 【解析】

【分析】根据不等式的性质判断A、B，利用作差法判断C、D.

B.

cc> abC.

bb+c >aa+cD. a+110，故A正确； 【详解】对于A：因为a−b>−c>0，则a+b=对于B：因为a，所以<，故B错误； abab=−对于C：因为

bab+ca+cb(a+c)−a(b+c)c(b−a)=，又abb+c<，故C错误； aa+c所以a+c<0，b−a>0，所以

对于D：a+1111a−b1−b+=a−b+−=(a−b)+=(a−b)1+， babaabab因为a0，a−b<0，1+11>0，所以(a−b)1+<0， abab则a+1110. 如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数（单位：杯）与当天气温（单位：℃）的散点图，若去掉

B(7,35)后，下列说法正确的有（ ）

A. 决定系数R2变大 C. 相关系数r的绝对值变大 【答案】AC 【解析】

B. 变量x与y的相关性变弱

D. 当气温为11℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯

【分析】由散点图可知，去掉B后，变量x与y的相关性变强可判断ABC；求出线性回归方程后可判断D.

【详解】由散点图可知，去掉B(7,35)后，变量x与y的相关性变强，故B错误； 因为是负相关，所以相关系数r的绝对值变大，故C正确； 决定系数R2变大，故A正确； 去掉B(7,35)后，x50+37+33+244+10+13+17=11，y=36， =44∑xyii=144i=4×50+10×37+13×33+17×24=1407，

22222=+++=861， x4101324∑ii=1ˆ所以b∑xy−4x⋅yiii=1i=14=4∑xi2−4x21407−4×11×36≈−0.47，

861−4×121ˆ=36+0.47×11=41.17， ˆ=y−bxa−0.47x+41.17， 所以y关于x的线性回归方程为y=36， −0.47×11+41.17=当气温为11℃时，y=卖出热茶的杯数估计为36杯，故D错误.

故选：AC.

11. 有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（ ） A. 5名同学每两人握手1次，共握手20次 B. 5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张 C. 5名同学围成一圈做游戏，有120种排法

D. 5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法 【答案】BD 【解析】

【分析】利用组合的概念可判断A，根据排列知识可判断BC，利用捆绑法及间接法可判断D. 【详解】A选项，5名同学每两人握手1次，共握手C5=10次，故A错误；

2=20张，故B正确； B选项，5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片A52C选项，5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有A4=24种排法，故C错误；

D选项，5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有A2A4=48种排法，其中丙站正中间的排法有

22 A22A2A2=8种，

244所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有48−8=40种，故D正确. 故选：BD.

12. 在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，PA=PA+xAB+yAD，其中3，点Q满足PQ=x∈[0,1]，y∈[0,1]，则下列结论正确的有（ ）



PQA. 的最小值是2

B. 当x=1时，三棱锥P−ADQ的体积为定值 C. 当x=y时，PB与PQ所成角可能为

π 61时，AB与平面PAQ所成角正弦值的最大值为D. 当x+y=【答案】ABD 【解析】

30 6【分析】根据向量关系可得Q为正方形ABCD内的点(包括边界)，设ACBD=O，根据正棱锥的性质



结合条件可得PQ≥PO判断A，根据棱锥的体积公式结合条件可判断B，根据线面角的求法结合条件可

判断C，利用坐标法表示出线面角，然后利用导数求最值可判断D.

【详解】由PQ=PA+xAB+yAD，可得PQ−PA=AQ=xAB+yAD，其中x∈[0,1]，y∈[0,1]，

所以Q为正方形ABCD内的点(包括边界)， 在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，PA=3，设ACBD=O，连接PO，

2，

则PO⊥平面ABCD，OA=OB=1,PO=

2，当Q,O重合时取等号，故A正确； 对A，由题可知PQ≥PO=对B，当x=1时，AQ=AB+yAD，即BQ=yAD，故Q在线段BC上，

因为AD//BC，所以三角形ADQ的面积为定值，而三棱锥P−ADQ的高PO为定值，故三棱锥

P−ADQ的体积为定值，故B正确；



对C，当x=y时，AQxAB+ADxAC，故Q在线段AC上，

()=OAO,PO,OA⊂平面PAC，故OB⊥平面PAC， 由题可知PO⊥OB,OB⊥OA,PO∩所以PO为PB在平面PAC内的射影，∠BPQ≥∠BPO，

而在Rt△POB中，tan∠BPO=ππ123，所以∠BPO>，∠BPQ>，故PB与PQ所成角=>66232不可能为

π，故C错误； 61时，=对D，当x+y=AQxAB+yAD，故Q在线段BD上，

如图以O为原点建立空间直角坐标系，设Q(0,t,0)(−1≤t≤1)，则A(1,0,0),B(0,1,0),P0,0,2，

()

−1,0,2,AQ=所以AB=(−1,t,0)， (−1,1,0),AP=()−a+2c=0m⋅AP=

设平面PAQ的法向量为m=(a,b,c)，则，

−a+tb=0m⋅AQ=

令b=2，则m=2t,2,t，设AB与平面PAQ所成角为α，

()=sinα所以

AB⋅m=AB⋅m22−2t=2⋅3t2+2(t−1)223t+2，

22t−13t+2−6t(t−1)()1t−()，t∈[−1,1]，则f′(t)=设f(t)==223t2+23t+2()2(t−1)(6t+4)()(3t2+2)2，

所以当t∈−1,−22′∈tft>0,ft时，单调递增，当()()−,1时，f′(t)<0,f(t)单调递减， 332所以f(t)max2−−1532530=f−==，，故D正确. ≤=αsin2366623−+23故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量关系结合条件得到点Q的位置，然后结合条件利用立体几何知识解决即得.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

2______． 13. 随机变量X∼N5,σ，P(X<3)=，则P(3≤X<7)=()18【答案】【解析】

3##0.75 4【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可．

2【详解】因为随机变量X∼N5,σ，可得正态分布曲线的对称轴为x=5，

()， 又因为P(X<3)=，P(X≤7)=1−所以P(X>7)=所以P(3≤X<7)=故答案为：

181817=， 88713−=. 8843. 414. 在三棱柱ABCA1B1C1中，点M在线段CB1上，且CM=2MB1，若以AB,AC,AA1为基底表示

{}，则AM=______． AM122【答案】AB+AC+AA1

333【解析】

【分析】利用向量的线性关系结合图形运算即得.

【详解】在三棱柱ABCA1B1C1中，点M在线段CB1上，且CM=2MB1，

2所以AA1=BB1，CM=CB1，

3

222==+CMAC=+CB1AC+BB=AC+BB1−AC+AB 所以AMAC1−BC333212122=AC+BB1+AB=AB+AC+AA1. 333333122故答案为：AB+AC+AA1.

333()()15. 已知x≠−1，且x≠0，则(1+x)+(1+x)+(1+x)++(1+x)的展开式中x2项的系数是______．（用数字作答） 【答案】120 【解析】

【分析】利用二项式定理得到(1+x)【详解】因为(1+x)2nn239(n≥2)的展开式中x2的系数为C2n，进而得到答案.

(n≥2)的展开式中x2的系数为C2n，

39故(1+x)+(1+x)+(1+x)++(1+x)的展开式中x2的系数

22C22+C3++C9=1+3+6+10+15+21+28+36=120.

故答案为：120.

16. 已知随机变量ξ的概率分布列如下表所示，当E(ξ)=3______． 时，D(2ξ+1)=4ξ P 0 121 2 a b 【答案】

11 4【解析】

即可求出D(ξ)，再根据方差的性质得到D(2ξ+1)．【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出a，b，

11

a=a+b+=142，解得， 【详解】依题意113b=0×+1×a+2×b=442ξ 0 1 2 P 12 1 41 4∴D(ξ)=13131311×(0−)2+×(1−)2+×(2−)2=， 2444441611， 4==ξ)D(2ξ+1)4D(故答案为：

11． 4n四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知

(2x−y)的展开式中仅有第4项的二项式系数最大．

（1）求展开式的第2项；

（2）求展开式的奇数项系数之和． 【答案】（1）T2=−192xy； （2）365. 【解析】

【分析】（1）根据二项式系数的性质可得n=6,然后根据二项式的通项公式即得； （2）设

5(2x−y)=6a0x6+a1x5y+a2x4y2++a6y6，然后利用赋值法即得.

【小问1详解】

因为

(2x−y)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，

根据二项式系数的性质：左右对称且先增后减，所以展开式共有7项，则n=6, 所以展开式的第2项为T2=C16(2x)【小问2详解】 设

5−192x5y； (−y)=(2x−y)=6a0x6+a1x5y+a2x4y2++a6y6，

=y=1得：a0+a1+a2++a6=1① 令x6令x=1，y=−1得：a0−a1+a2−a3+a6=3=729②

365， 由①②得a0+a2+a4+a6=所以展开式的奇数项系数之和为365．

18. 某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据： 年份 年份代码x

平均收入y（千元）

（1）根据表中数据，现有y=a+bx与y=c+dx2两种模型可以拟合y与x之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）

（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．

2018 1 59

2019 2 61

2020 3 64

2021 4 68

2022 5 73

参考数据及公式：

217，∑(t−t)∑(t−t)(y−y)=iiii=1i=1nn2=374，其中ti=x2bi．

=∑(xi=1ni−xyi−yi)()，

∑(xi=1n−x)2a=y−bx．

=y【答案】（1）

（2）回归方程y【解析】

3.5x+54.5，y0.6x2+58.4；

0.6x2+58.4拟合效果更好，预测2023年该农户种植药材的平均收入为8万元．

【分析】（1）根据最小二乘法结合条件可得回归方程；

（2）根据回归方程分别计算残差平方和，进而可得y合条件即得.

0.6x2+58.4拟合效果更好，然后根据回归方程结

【小问1详解】

根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得： x=11=(1+2+3+4+5)=3，y)65， (59+61+64+68+73=55所以

35，∑(x∑(x−x)(y−y)=iii=1i=155i−x)210， =b则=∑(x−x)(y−y)iii=15∑(i=15xi−x)2=35=65−3.5×3=54.5． =y−bx=3.5，a10121+22+32+42+52)=11， (5设t=x2，则y=+cdx2=+cdt，所以t==d则

∑(t−t)(y−y)iii=15∑(i=15ti−t)2=217=65−0.6×11=58.4． =y−dt≈0.6，c374=y所以，两种模型的回归方程分别为

【小问2详解】

3.5x+54.5，y0.6x2+58.4．

y=回归方程为

23.5x+54.5时，将x值代入可得估计值分别为58，61.5，65，68.5，72，则残差平方和为

22223.5． (59−58)+(61−61.5)+(64−65)+(68−68.5)+(73−72)=回归方程为y0.6x2+58.4时，将x值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，

则残差平方和为

(59−59)+(61−60.8)+(64−63.8)+(68−68)+(73−73.4)22222=0.24．

因为0.24<3.5，所以回归方程y0.6x2+58.4拟合效果更好，应选择该方程进行拟合．

当x=6时，y=0.6×62+58.4=80，

故预测2023年该农户种植药材的平均收入为80千元，即8万元．

19. 淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表：

男 女 合计

有购买意愿 60

没有购买意愿 合计 40 50

（1）完成上述2×2列联表，根据以上数据，判断是否有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？

（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔．现有3名同学参加该游戏，ξ表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望．

n(ad−bc)2附：K=，其中n=a+b+c+d．

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

2k

【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关； （2）分布列见解析，数学期望为【解析】

【分析】（1）由题可得列联表，进而可得K2并结合条件即得；

（2）先求出一次游戏中取出2个红球的概率，然后利用二项分布概率公式可得概率，进而可得分布列及期望.

2. 3【小问1详解】

由题可得2×2列联表如下： 男 女 合计

有购买意愿 90 60 150

没有购买意愿 40 10 50

合计 130 70 200

提出假设H0：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得

200(90×10−60×40)600K2==≈6.5934<6.635，

150×50×130×7091因为当H0成立时，K2≥6.635的概率大于1%，所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关． 【小问2详解】

211C21C322一次游戏中取出2个红球的概率p=×0+×2+×2=，

33C43C492由题可知ξ=0，1，2，3，则ξB3,，

29298343212，， 所以P(ξ=−=0)=1Pξ=1=C⋅⋅1−=()37299924392P(ξ=2)=C⋅9232328228，2， ⋅1−=P(ξ=3)=C3⋅=3924397293所以随机变量ξ的概率分布为

ξ 0 1 2 3 P 343 72998 24328 2438 7290×所以E(ξ)=343982882+1×+2×+3×=． 729243243729320. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P是对角线BD1上异于B，D1的点，记

BP=λ． BD1

（1）当∠APC为锐角时，求实数λ的取值范围； （2）当二面角P−AC−B的大小为【答案】（1）

π时，求点B1到平面PAC的距离． 42<λ<1； 3（2）2−1. 2【解析】

【分析】（1）利用坐标法，表示出向量PA,PC，然后结合条件列出不等式，进而即得；

（2）利用面面角的向量求法可得λ【小问1详解】

=2−2，然后利用点到平面的距离的向量求法即得. 2以DA,DC,DD1为单位正交基底，建立空间直角坐标系D−xyz．

{}则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．

BP=λ，0<λ<1．则BP=λBD1=(−λ,−λ,λ)． 因为BD1则PA=BA−BP=(λ,λ−1,−λ)，PC=BC−BP=(λ−1,λ,−λ)．

=由∠APC为锐角，则cos∠APCPA⋅PC>0且cos∠APC≠1． PAPC则PA⋅PC=3λ2−2λ>0．又0<λ<1，

所以

2<λ<1； 3【小问2详解】

0且AC⋅n1=0，又PA设平面APC的法向量n1=(x,y,z)，则PA⋅n1==

AC=

0，−x+y=0． (−1,1,0)，所以λx+(λ−1)y−λz=(λ,λ−1,−λ)，

令x=1，则y=1，z=2−1λ．

1n11,1,2−． =故平面PAC的一个法向量

λπ2

，易知平面ABC的一个法向量n2=(0,0,1)．因为二面角P−AC−B为，则cosn1,n2=4212−所以λ2=12+2−λ22±2

，解得λ=．22因为0<λ<1，则λ=2−2

．2=n1则平面APC的一个法向量

(

1,1,−2，又向量AB1=(0,1,1)，

)所以点B1到平面PAC的距离dAB1⋅n1=n12−1． 2−x2+2mx,x≤221. 已知函数f(x)=，m∈R． 4,2m−x+x>2−x（1）当x≤2时，求f(x)>0的解集； （2）若f(x)的最大值为3，求m的值． 【答案】（1）详见解析； （2）m=±3 【解析】

【分析】（1）根据二次不等式的解法，分类讨论即得；

（2）当x>2时利用基本不等式可得函数的最大值，进而可得m=9然后结合条件即得，当x≤2时根据

二次函数的性质分类讨论可得函数的最值，然后结合条件检验即得. 【小问1详解】 当x≤2时，−x2+2mx>0，即x(x−2m)<0．

当m<0时，2m当m>0时，若m1，01，0所以，当m<0时，不等式的解集为(2m,0)；当m=0时，不等式的解集为∅；当01时，不等式的解集为(0,2]． 【小问2详解】 ①当x>2时，

f(x)=m−x+44=m−2−(x−2)+， 2−xx−2又x−2>0，则(x−2)+4≥4，当且仅当x=4取等号， x−2所以f(x)max=m−2−4=m−6=3，即m=9，

=−x2+2mx=−x2+18x．此时f(x)max若m=9时，当x≤2时，f(x)=所以m=9不满足题意，舍去．

=f(2)32>3，

−x+2mx的对称轴为x=m， ②当x≤2时，f(x)=2=当m≤2时，f(x)max2f(m==3，m=±3． )m当m>2时，f(x)在(−∞,2]时增函数，f(x)max=若m=±3．当x>2时，

f(2)=4m−4=3，即m=7（舍去）． 4f(x)max=m−6=±3−6<3，满足题意．

综上，m=±3时，f(x)的最大值为3．

22. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为

1112，投入壶耳的概率为；乙投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为．假设甲乙两人

3336每次投壶是否投中相互独立．

（1）求甲投壶3次得分为3分的概率；

（2）求乙投壶多少次，得分为8分的概率最大． 【答案】（1）

11 54（2）乙投壶6次时，得分为8分的概率最大． 【解析】

【分析】（1）根据互斥事件求和公式及独立事件的乘法公式即得；

（2）设乙投壶n次时得分为8分的概率为P(n)，根据独立事件概率公式可得

n−82P(n)=C2n32n−8138−n，然后根据条件可得不等式组，进而即得；或结合条件可得n的值，分别计

算概率比较即得. 【小问1详解】 因为甲投入壶口概率为

11，投入壶耳概率为， 36111所以甲未投中的概率为1−−=，

362设事件A为甲投壶3次得分为3分，

1111113则P(A； A=+×××=)3543362【小问2详解】

设乙投壶n次时得分为8分的概率为P(n)，设投壶n次中投入壶口x次，投入壶耳y次，

3nx2n−8x+y==则，所以，

x+2y=8y=8−n2n−82则P(n)=Cn32n−8138−n，

2n−67−n2n−822n−818−n12n−62≥Cn+1CnP(n)≥P(n+1)3333所以，即， 2n−88−n2n−109−n≥−PnPn1()()112n−822n−102≥CCn−1n33338n2−53n+47≥0整理得2，结合n∈N*可得n=6，

8n−69n+108≤0所以乙投壶6次时，得分为8分的概率最大．

法二：设乙投壶n次时得分为8分的概率为P(n)，设投壶n次中投入壶口x次，投入壶耳y次，

nx2n−8x+y==则，所以，

288xyyn+==−由x=2n−8≥0可得4≤n≤8且n∈N*，

80yn=−≥所以n=4，5，6，7，8．

n−82因为P(n)=C2n32n−8138−n，

181； 当n=4时，P==(4)8334401080221； 当n=5时，P(5===)C5583333212402160； 当n=6时，P===(6)C683333464223214481344； 当n=7时，P(7==)C⋅=78333367625682； 当n=8时，P(8)C==8833所以当n=6时，P(n)取得最大值，即乙投壶6次时，得分为8分的概率最大．

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