知识点 1 三角形的中位线
1.一个三角形有 条中位线.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC的中点,则DE是△ABC的中位线,可得DE与AB的位置关系为 ,数量关系为 .
2.如图,在△ABC中,E是AB的中点,F是AC的中点,∠B=50°,则∠AEF= °.
3.如图所示,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,并分别延长到点
M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200 m,则A,B两点间的距离为 m.
4.在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,DE=3,AB与AC的和为10,则△ABC的周长为( ) A.13
B.16 C.23 D.26
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边AB,AC的中点. (1)若DE=4 cm,求BC的长; (2)若∠A=20°,求∠AED的度数.
知识点 2 三角形的中位线与平行四边形
6.如图,以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7.如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,AC=10,BC=14,求四边形DECF的周长.
8.如图,在△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,AE⊥CD,垂足为E,F是BC的中点,若BD=16,则EF的长为 ( )
A.32
B.16 C.8 D.4
9.如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为 ( )
A.15
B.18 C.21
D.24
( )
10.如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=7,CD=3,则EF的长是
A.4 B.3
C.2 D.1
11.如图,△ABC的中位线DE=5 cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A,F两点间的距离是8 cm,则△ABC的面积为 cm. 2
12.如图所示,已知△ABC的周长是20,面积是8,在图(1)中,A1,B1,C1分别是△ABC的边BC,CA,AB的中点,在图(2)中,A2,B2,C2分别是△A1B1C1的边B1C1,C1A1,A1B1的中点……按此规律,△A3B3C3的周长是 ;△A3B3C3的面积是 ;图(n)中平行四边形共有 个.
13.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P,M,N分别是BD,DC,AB的中点,∠ADB=80°,∠CBD=40°,求∠PMN的度数.
14.如图,已知E为平行四边形ABCD的边DC的延长线上一点,且CE=CD,连接AE,分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于点O,连接OF. 求证:AB=2OF.
15.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,AD⊥BD,D为垂足,E是AC的中点,连接DE.试说明:DE∥BC,DE=2(BC-AB).
1
答案
1.3 DE∥AB DE=2AB 2.50
3.100 解析： ∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△MNC的中位线,∴AB=2MN=100 m.
4.B 解析： ∵D,E分别是边AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=2×3=6.∵AB与AC的和为10,∴△ABC的周长=10+6=16.
5.解:(1)∵在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,
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∴DE是△ABC的中位线∴DE∥BC,DE=2BC. ∵DE=4 cm,∴BC=8 cm.
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,
(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,
∴∠B=∠C=80°.
∵DE∥BC,∴∠AED=∠C=80°.
6.C 解析： 因为E,F,G分别为△ABC的三边的中点,所以EF,FG,GE均为△ABC的中位线.由三角形中位线的性质,
有AE∥GF,BE∥GF,EG∥FC,所以四边形AEFG,四边形BEGF和四边形EGCF均为平行四边形,共有3个.故选C.
7.解:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,AC=10,BC=14,
∴DE=CF=2AC=5,DF=CE=2BC=7,
∴四边形DECF的周长=DE+CF+DF+CE=5+5+7+7=24.
8.C 解析： 在△ACD中,∵AD=AC,AE⊥CD,
11
∴E是CD的中点.
又∵F是BC的中点,
∴EF是△BCD的中位线, ∴EF=2BD. ∵BD=16,∴EF=8.
故选C.
9.A 解析： ∵▱ABCD的周长为36,∴BC+CD=2×36=18,OB=OD=2BD=2×12=6.
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∵E是CD的中点,∴OE=2BC,DE=2CD,
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=6+2BC+2CD=6+2(BC+CD)=6+2×18=15.故选A.
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10.C 解析： 如图,连接CF并延长,交AB于点M.
∵CD∥AB,∴∠DCF=∠BMF. ∵E,F分别为AC,BD的中点, ∴DF=BF,CE=AE.
∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐵𝑀𝐹,
在△DCF和△BMF中,{∠𝐷𝐹𝐶=∠𝐵𝐹𝑀,
𝐷𝐹=𝐵𝐹,
∴△DCF≌△BMF(AAS), ∴CF=FM,DC=BM=3.
又∵CE=AE,
∴EF=2AM=2×(7-3)=2.故选C.
11.40 解析： 如图,连接AF.
11
∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,BC=2DE=10 cm.由折叠的性质可得AF⊥DE,∴AF⊥BC, ∴S△ABC=2BC·AF=2×10×8=40(cm2).
12.2 8 3n 解析： △A3B3C3的周长为20×(2)=2,
面积为8×(4)=8.
在图(1)中,四边形A1B1AC1,A1B1C1B,A1C1B1C是平行四边形,共有3个.
在图(2)中,四边形A1B1AC1,A1B1C1B,A1C1B1C,A2B2C2B1,A2B2A1C2,A2C2B2C1是平行四边形,共有6个……按此规律,图(n)中平行四边形共有3n个.
13.解:∵P,M,N分别是BD,DC,AB的中点,
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∴PM,PN分别是△BCD和△ABD的中位线, ∴PM=2BC,PM∥BC,PN=2AD,PN∥AD,
∴∠MPD=∠CBD=40°,∠NPD=180°-∠ADB=100°, ∴∠MPN=140°. ∵AD=BC,PM=2BC,PN=2AD,
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∴PM=PN,
∴∠PMN=∠PNM=2×(180°-140°)=20°.
14.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
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∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠BAF=∠CEF,∠ABF=∠ECF. ∵CE=CD,AB=CD,∴AB=CE.
∠𝐵𝐴𝐹=∠𝐶𝐸𝐹,
在△ABF和△ECF中,{𝐴𝐵=𝐸𝐶,
∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐸𝐶𝐹,
∴△ABF≌△ECF(ASA),∴BF=CF.
又∵OA=OC,
∴OF是△ABC的中位线,∴AB=2OF.
15.解:延长AD交BC于点F.
∵BD⊥AF,∴∠ADB=∠FDB=90°. ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠FBD.
又∵BD=BD,∴△ABD≌△FBD,
∴AB=BF,AD=DF.
又∵E是AC的中点,
∴DE是△AFC的中位线,
∴DE∥BC,DE=2FC=2(BC-BF)=2(BC-AB).
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