2021年高考数学一轮温习第十八单元圆锥曲线单元B卷文

第十八单元 圆锥曲线

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条

形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．抛物线yax2的准线方程是y2，则a（ ）

A．18

B．18

C．8

D．– 8

．已知点M(3,0)，椭圆x224y21与直线yk(x3)交于点A、B，则△ABM的周长

为（ ） A．4

B．8

C．12

D．16

22223．当5m6时，曲线x10my6m1与曲线x5my9m1的（ ）

A．焦距相等

B．离心率相等

C．焦点相同

D．渐近线相同

4．与双曲线

x2y29161有一路渐近线，且通过点3,23的双曲线的虚轴的长为（ ） A．2 B．3

C．2

D．4

5．已知两圆C(x4)2y2169，C221：2：(x4)y9，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，

则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）

A．

x264y2481 B．

x2y21 C．

x2y248641 D．

x2486464y2481

6．设FFx2y2x21、2为曲线C1：621的核心，P是曲线C2：3y21与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为（ ） A．

14 B．1 C．2 D．22 7．已知椭圆的中心在原点，x轴上的一个核心F与短轴的两个端点B1，B2的连线彼此垂直，且这

个焦点与较近的长轴的一个端点A的距离为105，则这个椭圆的方程为（ ）

2．x25y2A101

B．x210y51

x2y2x2y2x2y2C．1051 D．1051或5101

8．若以双曲线x2y2a2b21(a0,b0)的左核心为圆心，以左核心到右极点的距离为半径

的圆的方程为x2y24x50，则该双曲线的方程为（ ）

x2y22A．1

B．x34y2．x2y231

C31

D．x2y241

9．已知抛物线y22pxp0上有一点M(4,y)，它到核心F的距离为5，则△OFM的 面积(O为原点)为（ ）

A．1

B．2 C．2

D．22 10．已知F为椭圆C的一个核心，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且BF2FD，则椭圆的离心率为（ ）

A．133

B．3 C．3 D．32 11．已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A．251

B．252

C．171 D．172

12．设直线l：2xy20与椭圆x2y241的交点为A、B，点P是椭圆上的动点，则使△PAB

面积为A．1

1的点P的个数为（ ） 3B．2

C．3

D．4

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

18．（12分）如图，过抛物线y22px(p0)的核心F作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两413．已知过双曲线x2ay20

2b21(a0,b0)右核心且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两

点，A点在x轴的上方，求

AF个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．

FB的值．

x2y214．椭圆941的核心为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标

的取值范围是 ．

15．若椭圆x2y2ab1的核心在x轴上，过点1,1222作圆x2y21的切线，切点别离为A、B，直

线AB恰好通过椭圆的右焦点和上极点，则椭圆方程是 ．

16．抛物线y2x2上两点A(x11,y1)、B(x2,y2)关于直线yxm对称，且x1x22，

则m等于 ．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤）

17．（10分）（1）已知点A，B的坐标为1,0，1,0，直线PA，BP相交于点P，且它们的斜率

之积是1 9，求动点的轨迹方程；

（2）已知定点F的坐标为0,2，P为动点，若以线段PF为直径的圆恒与x轴相切，求动点P的 轨迹方程．

19．（12分）已知双曲线的中心在原点，核心在x轴上，双曲线的两个极点和虚轴的一个端点组成的三角形为等腰直角三角形，且双曲线过点P(4,10)； （1）求双曲线的方程；

（2）设F1，F2为双曲线的核心，若点M(3,m)在双曲线上，求证MF1MF20．

．（12分）如图，过椭圆x2y220a2b21(ab0)的左核心F1作x轴的垂线交椭圆于点P，点A和点

B别离为椭圆的右极点和上极点，OP∥AB．

（1）求椭圆的离心率e；

（2）过右核心F2作一条弦QR，使QRAB，若△F1QR的面积为203，求椭圆的方程．

12分）已知椭圆x221．（y22a2b21(ab0)的离心率为2，右核心F到上极点的距离为2，

点C(m,0)是线段OF上的一个动点； （1）求椭圆的方程；

（2）是不是存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得(CACB)BA， 并说明理由．

22．（12分）已知椭圆x2y22a2b21(a0,b0)的一个核心与抛物线y43x的焦点F重合，

且椭圆短轴的两个端点与F组成正三角形． （1）求椭圆的方程；

（2）若过点(1,0)的直线l与椭圆交与不同两点P、Q，试问在x轴上是不是存在定点E(m,0)， 使PEQE恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）

第十八单元 圆锥曲线

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B

【解析】抛物线yax2化为标准方程为x21ay，准线方程是y14a， ∴14a2，∴a18，故选B．

2．【答案】B

【解析】椭圆的核心为M(3,0)，M(3,0)，直线yk(x3)过M(3,0)， ∴△ABM的周长为4a8，故选B． 3．【答案】A

6时，曲线x2y2【解析】当5m10m6m1为核心在x轴上的椭圆，

∴c210m(6m)4，曲线

x25my29m1为核心在y轴上的双曲线， ∴c29mm54，∴焦距相等，故选A． 4．【答案】D

【解析】因为与双曲线

x29y2161有一路渐近线， 可设所求双曲线的方程为

x29y216，把点(3,23)代入得14

， 2222∴双曲线的方程为

xy91614，整理得x9y41，

4∴b24，b2，虚轴的长为4，故选D． 5．【答案】D

【解析】设动圆M的半径为r，则MC113r，MC23r，∴MC1MC216， ∴M的轨迹是以C1、C2为核心的椭圆，且2a16，2c8，

∴动圆圆心M的轨迹方程为

x2y264481，故选D．

6．【答案】C

x2y2【解析】不妨设P为第一象限的点，由162，解得y2，∵Fx221F22c4，

3y21∴△PF1F2的面积为

124222，故选C． 7．【答案】C

由题意可知，椭圆的标准方程为x2y2【解析】a2b21(ab0)，

由椭圆的对称性知，B1FB2F，又B1FB2F，

∴△B1FB2为等腰直角三角形，故OB1OF，即bc，∵FA105，

∴ac105，联立bcac105，解得a10，b5，∴椭圆的方程为x2y21，

a2b2c2105故选C． 8．【答案】C

【解析】圆x2y24x50即为，(x2)2y232，∴圆心为F(2,0)，半径r3， 由题设知，F(2,0)为双曲线的左核心，∴c2，又左焦点到右极点的距离为圆的半径，

∴ac3，则a1，∴b23，则该双曲线的方程为x2y231，故选C．

9．【答案】C

【解析】抛物线的准线方程为xp2，由于M(4,y)到核心F的距离为5，故有4p25， ∴p2，OF1，抛物线的方程为y24x，则M(4,4)，∴S△OFM2，故选C． 10．【答案】B

【解析】不妨设椭圆C的核心在x轴上，标准方程为x2y2a2b21(ab0)，

如图，则B(0,b)，F(c,0)，设D(x0,y0)，则BF(c,b)，FD(x0c,y0)， ∵BF2FD，∴c2(x0c)x03c2b2y，即，∵点D(x0,y0)在椭圆上， 0y0b2223cb∴22c21c3a2b21，即a23c2，a23，∴ea3，故选B．

11．【答案】C

【解析】由题设知，抛物线的核心为F(1,0)，由抛物线的概念得，点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和为：PQdPQPF，又x2(y4)21的圆心为M(0,4)， 结合图形知，PQPF的最小值为：PQPFminFMr171，故选C． 12．【答案】D

【解析】直线l通过椭圆的两个极点(1,0)和(0,2)，故AB5，要使△PAB的面积为13，

即

11225h3，则h35，联立y2xm与椭圆方程得8x24mxm240， 令0，解得m22，平移直线l到y2x22时与椭圆相切，

222它们与l的距离d25，均大于

35，∴知足条件的点P有4个，故选D．

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】(1,2)

【解析】渐近线的方程为ybax，∴batan45，

b2平方取得：a1，c2a22a21，e211，∴1e2．

14．【答案】35355,5

【解析】由题设知，a3，b2，∴c5，

以原点为圆心，c5为半径作圆，圆的方程为x2y25， 则F1F2为圆O的直径，当P在圆内时，F1PF2为钝角， x2y2由941消去y2得，x35， x2y255结合图形可知，3535355x355，即点P的横坐标的取值范围是,． 55

15．【答案】x25y241

【解析】当斜率存在时，设过点111,2的直线方程为：yk(x1)2，

按照直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离等于半径1可以取得，k34， 直线与圆方程的联立可以取得切点的坐标35,45；当斜率不存在时，直线方程为：x1，

按照两点A(1,0)，B35,45，可以取得直线：2xy20，

则与y轴的交点即为上极点坐标(2,0)，∴b2，与x轴的交点即为核心， ∴c1，则ab2c25，∴椭圆方程为x2y2541．

16．【答案】

32 【解析】 ∵ky2y1ABxx1，又y2212y12(x2x1)， ∴x2x1， 212由于x2x1,y2y1y2y1x2x122在直线yxm上，即22m，y2y1x2x12m，

∵y222(x212x21，y22x2，∴2(x2x1)x2x12m，即22x1)2x2x1x2x12m，

∵x1132x12，x1x22，∴2m3，m2．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤） 17．【答案】（1）x29y21x1；（2）x28y．

【解析】（1）设动点Px,y，因为直线PA，BP的斜率之积是19，

所以yx1yx119x1，整理得x29y21x1， 所以动点P的轨迹方程为x29y21x1．

（2）设动点Px,y，线段PF的中点为Mxy22,2，圆M与x轴相切于Q， 连接FQ，PQ，MQ，所以FQPQ，MQx轴， 因为MQ为直角三角形斜边上的中线，所以MQFQ2，

由y2x2y2222，化简得x28y，所以动点P的轨迹方程为x28y．

18．【答案】322．

【解析】过点A,B别离作AA1，BB1垂直于x轴，垂足分别为A1，B1，

∵直线AB的倾斜角为4，且过核心F(p2,0)，

∴直线AB的方程为yxp2； y22px联立p得，y22py2yxp0，

2解得，y(12)p，

∵A点在x轴的上方，∴yA(12)p，yB(12)p， ∵△AFAAFyA1△BFB1，∴

FBAA1BB(12)p1yB(21)p322．

19．【答案】（1）x26y261；（2）观点析． x2y2【解析】（1）设双曲线的方程为a2b21(a0,b0)，

∵双曲线的两个极点和虚轴的一个端点组成的三角形为等腰直角三角形，∴ab， 又双曲线过点P(4,10)，∴

16a210b21， ∴a2b26，则双曲线的方程为x226y61； （2）由（1）知，c23，∴F1(23,0)，F2(23,0)， ∵M(3,m)，∴kmmMF1323，kMF2323，

∴kmmm2MF1kMF23233233；

∵点M(3,m)在双曲线上，∴9m2661，则m23， ∴kMF1kMF21，则MF1MF2，∴MF1MF20．

（1）22；（2）x250y220．【答案】251．

c,0)，∴Pc,b2【解析】（1）∵F1(，∵OP∥AB，∴akOPkAB， b2∴acba，解得bc，∴a2c，故e22．

（2）由（1）知椭圆方程可化简为x22y22b2．① 易求直线QR的斜率为2，

故可设直线QR的方程为：y2(xb)．② 由①②消去y得5x28bx2b20． ∴x8b2b21x25，x1x25．

于是△F1QR的面积Scy1y22cx21x22b(x1x2)4x1x2

2b(8b222b4325)455b203，∴b5．

x22y250，即x250y2因此椭圆的方程为251

x221．【答案】（1）2y21；（2）当0m12时，km12m，即存在这样的直线l，当

12m1时，k不存在，即不存在这样的直线l． 【解析】（1）由题意可知ca22，又b2c2a2； b2c22a2，bc1，∴椭圆的方程为x2解得，2y21；

（2）由（1）得F(1,0)，∴0m1；

假设存在知足题意的直线l，设l的方程为yk(x1)，

x22y2由1得，2k21x24k2x2k220； yk(x1)设Ax，则x4k22k221,y1，Bx2,y21x22k21，x1x22k21，

y2k1y2kx1x222k21， CACBx,y4k22k1m1x2m,y22k212m,2k21；



∵(CACB)BA，而AB的方向向量为(1,k)， 4k22k∴22m2k0(12m)k2m， 2k12k1331,直线l与椭圆交于点P、， Q1,22当0m时，k12mm(x1)； ，即存在这样的直线l，方程为y12m12m由E(939173QE,，,0)可得，PE8,2， 828当

1m1时，k不存在，即不存在这样的直线l． 2939333,∴PEQE88,264， 2综上所述当E(x2173321733． ,0)时，PEQE为定值

22．【答案】（1）4y1；（2）当E(8,0)时，PEQE为定值64． 【解析】（1）由题意知抛物线的核心F(3,0)，∴c3，

又椭圆短轴的两个端点与F组成正三角形，∴b1，a2，

所以椭圆的方程为x24y21； （2）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：yk(x1)， x2y21，消去y并整理得(4k21)x28k2x4k240，4 yk(x1)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

xx8k24k24124k21，x1x24k21，PEmx1,y1，QEmx2,y2，

∴PEQEmx1mx2y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2

m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21) m2m(x1x2)x1x2k2[x1x2(x1x2)1]

m2m8k24k2424k248k24k214k21k4k214k211 (4m28m1)k2(m24)4k21； 若PEQE为定值，则4m28m1m241741，解得m8， 此时，PEQE为定值

3364； 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x1，

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