实验一MATLAB系统的传递函数和状态空间表达式的转换之欧阳家百创编

实验一 MATLAB系统的传递函数和状态空间表达式的转换

一、

欧阳家百（2021.03.07）

二、 实验目的

1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法；

2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法； 3、掌握相应的MATLAB函数。

三、

实验原理

设系统的模型如式（1.1）所示：

x'AxBuyCxD xR'' uR’’’ yRP (1.1)

其中A为nXn维系统矩阵、B为nXm维输入矩阵、C为pXn维输出矩阵，D为直接传递函数。系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式（1.2）所示

G(s)=num(s)/den(s)=C (SI-A)-1 B+D (1.2)

式（1.2）中，num(s)表示传递函数的分子阵，其维数是pXm，den(s)表示传递函数的按s降幂排列的分母。

表示状态空间模型和传递函数的MATLAB函数如下： 函数ss（state space的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是:

欧阳索引创编 2021.02.02

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sys=ss(A,B,C,D)

函数tf（transfer function的首字母）给出了传递函数，其一般形式是:

G=tf(num，den)

其中num表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den表示传递函数中分母多项式的系数向量。

函数tf2ss给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是:

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

函数ss2tf给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是:

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

其中对于多输入系统，必须确定iu的值。例如，若系统有三个输入u1，u2，u3，则iu必须是1、2、或3，其中1表示u1,2表示u2，3表示u3。该函数的结果是第iu个输入到所有输出的传递函数。

三.实验步骤及结果

1、应用MATLAB对下列系统编程，求系统的A、B、C、D阵，然后验证传递函数是相同的。

2s1s^25s3G(s)=s3+4s2+5s+1

程序和运行结果： num=[0 0 2 1;0 1 5 3];

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den=[1 4 5 1];

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A = -4 -5 -1

1 0 0 0 1 0 B =1

0 0

C =0 2 1 1 5 3 D =0

0

A=[-4 -5 -1;1 0 0;0 1 0]; A=[-4 -5 -1;1 0 0;0 1 0]; B=[1;0;0]; C=[0 2 1;1 5 3]; D=[0;0];

[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1) num1 = 0 0.0000 2.0000 1.0000

0 1.0000 5.0000 3.0000 den1 =1.0000 4.0000 5.0000 1.0000

2、给定系统G(s)=

s^24s5s^36s^211s6，求系统的零极

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点增益模型和状态空间模型

程序和运行结果： num=[0 1 4 5];

den=[1 6 11 6]; sys=tf(num,den) Transfer function: s^2 + 4 s + 5 ---------------------- s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6 >> sys1=tf2zp(num,den) sys1 = -2.0000 + 1.0000i -2.0000 - 1.0000i >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A =6 -11 -6

1 0 0 0 1 0 B =1 0 0

C =1 4 5 D =0

实验2 状态空间模型系统仿真及状态方程求解

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欧阳索引创编 2021.02.02 一、实验目的

1、熟悉线性定常离散与连续系统的状态空间控制模型的输入

方法；

2、熟悉系统模型之间的转换功能；

3、利用MATLAB对线性定常系统进行动态分析。 二、实验原理

函数step(sys)给出了系统的单位阶跃响应曲线，其中的sys表示贮存在计算机内的状态空间模型，它可以由函数sys=ss(A,B,C,D)得到。

函数impulse(sys)给出了系统的单位脉冲响应曲线。 函数[y,T,x]=Isim(sys,u,t,x0)给出了一个状态空间模型对任意输入的响应，x0是初始状态。

函数c2d将连续系统状态空间描述转化为离散系统状态空间形式，其一般形式为：[G,H]=c2d(A,B,T)，其中的T是离散化模型的采样周期。

函数d2c将离散系统状态空间描述转化为连续系统状态空间描述，其一般形式为：sysc=d2c(sysd,Method)，其中的Method默认值为‘zoh’方法，即带零阶保持器的z变换。

函数dstep(G,H,C,D)给出了离散系统的单位阶跃响应曲线。

三、实验步骤及结果

程序和运行结果：

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T=0.5s时 T=1s时 T=2s时

A=[0 1 0;-2 -3 0;-1 1 -3]; B=[0;0;1]; C=[1 1 1]; D=1;

[G1 H1]=c2d(A,B,0.5) G1 =0.8452 0.2387 0 -0.4773 0.1292 0 -0.3326 0.0508 0.2231

H1 = 0

0 0.2590

>> dstep(G1,H1,C,D,1) >> dstep(G1,H1,C,D,1) >> [G2 H2]=c2d(A,B,1) G2 =0.6004 0.2325 0 -0.4651 -0.0972 0 -0.3795 -0.0614 0.0498H2 =0

0 0.3167

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>> dstep(G2,H2,C,D,1)

>> [G3 H3]=c2d(A,B,2) [G3 H3]=c2d(A,B,2) G3 =0.2524 0.1170 0

-0.2340 -0.0987 0 -0.2182 -0.0853 0.0025

H3 =0

0 0.3325

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>> dstep(G3,H3,C,D,1)

程序和运行结果：

Z域仿真图形： 连续域仿真图形： 程序：

G=[0 1;-0.16 1]; H=[1;1]; C=[1 1]; D=0; u=1;

dstep(G,H,C,D,u) sysd=ss(G,H,C,D,0.05)

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a = x1 x2 x1 0 1 x2 -0.16 1 b = u1 x1 1 x2 1 c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0

Sampling time: 0.05 Discrete-time model. >> sysc=d2c(sysd,'zoh')a = x1 x2 x1 -41.43 46.21 x2 -7.394 4.779 b = u1 x1 16.34 x2 21.12 c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0

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Continuous-time model. >> step(sysc);

实验3 能控能观判据及稳定性判据

一、实验目的

1、利用MATLAB分析线性定常及离散系统的可控性与可观性；

2、利用MATLAB判断系统的稳定性。 二、实验原理

给定系统状态空间描述[A,B,C,D]，函数ctrb(A,B)计算能控性判别矩阵；

函数obsv(A,C)计算能观测性判别矩阵；

函数P=lyap(A,Q)求解李雅普诺夫方程ATP+PA=-Q，Q为正定对称矩阵；

函数[D p]=chol(P)可用于判断P矩阵是否正定,p=0,矩阵正定，p为其它值，矩阵非正定。 三、实验步骤及结果 1）（2）

A=[1 0 0 0;2 -3 0 0;1 0 -2 0;4 -1 -2 -4]; B=[0;0;1;2]; C=[3 0 1 0]; Qc=ctrb(A,B) Qc =0 0 0 0

0 0 0 0

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1 -2 4 -8 2 -10 44 -184 >> rank(Qc)

ans =2

>> rank(obsv(A,C)) ans =2

能控性判别矩阵Qc和能观性判别矩阵都不满秩，故系统既不能控，也不能观。

（3） A=[1 0 0 0;2 -3 0 0;1 0 -2 0;4 -1 -2 -4];

B=[0;0;1;2]; C=[3 0 1 0]; D=[0];

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1); Flagz=0; n=length(A); for i=1:n if real(p(i))>0 Flagz=1; end end

>> disp('系统的零极点模型为');z,p,k 系统的零极点模型为 z = 1.0000

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-4.0000 -3.0000 p =-4 -3 -2 1 k =1.0000 >> if Flagz==1

disp('系统不稳定'); else disp('系统是稳定的'); end

系统不稳定 >> step(A,B,C,D); 时间响应曲线为：

实验4 状态反馈及状态观测器的设计

一、实验目的

1、熟悉状态反馈矩阵的求法； 2、熟悉状态观测器设计方法。 二、实验原理

MATLAB软件提供了两个函数acker和place来确定极点配置状态反馈控制器的增益矩阵K，函数acker是基于求解极点配置问题的艾克曼公式，它只能应用到单输入系统，

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要配置的闭环极点中可以包括多重极点。函数place用于多输入系统，但配置极点不可以包括多重极点。

函数acker和place的一般形式是： K=acker(A,B,P) K=place(A,B,P)

其中的P是一个向量，P=[1,2,...n],1,2,...n是n个期望的闭环极点。得到了所要求得反馈增益矩阵后，可以用命令eig(A-B*K)来检验闭环极点。

由状态反馈极点配置和观测器设计问题直接的对偶关系，观测器设计是状态反馈设计的转置，可以用H=(acker(A’,C’,V’))’来确定一般系统的观测器矩阵，用命令eig(estim(sysold,H))来检验极点配置。 三、实验步骤及结果 step(A,B,C,D); num=[0 0 1]; den=[1 3 2];

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A =-3 -2 1 0 B =1 0 C = 0 1 D = 0

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2、配置后系统的时间响应曲线为： A=[-3 -2;1 0]; B=[1;0]; C=[0 1]; D=0;

P=[-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1)]; K=acker(A,B,P) K = -1 0

>> disp('极点配置后的闭环系统为') 极点配置后的闭环系统为 >> sysnew=ss(A-B*K,B,C,D) a = x1 x2 x1 -2 -2 x2 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 c = x1 x2 y1 0 1 d = u1 y1 0

Continuous-time model. >> step(sysnew)

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所以：K=[-1 0] A=[-3 -2;1 0]; B=[1;0]; C=[0 1]; D=0; V=[-3;-3];

sysold=ss(A,B,C,D); p=eig(A) p =-2 -1

Q=obsv(A,C); m=rank(Q); n=length(A); if m==n

H=acker(A',C',V')' else

disp('系统不是状态完全可观测')end H =-2 3

所以：H=[-2 3]

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