变式教学与思维培养

边教　吾　◇　变式教学与思维培养　数学教学中的“变式”，是指对例　习题作多角度多层次的思考、多方面　的演变探究，使一道题变成一类题，　又由一类题变成多类题，让学生在不　同角度、不同层次、不同情形、不同背　景下重新认识。在数学教学中，恰当、　朱叶青　例如，在教学“已知圆的方程是　＋　ｒ２，求经过圆上一点Ｍ（ｘ。，Ｙｏ）的　切线方程”这一问题时，作如下变式：　变式１：已知点Ｍ（ｘ。，Ｙ。）是圆　。　内异于圆心的一点，则直　义，不仅加强了学生的计算能力，　也进一步培养了学生的类比、归　纳、抽象和概括能力。　二、探索例习题的非常规解　法，培养思维的批判性　教师应注意深挖细琢例习题，　线Ｘｃｘ＋ｙｏｙ－－－ｒ２与圆的交点个数是～　；　变式２：当点Ｍ（ｘ。，ｙｏ）在圆　＋　外时，直线ｘｃｘ＋ｙｏｙ＝ｒ２的几何　意义是什么？　合理的变式，有意识地引导学生从　“变”现象中发现“不变”的本质，探求　“不变”的规律，不仅能巩固知识，形　成技能，而且能完善学生的认知结　构，增强应变能力，提高学生发现问　题、解决问题的能力，培养学生灵活　多变的思维品质与创新意识。本文根　据自己的教学实践，谈谈如何在习题　课的变式教学中培养思维能力。　一、对例题、习题由表及里。　培养思维的深刻性　心理学研究表明，人的认识总　是由浅人深、由表及里、由具体到　抽象、由简单到复杂的。因此，我　们所设计的尝试学习问题必须遵循　人的认识规律，采取低起点、小步　子、多训练、快反馈的方法，使学　生认识活动划分为由易到难、由简　到繁的若干递进层次，使学生逐步　多次地获得成功，保护学生旺盛的　学习积极性，培养思维的深刻性。　例如，在教学“双曲线及其标　准方程”时，我设计了如下题组：　１．在ＡＡＢＣ中，已知其周长为　１８，Ｂ（－４，０），Ｃ（４，Ｏ），则顶点Ａ的　轨迹方程是　２．在△ＡＢＣ中，已知日（一　４，０），Ｃ（４，０），若ｆ　ｆＡＢ　ｆ—ｆ　ｃ　ｆ　ｆ＝８　时，则顶点Ａ的轨迹方程是——；　若Ｉ　ＩＡＢ　ｌ—ｌＡＣ　Ｉ　ｌ＝６时，则顶点Ａ　的轨迹方程是——。　３．在平面上，已知点ｅ（ｘ，ｙ），　（一ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０），｛Ｉ啊ｌ—Ｉ　　Ｉｌ　＝２ａ，若０＝ｃ时，则点Ｐ的轨迹方程　是——；若ａ＞ｃ时，则点Ｐ的轨　迹方程是——；若ｃｔ＜ｃ时，则点　Ｐ的轨迹方程是一一。　上面的题组中，从椭圆的定义　引入，同时通过计算，让学生由特　殊到一般类比归纳出双曲线的定　寻找机会展示自己的思维过程，提　出新假设、新论断，通过探求问题　的非常规解法，带给学生意外的惊　喜，以训练学生思维的批判性。　例如，求证：、ｖ／３＋、／７　、／５。　常规解法是：因为、／３＋、／７和　２Ｖ＇－５都是正数，所以，要证明、ｖ／３＋　、／７　、／５，只需要证明（、／３＋　、／７）２＜（２、／５）　，展开得１０＋２Ｎ／￣　＜２０，即、／２１　，２１＜２５．因为２１２＜５成　立，所以（、／３＋ｘ／７）２＜（２、／５）　，即　证明了、／３＋、／７也、／５。　很多学生对该解法只知其然，　不知其所以然，甚至在独立完成如　、／３一、／７　、／５时容易犯将该式　两边平方的错误，为了避免这种情　况，教师应引导学生用新方法，独　立地组织自己的思维进程，训练学　生的思维。　非常规解法是：　ｒ———　＝＝＝————————一　、／３＋、／７＝、／（、／３＋、ｖ／７）　ｒ———————　＝＝＝ｒ————————＝＝＝　＝Ｖ　１０＋２、／２１＜Ｖ　１０＋２、／２５　＝　＝２、／丁　学生惊喜之至，问题得到巧　解，既补充和延伸了课堂教学，消　除了学生的疑虑，排除了干扰，又　培养了学生的质疑精神、科学的批　判精神，我们何乐而不为？　三、引导学生对例习题进行探　究和猜想，培养思维的创造性　每个人都希望自己是一个发现　者、探索者。教师应该鼓励学生大胆　探究与猜想，深刻领悟新课程改革　精神，认真研究教学要求，以学生为　本，精心设计例习题，给学生一片自　主探索的天空，使学生的创新能力　得到培养，个性品质得到和谐发展。　一　变式３：当点Ｍ（ｘ。，Ｙ。）在圆　＋　，土　内（非圆心）时，直线ｘｃｘ＋　ｙｏｙ＝ｒｚ的几何意义是什么？　学生利用平面几何的知识，会　很快得到切线方程是ｘｏｘ＋ＹｏＹ　；　但对于变式１，比较多的学生受到　原题的影响，看到直线方程是ｘｏｘ＋　ｙｏｙ＝？，就想到直线与圆相切，于　是填上１；也有不少学生看到Ｍ（粕，　ｙｏ）是圆　。＋　＝ｒ２内的一点，于是断定　直线与圆必相交填上２，其实只须　利用直线与圆的位置关系的判断方　法即可得到公共点是０的标准答　案。对于变式２，引导学生探索：过　点　可作圆的两条切线ＰｌＭ，Ｐ．４１Ｉ／，　设切点为Ｐ，（　Ｙ－），Ｐ２（　Ｙｚ），则由　原来例题的结论，得切线ＪＤｌ　的方　程为ＸｌＸ＋ｙ　ｙ　，切线ｐ　的方程为　＋ｙ　，因点Ｍ（Ｘｏ，Ｔｏ）在直线　ＰＩ　，　上，所以，Ｘ１Ｘ，０＋ｙ　０　，　０＋　），２ｙｏ　，由此可得Ｐｌ，Ｐ２在直线ＸｏＸ＋　ｙｏｙ＝ｒ２上，而过两点的直线有且只有　一条，所以ｘｃｘ＋ｙｏｙ－－？＂竞为弦Ｐ１Ｐ２的　方程。对于变式３，可引导学生探　索：过点　作圆的动弦ＪＰ１Ｐ２，过ＰＩＰ２　作两切线，并相交于点Ｐ３（　Ｙ，），由变式２的结论可得动弦Ｐ　旯綦　的方程是ｘ３ｘ＋ｙ３ｙ－－ｒ２，又因点　（　。，　ｙｏ）在ＰＩ尸２上，则ｘ３ｘ０＋ｙ　，以　，Ｙ　分别代替　Ｙ，，则直线ｘｏｘ＋ｙｏｙ－－？竟　是以动弦ＰｌＰ２的两端Ｐｌ，Ｐ２为切点　的两切线的交点Ｐ的轨迹方程。　这样，通过对问题层层递进，　逐步挖掘、深化，不仅使学生产生　“有梯可上，步步登高”的成功感，　而且让学生始终处于愉快的探索状　态，学习积极性很高，思维很活　跃，数学技能得以提高。　（作者单位：广东化州市第一中学）　责任编辑邹韵文