三角形培优训练题集锦

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.

2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

EA3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. F4、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtACE，B腰RtABD和等CDBADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系

及数量关系．

（1）如图①当ABC为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系； （2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

5、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC. 6、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。 7、如图，已知在△ABC内，BAC60，C400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 8、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，证：AC1800

BQPA0求

9、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 10、

C＞11、AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

12、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．

（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系

是；

（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，

断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 13、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

14、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，

DEA判

B分

CMDE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

15、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴

的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠

BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量

关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请

问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B E F D E F D B CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度M 16、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为数.

O 图①

P C A A 图③ BC,CA图② N C 于点E,F。 17、D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交

_B（1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。

_E_D _ M _ C_ A

_ FBDC1200，18、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN_ N的周长。

19、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，∠ABC120o，∠MBN60o，

∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），易证AECFEF．

当∠MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

20、已知:PA=2,PB=4,以

AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小. （图1） （图2） （图3） 21、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且

MDN60,BDC120,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、

MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．

图1图2图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时

Q； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论

还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用x、

L表示）．

22、如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。求证：①CF=CG.

23、如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，

B、C、EAE=BD;②

BN平分∠CBE。求证：MD=MN。

24、如图2-7-3，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC 25、如图2-7-4，△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为任一点，连结PB、PC。求证：PC-PB＜AC-AB。 26、如图2-7-5，从等腰Rt△ABC的直角顶点中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结求证：∠CDF=∠ADE。

27、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且⊥MN于E.

AD⊥MN于D，BE

AD上

C向DE。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

28、已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与B、C重合），斜边和∠ACM的平分线CF交于点F

（1）如图（1）当点E在BC边中点位置时 1)猜想AE与EF满足的数量关系是。

2)连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是

3)请证明你的上述猜想

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时：

此时ＡＥ和ＥＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由？

29、已知AC平分∠MAN，∠MAN=120o，

（1）在图（1）中，若∠ABC=∠ADC=90o，求证：AB+AD=AC。

（2）在图（2）中，若∠MAN=120o，∠ABC+∠ADC=180o，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？

30、如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线

a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN.

（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PMPN； （2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变.此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断

PMPN还成立吗？不必说明理由.

31、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC． （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论.

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE 和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

题图1

题图2

题图3

32、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、

h3，△ABC的高为h。“若点P在一边BC上（如图1），此时h3=0,可得结论h1+h2+h3＝h”

请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、

A A A h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证 33、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交ABD D E 于G，求证：AE＝BG． E P D E A F C B B C C AOB 和DO为边在线段M OP M M F 34、如图，点是线段AD的中点，分别以AD的同侧作等边三G B P E F C 角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC． （1）求∠AEB的大小；

（2）若ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大C E OCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重AEB的大小.

C B B E O 小不变，将Δ叠），求∠

D O A A D AD，35、如图，图1等腰ABC与等腰DEC共点于C，且BCAECD，连结BE、若BCAC、

ECDC．

⑴求证：BEAD；

⑵若将等腰DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么?（请你用图2加以证明）

36、如图1，RtABC中，ABAC，点D、E是线段AC上两动点，且ADEC，APBD于

P，交BC于点Q，直线BD交直线QE于F.

⑴ 判断DEF的形状，并说明理由.

⑵ 如图2，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，判断DEF的形状，并说明理由.

37、如图1，在等腰直角ABC中，ACB90，O为AB的中点，P为AB上一动点，D在

BC上，且满足PCPD，DEAB于E.

⑴求证：PODE

⑵如图2，点D在BC的延长线上，其他条件不变，⑴中的结论是否成立？ ⑶在图3中画出当点P在BA延长线上的情况，并给出相应的证明； ⑷还有什么样的情况？在图4中画出图形，给出证明.

38、已知，如下图，∠BAC＝∠BCA,BD＝CD,CE＝AB,求证：AE＝2AD。

39、如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使

得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形。

40、如图，在△ABC中，点D、E在边BC上，∠CAE＝∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE.

(1) 当∠BAC=90°时，求证：BD=AC.

(2) 当∠BAC≠90°时，是否还有BD＝AC成立？

若成立，请说明理由；若不能，也说明理由。

B 41、已知：如图，△ABC中，ABC45°，CDABA 于D，BE平分ABC，且BEAC于

AG． E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点C E D （1）求证：BFAC；

1（2）求证：CEBF；

2DGBHFE（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．

C42、如图（1），一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图（2），当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，

FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图（3）所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

43、如图1，DEF的顶点D在ABC的边BC上（不与B、C重合），且BACEDF180，

ABDF，ACDE，点Q为EF的中点，直线DQ交直线AB于点P. 图3

（1）猜想BPD与FDB的关系，并加以证明；

图1 图2

（2）当DEF绕点D旋转，其他条件不变，⑴中的结论是否始终成立？若成立，请你写出真命题；若不成立请你在图2中画出相应的图形，并给出正确的结论（不需要证明）

44、如左图，RtABC中，C90，ACBC，一个直角三角板的直角顶点放在AB的中点O处，绕O点旋转，两直角边分别交AC于E，交BC于F. （1） 求证：OEOF，CEBF

（2） 如右图，将三角板继续旋转，两直角边分别交AC延长线于E，交BC延长线于

F.⑴中的结论是否正确？说明理由.

45、如图，线段AB，点P在AB的下方，

⑴若PAPB，在的AB上方作AAAP，且AAAP，作BBPB，且BBPB，连接AB，取AB的中点O，连接AOB，试判断AOB的形状并证明。

⑶ 若PA与PB不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。 46、⑴如图1，等腰直角AOB与等腰直角COD有公共顶点O，点C、O、B在同一条直线上，判断AC与BD的关系并加以证明. ⑵如图2，等腰直角AOB与等点C、O、COD有公共顶点O，同一条直线上.判断AC与BD并加以证明.

47、如图，AOB与COD中，

OAOB，OCOD，AOBCOD.AC与BD交于点P.

腰直角

B不在

的关系

⑴判断AC与BD的数量关系并加以证明. ⑵猜想CPB与AOB的关系并加以证明.

48、如图，在ABC中，BE是AC边上的中线，BF平

AC于F，APBF于P，分别交BE、BC于H、G。猜

分EBC交想HE与

CG的数量关系并证明.

49、如图1，锐角ABC中，ABAC，CD//AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得APQBAC. ⑴猜想线段AP与PQ的数量关系并证明；

⑵如图2，若将“锐角ABC”改为“钝角ABC”，其他条件不变，⑴中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若确，请你说明理由.

50、如图，ABC中，ABAC，

Q为CD//AB，P为边BC上一点，

不正

射线的点Q，并

CD上一点，且满足PQPA。请你在图中找出满足条件

探究APQ与BAC的关系.

51、如图所示，D在AC上，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，M是EC中点。 （1）探究：线段MD、MB的关系，并加以证明； （2）把△ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件变，画出相应的图形，上述结论是否成立？ （3）将△ADE绕点A逆时针旋转任意角度件不变，线段MD、MB的关系，并加以证明。

52、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE； （2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD并

后，其他条

不

G A D F G M B E C N 改

为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持变 53、 在△ABC中，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你判别并写出FE与FD之间的数量关系；并证明你的结论． 54、如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点

（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．请你经过观察、猜测线段FC、AE、EF之间是否存在一定的数量关系？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．

55、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点．过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明． 56、已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD（如图），若MN分别为AE、CD的中点． （1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小； 57、已知在△ABC中，BC=2AB,∠B=2∠C，求证：∠

A=90°．

58、如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF。

59、如图，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD。

60、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，M是CD的中点，分别平分∠DAB和∠CBA。

AC

求证：AM、BM

61、如图，在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB点，DE与CF交与M点，连接AM,求证：AM=AD。

62、（1）如图，B、C、E三点共线，且△ABC与△DCE是等边三角形，BD、AE分别交AC、DC于M、N点，且AE、BD交于P点，求∠APB的

（2）如果（1）题中的B、C、E三点不共线，其他条件不变，如上右图所示，求∠APB的度数。

的中

连接度数。

（3）如果（1）题中△ABC与△DCE都是等腰直角三角形时，其他条件不变，如下图所示，求∠APB的度数。 （4）如果△ACB与△DCE都是以α为顶角度数的等腰三角形时，其他条件不变，如上右图所示，求直线AE与直线BD夹角的度数。

63、在△ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右．侧．作△ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果BAC90°，则BCE度；

（2）设BAC，BCE．①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结

论．

64、正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，接OF，求OF的长．

65、（1）如图，在边长为2的菱形ABCD中，是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′C长度的（2）如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．

∠A=60°，M沿MN所在最小值。 BD的交点，垂足为F，连

66、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,AOB=COD=90．若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．

D D 图1图2 A A E 明是这样思考的：小要解决这

个问题，首先应想办法移动这些O O 分散C 的线段，构造一个三角形，再B B C 计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E,使得OE=CO,连接BE,可证△OBE≌△OAD,从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BCE的面积等于．

E 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：

G

如图3，已知△ABC,分别以AB、AC、BC为边向D 外作正方形

F ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID． A （1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、B FH、ID的长 C

度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为

三边长的三角形的面积等于．

H I

图3

67、已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的

对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F． (1)求证：BF∥AC；

(2)若AC边的中点为M，求证：DF2EM； (3)当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所

有与BE相等的线段，并证明你的结论．

68、在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针

旋转2得到线段PQ。

（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延

长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围。

69、已知：如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D。

求证：∠BAC=2∠DCB

70、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

且CE=CD，

71、、已知：如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE。求证：CE=DE.

72、如图，△ABC为等边三角形，且四边形ADFE的面积和△BFC的面积相等，求∠DFB的度数。

73、已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥AB，且AD=AB，

DBE⊥

DC，AF⊥AC，BE、AF交于点F。求证：CF是∠ACB的角平分线。 C74、如图，在ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，

BC的中点，DMEF于M．求证：FMEM．

AABED

为

75、如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理76、（1）已知：P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，求∠APB的度数。

FMEFCF平由．

BDCPC=3，

（2）已知：P为等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数。

（3）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，求△BEQ周长的最小值。

（4）如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、若△ABE是等边三角形，求

的值。

BE，

77、如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB，BC，CA上的点，

DEF=∠B（1）求证：△BDE≌△CEF；（2）若∠A=40°，求∠EDF的度

BD=CE，∠数．

78、如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形内一为斜边作直角三角形BCE，又以BE为直角边作等腰直角EBF，且∠EBF=90°，连结AF。 （1）求证：AF=CE； （2）求证：AF∥EB； （3）若AB=53，BFCE63点，以BC三角形

A ，求点E到BC的距离。

E D

F C 79、（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠B AOB=∠COD=60°，

求证：①AC=BD；②∠APB=60度；

（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 _________ ；∠APB的大小为 _________ ；

（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k?OB，OC=k?OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 _________ ；∠APB的大小为

80、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，B、C、G三点在一条直线上，且边长分别为2和3，在BG上截取GP＝2，连结AP、PF. （1）观察猜想AP与PF之间的大小关系，并说（2）图中是否存在通过旋转、平移、反射等变相重合的两个三角形？若存在，请说明变换过存在，请说明理由.

A2BCPED3F明理由. 换能够互程；若不

G（3）若把这个图形沿着PA、PF剪成三块，请你把它们拼成一个大正方形，在原图上画出示意图，并请求出这个大正方形的面积.

81、如图，△ABC与△ADE都是等边三角形，连结BD、CE交点记为点F． （1）BD与CE相等吗？请说明理由．

（2）你能求出BD与CE的夹角∠BFC的度数吗？ ADEF（3）若将已知条件改为：四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，连结BE、DG交

G点记为点M（如图）．请直接写出线段BE和DG之间的关系？ BBAME82、正方形四边条边都相等，四个角都是90o．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

CDCF（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：

①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；

②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，说明理由；

（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：

①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；

②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD＝4，求△CFH的面积． 83、如图所示，在△ABC中，ADBC于点D，求B2C．ABBDACD． GGA证：

DF沿AE

FAD84、如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，求DE的长． MBCECHNMBECH85、已知：BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，

图 2图 1BPAC，点Q在CE上，CQAB，求证：⑴APAQ；⑵APAQ．

NDB86、如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且ACCE，F为AE的中点．求证：

BFFD．

87、（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG． 求证：EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

88、如图，已知ABDACD60，且

1ADB90BDC．

2A求证：ABC是等腰三角形．

89、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE=CF；

（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；

②DE=DN．

分∠BAD，交

BCD90、如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由. 91、园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有

BCDEGAF白色的间的所三角形少平方

的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多米？

92、如图，ABC中，ABBC，ABC90，D是AC上一点，且CDCBAB，DEAC交

AB于E点．求证：ADDEEB．

93、ABC中，B90，M为AB上一点，使得AMBC，N为BC上一点，使得CNBM，连AN、CM交于P点．试求APM的度数，并写出你的推理证明的过程．

94、如图，I是△ABC的内心，且CAAIBC．若BAC80，求ABC和AIB的大小． 95、如图1，在Rt△ACB中，AC=BC,点O是斜边AB的中点，，将一个直角的顶点放在点O处，两直角边分别交AC、BC于M、N （1）求证：CM+CN=AC

（2）如图2，若点M、N分别在AC、CB的延长线A它条件不变,问（1）中的结论还是否成立？说明理由。

图2 96、如图1在△ABC中，AB=AC,AC⊥AB,，过点C做AB的平行线m，取直线BC上一点P，连接AP，过P做AP的垂线，交直线m于点E，再过点P做BC的垂线，交直线AC于点F，

（1）如图1，点F在线段CA的延长线上时，求证：

（图MCNOB上，其

FCF﹣CE=AC ACPEm条线段

（2）如图2，点F在线段CA的上时，AC、CE、CF三1） 的数量关系？说明理由。

B（图2）

（3）如图3，点F在线段AC的延长线上时，AC、CE、CF三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。

（图APCFE⊥AF于点C，在

97、如图：在∠EAF的平分线上取点B做BC3） 直线AC上取一动点P,

B顺时针做∠PBQ=2∠ABC,另一边交AE于点Q, （1） 当点P在点A右侧时，求证：AQ+AP=2AC （2） 当点P在点A左侧时，AQ、AP、AC三条线段

的数量关系？说明理由。

98、如图1,在四边形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=CD,C=60°，DH⊥BC于点H,点E是BC上一点，连接AE,△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，射线EF交CD在直线于点M，

（1）若点M在CD边上时求证：FM-DM=CH （2）如图2若点M在CD边的延长线上时，FM、段有怎样的数量关系？ 说明理由。

99、（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线BE．

①求∠AEB的度数；

②写出线段AD，BE之间的数量关系并加以证明。 （2）拓展探究

BEH∠将所

ADMDM、CH三条线

MDBEAFHFC上，连接C如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=

，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．