圆锥曲线的综合问题-分题型整理

★知识梳理★

1.直线与圆锥曲线C的位置关系

将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2bxc0 （1）交点个数

①当 a=0或a≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式：

|AB|1k2|x2x1| 1k2(x1x2)24x1x2 2.对称问题：

曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上 3.求动点轨迹方程

①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法

②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法 ★重难点突破★

重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题

重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求 ②弦中点问题用“点差法”设而不求

2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用

x2y2问题1：已知点F1为椭圆1的左焦点，点A1,1，动点P在椭圆上，则PAPF1的最

95小值为

点拨：设F2为椭圆的右焦点，利用定义将PF用平面几何的知识解决。1转化为PF2，在结合图形，

PAPF16PAPF2，当P,A,F2共线时最小，最小值为62 ★热点考点题型探析★

考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题

[例1 ] 设抛物线y8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l

1

2的斜率的取值范围是（ ） A．

11. B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 22【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线y8x的准线x2与x轴的交点为Q (-2 , 0)， 于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线l的方程为yk(x2)，

2y28x,k2x2(4k28)x4k20. 联立yk(x2),其判别式为(4k8)16k64k640，可解得 1k1，应选C. 【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法

（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）

（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论 【新题导练】

221已知圆xymx2242110与抛物线yx2的准线相切，则m的值等于（ ）

44A．2 B．3 C．2 D．3 2.已知将圆xy8上的每一点的纵坐标压缩到原来的

221,对应的横坐标不变,得到曲线C；设2M2,1，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A、B两个不同点.

(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围.

3. 求过点0,1的直线，使它与抛物线y2x仅有一个交点.

2

2

题型2：与弦中点有关的问题

[例2]已知点A、B的坐标分别是1,0，1,0.直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.

(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;

1N(Ⅱ)若过点,1的直线l交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线l的方程. 2【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设M(x,y)， 因为kAMkBM2,所以yy2x1化简得:2x2y22x1 x1x1(Ⅱ) 设C(x1,y1),D(x2,y2) 当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x11616,则C(,),D(,),其中点不是N,不合题意 22222设直线l的方程为y1k(x)

将C(x1,y1),D(x2,y2)代入2xy2x1得

2212222x12y122…………(1) 2x2y22…………(2)

1(1)-(2)整理得:ky1y22(x1x2)21

x1x2(y1y2)2122直线l的方程为y111(x) 即所求直线l的方程为x2y30 2211616,则C(,),D(,), 22222解法二: 当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x其中点不是N,不合题意.

故设直线l的方程为y1k(x),将其代入2xy2x1化简得

2212kk(2k2)x22k(1)x(1)220

22k2k2224k(1)4(2k)[(1)2]022k2k(1)2x1x2(2)由韦达定理得22kk2(1)22x1x2(3)22k3

(1),

k1k(1)1,解得k, 又由已知N为线段CD的中点,得x1x222222k2将k1代入(1)式中可知满足条件. 此时直线l的方程为y111(x),即所求直线l的方程为x2y30 22【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】

x2y21. 椭圆1的弦被点P2,1所平分，求此弦所在直线的方程

164

x2y22. 已知直线y=－x+1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：

abx－2y=0上，求此椭圆的离心率

题型3：与弦长有关的问题

[例3]已知直线y2xk被抛物线x4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点． （1）求实数k的值；

（2）问点C位于抛物线弧AOB上何处时，△ABC面积最大？ 【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ABC 面积的最大值取得的条件

2 [解析]（1）将y2xk代入x4y得x28x4k0，

2 由△6416k0可知k4，

4

另一方面，弦长AB56416k20，解得k1；

（2）当k1时，直线为y2x1，要使得内接△ABC面积最大，

则只须使得yC12xC2， 4即xC4，即C位于（4，4）点处．

【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围 【新题导练】

x2y21. 已知椭圆C1:221(ab0)与直线xy10相交于两点A、B．

ab（1）当椭圆的半焦距c1，且a,b,c成等差数列时，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，求弦AB的长度|AB|；

2.已知点A3,0和BOB x 222yA 3,0，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直

线yx2交于D、E两点，求线段DE的长．

考点2：对称问题

题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）

x2y2[例4 ] 若直线l过圆xy4x2y0的圆心M交椭圆C:=1于A、B两点，若A、B9422关于点M对称，求直线L的方程．

[解析] M(2,1)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x24,y1y22

5

2222222yyx1y1x2y2xx122又1，1，两式相减得：10，

9494942化简得4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0， 把x1x24,y1y22代入得kABy1y2x1x28 9故所求的直线方程为y1(x2)，即x2y40 所以直线l的方程为 ：8x-9y+25=0. 【名师指引】要抓住对称包含的三个条件： (1)中点在对称轴上

(2)两个对称点的连线与轴垂直

(3)两点连线与曲线有两个交点(0),通过该不等式求范围 【新题导练】

21. 已知抛物线y2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.求证：点A、B关于x轴对称；

12

2在抛物线y4x上恒有两点关于直线ykx3对称，求k的取值范围.

22. 若抛物线yax1，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的范围.

2

考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型：求某些变量的范围或最值

6

x2y2 [例5]已知椭圆C1:221(ab0)与直线xy10相交于两点A、B．当椭圆的离心

ab率e满足32，且OAOB0（O为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． e32【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系

b2x2a2y2a2b2222222 [解析]由，得(ab)x2axa(1b)0

xy10由2ab(ab1)0，得a2b21

22222a2a2(1b2)此时x1x22 ,x1x2222abab

由OAOB0，得x1x2y1y20，∴2x1x2(x1x2)10

a2即ab2ab0，故b

2a2122222c2a2b2由e2，得b2a2a2e2 2aa2∴2a121 1e2由

33252得a，∴52a6 e4232

所以椭圆长轴长的取值范围为[5,6] 【名师指引】求范围和最值的方法：

几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 【新题导练】

1x2y21. 已知P是椭圆C：1的动点，点A(,0)关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为

2423，求点P的横坐标的取值范围。 2

7

22. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线yx上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴

的最短距离，并求此时点M的坐标．

3直线m：y=kx+1和双曲线xy1的左支交于A，B两点，直线l过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．

22x2y24已知椭圆，B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点， 1，A（4，0）

259求：（1）求

5.定长为3的线段AB的两个端点在y=x上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

25|PA||PB|的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值． 48

点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。 考点4 定点，定值的问题

题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量

x2y26[例6] 已知P、Q是椭圆C：1上的两个动点，M(1,)是椭圆上一定点，F是其左焦

422点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；

【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系

x2y2证明：设P(x1,y1),Q(x2,y2),由椭圆的标准方程为1知

42x122

|PF|(x12)y(x12)22x1.222212同理|OF|222 x2,|MF|2.

2222)4(x1x2),x1x22. 222|MF||PF||QF|,2(222x12y14,2222得(xx)2(yy)0， ①当x1x2时,由212122x22y24,从而有

y1y21xx21.

x1x22y1y2y1y21，

x1x22n设线段PQ的中点为N(1,n),由kPQ得线段PQ的中垂线方程为yn2n(x1).

1(2x1)ny0,该直线恒过一定点A(,0).

2②当x1x2时,P(1,6666),Q(1,),或Q(1,),P(1,). 2222A(,0). 线段PQ的中垂线是x轴，也过点A(,0),线段PQ的中垂线过点【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：

（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;

12129

（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）． 【新题导练】

1.已知抛物线C的方程为yx2mx2m1，则抛物线C恒过定点________________

222y2x22 试证明双曲线2－2=1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.

ba

3. 设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，C在抛物线上，且

BC//x轴。证明直线AC经过原点O。

考点5 曲线与方程

题型：用几种基本方法求方程

[例1]已知抛物线C：y4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程； 【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程 ［解析］由抛物线y4x,得焦点F1,0,准线l: x1

22(1)设Px,y，则B2x1,2y, 椭圆中心O',则FO'∶BF=e, 又设点B到l的距离为d,BF∶d=e,

∴FO'∶BF=BF∶d,即2x22y2x2x2, 化简得P点轨迹方程为yx1(x1) 222[名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化 【新题导练】

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x21.点P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是

4_____________.

y22. 过双曲线C:x1的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，OMOPOQ,求点

32M的轨迹方程．

x2y23 已知动点P与双曲线1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且

23cosF1PF2的最小

值为

1．求动点P的轨迹方程； 94.已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程.

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