中国古代数学对世界影响

中国古代数学对世界的影响

中国有悠久而光辉的历史，在科学领域曾创造过高度文明，对人类作出过巨大贡献，许多发明对于世界历史都产生过深远影响。数学作为自然科学的基础是人们理解自然的有力武器，数学的发展对科技进步具有巨大推动作用。我国数学是自己创造独立发展的，在世界数学史上有独特的成就和贡献

一、 十进位制记数法和二进制记数法

马克思称十进制记数法是“最妙的发明之一”。中国是最早的采用十进制记数法的国家。早在殷代之前，我国就开始用十进制进行记数。据考证，大约在十八世纪至五世纪，我国已经开始用“算筹”开始记数。算筹不仅采用十进制，而且严格按位置分别表示不同单位，魏晋数学家刘徽在公元260年左右还创造了十进小数。他说“……凡开积为方，……求其微数，微数无名者，以其为分子，其一退以十为（分）母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细……。” 我国常见的“八卦图”是世界上最早的一种二进制记数法，八卦组合与今天电子计算机所采用的二进制意义完全相同。

二、分数

我国的古代数学很早便应用了分数。早在殷代，我们的祖先就已经知道一年的日数是365 1/4天。《左传》中讲到国王给诸侯封地的规定时说：“大不过三国之一，中五之一，小九之一。”《淮南子·天文训》即载：“一月二十九日九百四十分之四百九十九。”从中可以看出，当时我国已经运用带分数除法。

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《周髀算经》之中使用了相当复杂的分数算法。在《九章算术》的“方田”章中也详细介绍了分数的四则算法。数学家刘徽对分数的基本性质从理论上做了明确阐述。他指出，分子、分母同乘或除以一个数时其值不变；他还发现了分数通分和分数除法的简便规律。

三、最古老的几何学《墨经》

在西方数学史中，一直把欧几里得的《几何原本》誉为世界上最古老而系统的几何学。的确，《几何原本》是历史上发行最广泛的几何教科书，但实际世界上最古老而系统的几何学仍出自中国。 在欧几里得之前1个多世纪，我国战国时期著名学者墨家创始人墨翟及其学生的著作《墨子》之中，即包含几何学系统理论。《墨子》共71篇，现存53篇，《墨经》是其中的重要部分，内容包括《经上》、《经下》、《经说上》、《经说下》、《大取》、《小取》6篇。《经上》、《经下》两篇记录了一系列几何学定义、原则和定理，《经说上》、《经说下》则给这些定义、定理做了解释和补充。如果与欧几里德的《几何原本》作对照，凡是《几何原本》上说到的，《墨经》几乎都涉及到了，而且其定义的确切、立论的精辟均不亚于《几何原本》。

四、勾股定理及其运用

勾股定理是平面几何中一个十分重要的定理。究竟是谁最早发现这个定理的呢？事实上，我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一。据史料记载，早在公元前22世纪末夏禹治水时已经用到了勾股术，可以说夏禹是世界上有历史记载的第一个与勾股定理有关的人。 《周髀算经》开宗明义第一章就记载着公元前十一世纪西周时周

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公与商高的对话，最早提出了勾股形问题。商高说：“以故折矩以为句广三、股脩四、经隅五。”即是说，如果直角三角形两直角边的长是3和4的话，那么它的斜边必定是5。这即是我们通常所说的“勾三股四弦五”关系。因此，有人也把勾股定理叫做“商高定理”。我们的祖先很早就知道利用相似直角三角形的性质进行测量。商高说：“偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。”实际上指的就是勾股定理的应用。

《周髀算经》还记载了公元前六七世纪荣方和陈子的对话。在这些对话中既包括了测量太阳高度的方法。用现代汉语进行表述，这段话是这样说的——夏至时, 测量者在北方立一8尺高的标杆，其日影长度正好是6尺。标杆每向南移动1000里，杆的自影就减少1寸，即是说日影每减少1寸就表示杆子向南移动了1000里。他们设想，当日影减少6尺，标杆就向南移动了60×1000=6000（里）,这时标杆即在太阳正下方。有相似原理可知，若勾为6万里、股为8万里，则测量者与太阳的距离即为10万里。尽管从物理学角度看是不对的、与实际不符，但从计算角度看其方法是正确的。

《周髀算经》对勾股定理并没有加以证明。到公元3世纪，三国时代吴国人赵爽才对勾股定理做了严格而巧妙的证明，即《勾股圆方程》。在现行初中数学课本中，勾股定理就是采用赵爽的这种方法证明的。

五、盈不足术

盈不足术,是我国古代劳动人民创造的解决数学盈亏类问题的一种杰

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出算法。这种算法也叫做“试位法”或“假设法”,其主要形式是给出两次假设。《九章算术》中专辟“盈不足”一章,共有20个问题。其第一个问题就是：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数物价各几何？”根据题术，书中还给出了用数学符号表示的一般公式：若每人出a1，盈（或不足）b1，每人出a2，盈（或不足）b2（其中，盈时，b1，b2>0,不足时，b1，b2<0）。设每人应出钱x,

人

数

m

，

物

价

为

n

，

则

有

：

x=a2b1+a1b2/b1-b2,m=b1+b2/a1-a2,n=a2b1+a1b2/a1-a2。

六、比例

由于物品交换需要，我国古代劳动人民创造了各种比例算法。《九章算术》中就有系统的比例记载，包括正比例、反比例、连比和比例分配。刘徽把不同类型的比例问题一律称为“今有术”，把比例中的四项分别称为“所有率” 、“所有数” 、“所求率”和“所求数”，并有以下关系——所有率：所有数=所求率：所求数，故有，所求数=所有数X所求率/所有率。在比例计算中,刘徽特别强调同类项使用相同的单位,并明确了比例的一些性质.

七、负数和正负术

我国是最早承认并运用负数的国家,《九章算术》中即记录了正、负数的相反意义,并给出了正负数的加、减法则,“即同命相出,异名相宜,正无入负之,负无入正之”.东汉天文学家刘宏编制《乾象历》时,将正负数计为强正和弱负.刘徽还对正负数给出了比较明确的定义——“今两算得失相反,要令正、负以明之”.他用红色算筹表示正

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数,用黑色算筹表示负数. 八、方程和方程术

方程,可以说是我国一个很古老的名词,最早即见于《九章算术》。不过，《九章算术》中的“方程”同现代数学中的方程并不是一个意思，那时说的方程是指包含多个未知量的联立一次方程组，即“线性方程组”。 《九章算术·方程章》专门讲述多元一次方程组的解法，这是世界上最早的。“方程”章中共有16个联立一次方程组问题，其中二元的6题，三元的6题，四元的和五元的各2题。它用算筹表示算式的各项系数，实际上它是世界上最早的“奋力系数法”例子。《九章算术》还给出了解联立一次方程组的普遍方法即“方程术”，又叫做“直除术”。它同现代数学中通用的加减消元法在理论上和步骤上都是一致的。 九、不定方程

提到方程，一般都是讲未知数的个数与方程的个数相等的情况，而为数的个数多于方程的个数这类方程的解是不定的，人们把它们叫做不定方程。《九章算术·方程章》中列举的“五家共井”问题就是典型的一例。原书给出了一组答案，这是世界上最早的不定方程组的解。在以后约公元5世纪成书的《张丘建算经》中的“百鸡”问题，不仅给出了不定方程解法，而且答案极其完善，在世界数学史上影响深远。 十、中国剩余定理

早在公元400年前后成书的《孙子算经》中就提出了著名的“孙子问题”——“今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数

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之二，问物几何？答曰：二十三。”如果用现代数字符号来表示就是：求一最小正整数N且满足一次同余式：N≡2(mod3),N≡3(mod5),N≡2(mod7)。孙子问题其实就是解上述同余式组，西方称之为“中国剩余定理”，是数论中的一个重要定理。祖冲之在《大明历》中求解过11个联立一次同余式问题，可惜只有答案而无推算过程`。13世纪南宋数学家秦九韶在《数学九章》中创立了“大衍求一术”，他用此法解联立一次同余式问题`，获得了十分完备的效果。

十一、求解高次数字方程

求解高次方程根近似值的方法是由我国首创的，该方法在世界上被誉为中国最有代表性的数学贡献。这种方法的精髓最早亦出现在《九章算术》的“少广”章中（开平方、开立方法）。隋唐数学家王孝通在其著作《缉古算经》中记录了用数字三次方程解决提及问题和勾股问题`，他用π=22/7、以三次方程形式求解《九章算术》中的方程问题。至宋代，开始讨论四次到九次数字方程。北宋数学家贾宪（约11世纪）不仅提出过x4=a形式的特殊方程，而且还发现了二次展开式系数的规律。他所创造的求高次幂整根的增乘开方法，比西方创造的同类方法糟了700多年。13世纪时，秦九韶提出的高次方程数值解法与英国数学家霍纳（W．G．Horner）的方法即霍纳法是完全一致的。秦九韶提出了`开方到无理根时用十进小数作无理根的近似值，这在世界数学史上是一个首创。其他数学家如李冶、杨辉、朱世杰等人对高次方程也都有深入研究，均取得过光辉成就、做出过重大贡献。

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十二、天元术和四元术

数学是用符号来说话的。数学符号是“数学王国”中统一规定的文字，用字母表示未知数，用符号表示代数式是代数学的基本条件。我国的天元术就是符号代数最早的应用。

天元术，是我国古代建立数学高次方程的方法，大约产生于12世纪。最早对天元术进行系统论述的是我国金元数学家李冶。他在著作《测圆海镜》和《益古演段》二书中对天元术做了进一步发展。李冶的天元术和现代列方程的方法极为类似。首先是“立天元一位未知数”，其次根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，然后相减即可得一个一端为零的方程。其表示法很简单，是在一次项旁记一个“元”字，或在常数旁记一个“太”字，其他项的幂次视与“太”或“元”的相对位置而定。李冶的天元术比欧洲16世纪类似的符号代数大约早了300多年。

元代数学家朱世杰在秦九韶、李冶创立的一元高次方程的数值解法和天元术的基础上，又进一步发明了“四元术”，创造了用消元法解二、三、四元高次方程组的方法。朱世杰的著作《四元玉鉴》是我国古代水平最高的数学著作，对数学有多方面的重大贡献。他在解四元高次方程中用天、地、人物这四元表示四个未知数，其排列方法规定：太极放在中央，天元在太的下方，地元在太的左方，人元在太的右方，物元在太的上方。

十三、高阶等差数列

魏晋南北朝时期我国就有了求等差数列前几项和的公式。北宋科

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学家沈括提出了“隙积术”。南宋数学家杨辉解决了“垛积”问题，在二阶等差级数求和方面有突出贡献。朱世杰则在前人的基础上创造了研究高阶等差级数有限项求和问题的普遍方法——“招差术”，用这种方法给出了三阶等差数列求和的公式。朱世杰的招差公式和现代的“牛顿公式”完全一致，但是牛顿的成果却比朱世杰晚了300多年。

十四、杨辉三角

我国南宋数学家杨辉，在其名著《详解九章算术》12卷中保留了一张十分珍贵的图形——“开方作法本源”图。杨辉在自注中说该图“出《释锁算术》，贾宪用此术”。这说明，在杨辉之前已经有一些数学家采用该法来研究开方术，其中贾宪最为突出。该图叫做“杨辉三角”，也有人叫做“贾宪三角”。杨辉在他的数学著作中，详细介绍了贾宪三角的构造和用法，这是世界上最早的一个指数为正数的二项式定理系数表。

十五、圆周率

我国秦以就有“周三而径一”的说法。《周髀算经》中即有“圆径一而周三”，“三乘径而周”的记载。因而后人称“3”为古率。 《九章算术》中虽仍用“3”做圆周率，但已发现其不合理，因而在同时代的史料中已有“圆径一而周三有余”的记载。

西汉天文学家刘歆在议订度量衡新标准时，根据量器的铭文计算，他所用的圆周率为3.1547，世称刘歆率。

东汉科学家张衡求得的二分率分别为92/29和√10.东汉末年著名学者蔡邕在《史记·王帝》中也有记载“玉衡直径八寸，圆周二

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尺五寸”，其所用圆周率为3.125。王藩在其著作中也曾有过“周百四十二，径四十五”记载，即圆周率约为3.15。

魏晋数学家刘徽建立了“割圆术”在此基础上创造了求圆周率近似值的科学程序，求出157/50和3927/250两个近似值，所以有徽率为3.14之说。南北朝时代科学家祖冲之推算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间。祖冲之的圆周率在世界上大体保持了1000多年的最好记录。

十六、祖冲之父子的祖氏原理

等积原理，是指“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截的面积总是相等，那么这两个几何体的体积则相等”。这一原理是计算一些复杂几何体体积的一个重要理论依据，其最早发现者是我国5世纪时数学家祖冲之和祖暅之父子。在求球体积时他们指出：“幂势既同，则体不容异”。其意思是指：形状不同的物体，只要它们在任意等高处的截面积相等，则它们的体积就不能不相等。这个原理，西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列里重新发现，比祖冲之父子迟了1100多年。我国现行高中数学课本将该原理称为“祖暅原理”，亦称“祖氏原理”。 十七、珠算

珠算是一种很有实用价值的传统数学计算方法，我国是现代意义上的珠算故乡。早在公元190年左右成书的《数术记遗》一书中就有用滚珠在盘上计算的记载，但当时珠不穿档，并非元朝以后的珠算盘。公元570年左右，北周数学家甄鸾在上述一书的注释中描述说：“每

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位有五颗可移动的珠，上一颗珠当五，下四颗珠各当一。”现存算盘图式始见于《魁本对相四言》。

至14世纪，珠算在我国已广泛应用并传到了日本，至今山田市还保存着一个与我国现代珠算形式相仿的算盘，其盖板反面标有“文安元子年”字样。在15世纪中期成书的《鲁班木经》中已有制造算盘的详细介绍。在流传下来的数学专著中，以明朝柯尚迁于1578年所著《数学通轨》的记载为最早。其中不但有珠算口诀，还有一个13档的算盘图，上二珠，下五珠，中间用木制横杆隔开，与现在通行的算盘完全相同。至于珠算术，则以明代吴敬1450年所著《九章详注比类算法大全》的记载为最早。

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