一、幂的运算易错压轴解答题
1．规定两数a，b之间的一种新运算※，如果ac＝b，那么a※b＝c． 例如：因为52＝25，所以5※25＝2，因为50＝1，所以5※1＝0． （1）根据上述规定，填空：2※8＝________2※ ＝________．
（2）在运算时，按以上规定：设4※5＝x，4※6＝y，请你说明下面这个等式成立：4※5+4※6＝4※30． 2．综合题
（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值； （2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．
3．综合题。
（1）若10x=3，10y=2，求代数式103x+4y的值． （2）已知：3m+2n﹣6=0，求8m•4n的值．
二、平面图形的认识（二）压轴解答题
4．综合与实践：
七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线.
（1）知识初探
如图1，长方形纸条ABCD中，
，
，
处，
交CD于点G.
，将
长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在 处，点D落在 ①若 ②若
（2）类比再探
如图2，在图1的基础上将
，求 ，则
的度数；
▲ （用含 的式子表示）
对折，点C落在直线 上的 处，点B落在 处，得
到折痕 ，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由. 5．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点 是 外一点，连接 、 ，求
的
度数.
天天同学看过图形后立即想出： 解：（1）如图1，过点 作 又∵
，∴ ，∴
，请你补全他的推理过程.
________，
________. .
，
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将 ，
“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
，求
，点 在 的右侧， ，
平分 的度数.
， ，
、 的度数.
（2）问题迁移：如图2， （3）方法运用：如图3， 侧，
，
平分
，点 在 的左
所在的直线交于点 ，点
在 与 两条平行线之间，求 6．在
为
，
中，
为
，
，点 ， 分别是边 为
.
上的点，点 是一动点.记
（1）若点 在线段 上，且 理由；
（3）若点 运动到边
的延长线上，如图3所示，则
，
，
之间又有何关
系？请直接写出结论，不用说明理由.
，如图1，则
，
，
________； 之间的关系，并说明
（2）若点 在边 上运动，如图2所示，请猜想
三、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
7．如图1，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.
（1）用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形，如图2，用两种方
法计算这个正方形面积，可以得到一个等式，请你写出这个等式________；
（2）选取1张A型卡片，10张C型卡片，________张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的代数式表示为________；
（3）如图3，两个正方形边长分别为m、n，m+n=10，mn=19，求阴影部分的面积. 8．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一大重要研究成果．如图所示的三角形数表，称“杨辉三角”．具体法则：两侧的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律：
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式；
（2）利用上面的规律计算：（﹣3）4+4×（﹣3）3×2+6×（﹣3）2×22+4×（﹣3）×23+24 ． 9．现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．
（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：________；
（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是________，并请你在图3位置画出拼成的长方形________；
（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．
四、二元一次方程组易错压轴解答题
10．某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A
商品和5件B商品用了500元. （1）求A、B两款商品的单价；
（2）若对A、B两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？
（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A、B两款商品各几件？
11．青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km和公路20km销售到B地．已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米），公路的运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出铁路运费124800元，公路运费19500元．
（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表
原料x吨 产品y吨 合计（元） 铁路运费 公路运费 124800 19500 根据上表列方程组求原料和产品的重量． （2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
12．某集团购买了150吨物资打算运往某地支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 8 10 汽车运载量（吨/辆） 5 汽车运费（元/辆） 1000 1200 1500 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费24000元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆？
（2）若该集团决定用甲、乙、丙三种汽车共18辆同时参与运送，请你写出可能的运送方案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）.
五、一元一次不等式易错压轴解答题
13．我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元.相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%. （1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株. （2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株. （3）在(2)的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用为22080元.
14．光华机械厂为英洁公司生产 A、B 两种产品，该机械厂由甲车间生产 A 种产品，乙车间生产 B 种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的 A 种产品比乙车间每天生产的 B 种产品多 2 件，甲车间 3 天生产的 A 种产品与乙车间 4 天生产的 B 种产品数量相同． （1）求甲车间每天生产多少件 A 种产品？乙车间每天生产多少件 B 种产品？
（2）光华机械厂生产的 A 种产品的出厂价为每件 200 元，B 种产品的出厂价为每件 180 元．现英洁公司需一次性购买 A、B 两种产品共 80 件且按出厂价购买 A、B 两种产品的费用不超过 15080 元．问英洁公司购进 B 种产品至少多少件?
15．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费6200元；如果购买2台A型电脑，1台B型打印机，一共需要花费7900元。
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机?
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一、幂的运算易错压轴解答题
1．（1）3；-4
（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z， 则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30． 【
解析： （1）3；-4
（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z， 则4x＝5，4y＝6，4z＝30， 4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30． 【解析】【解答】（1）23＝8，2※8＝3， 24＝ ，2※ ＝﹣4，
﹣
故答案为：3；﹣4
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义
计算．
2．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5， ∴ay=5， ∴ax+ay=5+5=10
（2）解： 102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．
【解析】【分析
解析： （1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5， ∴ay=5， ∴ax+ay=5+5=10
（2）解： 102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．
【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则得到ax+y=ax•ay ， 从而可求得ax的值，然后代入求解即可；
（2）先求得102α和102β的值，然后依据同底数幂的乘法法则得到 102α+2β=（10α）2•（10β）2 ， 最后，将102α和102β的值代入求解即可.
3．（1）解：∵10x=3，10y=2， ∴代数式103x+4y=（10x）3×（10y）4 =33×24 =432
（2）解：∵3m+2n﹣6=0， ∴3m+2n=6， ∴8m•4n=23
解析： （1）解：∵10x=3，10y=2， ∴代数式103x+4y=（10x）3×（10y）4 =33×24 =432
（2）解：∵3m+2n﹣6=0， ∴3m+2n=6，
∴8m•4n=23m•22n=23m+2n=26=64
【解析】【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
二、平面图形的认识（二）压轴解答题
4． （1）解：①由题意得∠A´E F=∠AEF=40° ∴ ∠AEG=80° ∵ AB∥CD
∴ ∠CGE=∠AEG=80° ∴ ∠A´GC=100°； ②∠A´GC=180°－ （2）解：EF∥GH 由题意得∠AEF=∠A´E F = ∠CGH=∠C´GH = ∵AB∥CD ∴ ∠CGE=∠AEG ∴ ∠HGE=∠FEG ∴EF∥GH
【解析】【解答】（1）②∵ 将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在 处，点D落在 处，
交CD于点G.
∴∠A´E F=∠AEF=α ∴∠AEG=∠A´E F+∠AEF=2α ∵ AB∥CD ∴ ∠CGE=∠AEG=2α
∴ ∠A´GC=180°-∠CGE=180°-2α
【分析】（1）①利用折叠的性质可得到∠A´E F=∠AEF=40°，就可求出∠AEG的度数，利用平行线的性质可求出∠CGE的度数，利用邻补角的定义求出∠A´GC的度数；②利用折叠的性质可证得∠A´E F=∠AEF=α，由此可求出∠AEG，再利用平行线的性质可求出∠CEG，然后根据 ∠A´GC=180°-∠CGE，可证得结论。
（2）利用折叠的性质可证得∠AEF=∠A´E F= ∠CGH=∠C´GH=∠AEG，再利用平行线的性质可以推出∠HGE=∠FEG，然后利用内错角相等，两直线平行，可证得结论。 5． （1）∠EAB；∠DAC （2）解：过C作CF∥AB， ∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB， ∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF， ∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°， ∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°， ∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35° ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为
∠DAC；
，所以
∠EAB，
【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF. 6． （1）（2）解： 理由：∵ ∴ ∴ ∴
∴∠1＝90°＋∠3＝90°＋∠2＋∠α.
.
又∵四边形的内角和是
（3）解：由三角形的外角性质可知，∠3＝∠2＋∠α，
【解析】【解答】解：（1）∵∠1＋∠PDC＝180°，∠2＋∠PEC＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠PDC＋∠PEC＝360°， ∵四边形CDPE的内角和是360°， ∴∠PDC＋∠PEC＋∠C＋∠α＝360°， ∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α＝90°＋50°＝140°， 故答案为：140°；
【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠1＋∠2＋∠PDC＋∠PEC＝360°，根据四边形的内角和等于360°可得∠PDC＋∠PEC＋∠C＋∠α＝360°，然后可得∠1＋∠2＝∠C＋∠α； （2）仿照（1）的解法，即可得到∠α，∠1，∠2之间的关系； （3）根据三角形的外角性质计算即可.
三、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
7．（1）(a+b)2=a2+b2+2ab （2）25；a+5b
（3）解：阴影部分的面积为
则阴影部分的面积为 =432
答：阴影部分的面积为 432 . 【解析】【解答
解析： （1）（2）25；
（3）解：阴影部分的面积为
则阴影部分的面积为
答：阴影部分的面积为 .
【解析】【解答】（1）方法一：这个正方形的边长为
，则其面积为
方法二：这个正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和 则其面积为
因此，可以得到一个等式 故答案为：
；
（ 2 ）设选取x张B型卡片，x为正整数
由（1）的方法二得：拼成的正方形的面积为 由题意得：
是一个完全平方公式
则
；
因此，拼成的正方形的面积为 所以其边长为 故答案为：25，
【分析】（1）方法一：先求出这个正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可得；方法二：这个正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积之和即可得；然后根据方法一与方法二的面积相等可得出所求的等式；（2）设选取x张B型卡片，根据（1）中的方法二求出拼成的正方形的面积，然后利用完全平方公式即可求出x的值，最后根据正方形的面积公式即可得其边长；（3）先利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再利用完全平方公式进行变形，然后将已知等式的值代入求解即可.
8．（1）解：根据规律可得：（a+b）5首项a的次数是5次方，b为0次方，后续每项a的次数减少1而b的次数增加1，每项的系数根据规律则依次为为1，1+4=5，4+6=10，6+4=10，4+1=5，1
解析： （1）解：根据规律可得：（a+b）5首项a的次数是5次方，b为0次方，后续每项a的次数减少1而b的次数增加1，每项的系数根据规律则依次为为1，1+4=5，4+6=10，6+4=10，4+1=5，1，根据以上规律，则（a+b）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）解：由题知：
对比（﹣3）4+4×（﹣3）3×2+6×（﹣3）2×22+4×（﹣3）×23+24 可知a=-3，b=2， 则原式＝（﹣3+2）4＝1.
【解析】【分析】（1）根据上面的规律，按a的次数由大到小的顺序判断出各是多少，写出（a+b）5的展开式即可；（2）利用上面的规律，（-3）4+4×（-3）3×2+6×（-3）2×22+4×（-3）×23+24=（-3+2）4 ， 据此求出算式的值是多少即可．
，
5
＝
9．（1）a2+2ab+b2=（a+b）2 （2）2 ；
（3）a2+5ab+4b2=（a+b）（a+4b）．
【解析】【解答】解：（1）利用面积相等得a2+2ab+b2=（a+b）2；（
解析： （1）a2+2ab+b2=（a+b）2 （2）2
；
（3）a2+5ab+4b2=（a+b）（a+4b）．
【解析】【解答】解：（1）利用面积相等得a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）由于有a2+3ab，则a2+3ab+nb2分解为（a+b）（a+2b），因此得到n=2， 如图：
【分析】（1）利用面积相等易得a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）由于有a2+3ab，则a2+3ab+nb2分解为（a+b）（a+2b），因此得到n=2，再画图；（3）利用面积可分解因式．
四、二元一次方程组易错压轴解答题
10．（1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元. 根据题意，得： {20x+10y=36030x+5y=500 解得 {x=16y=4
所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.
解析： （1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元. 根据题意，得： 解得
所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.
（2）解：设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则
解得a=0.8
经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意 所以A、B两款商品进行了8折销售
（3）解：设顾客购买A商品m件，B商品n件.则
∵m、n都为正整数 ∴①m=1,n=13 ②m=3,n=8 ③m=5,n=3
所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.
【解析】【分析】（1）设A商品单价为x元，B商品单价为y元，根据题中“买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元”可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可；
（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，根据题中“用640元购买A商品的数量比用224元购买B商品的数量少20件”可列出关于a的分式方程，求解即可； （3）设顾客购买A商品m件，B商品n件，根据“同时购买A、B两种商品若干件，正好用完49.6元”可得关于m，n的二元一次方程，由m，n都为正整数讨论其所有可能性即可.
11．（1）解：设该工厂从A地购买了 x 吨原料，制成运往B地的产品 y 吨， 依题意，得： ，
解得： {x=500y=400 ． 填表如下： 原料x吨 产品y吨 合计（元） 铁路运
解析： （1）解：设该工厂从A地购买了 吨原料，制成运往B地的产品 吨， 依题意，得：
，
解得：
． 填表如下： 原料x吨 72000 7500 产品y吨 52800 12000 合计（元） 124800 19500 吨； 铁路运费 公路运费 答：该工厂从A地购买了 吨原料，制成运往B地的产品
（2）解：8000×400-（1000×500+19500+124800）=2555700（元）． 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多2555700元
【解析】【分析】（1）设该工厂从A地购买了 吨原料，制成运往B地的产品 吨，由这两次运输共支出公路运输费19500元、铁路运输费124800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由总价=单价×数量结合多的费用=销售总额-（原料费+运输费），即可求出结论．
12．（1）解：设需甲种车型x辆，乙种车型y辆 由题意得： {5x+8y=1501000x+1200y=24000 解得： {x=6y=15
答：需甲种车型6辆，乙种车型15辆
（2）解：设需
解析： （1）解：设需甲种车型x辆，乙种车型y辆 由题意得： 解得：
答：需甲种车型6辆，乙种车型15辆
（2）解：设需甲种车型a辆，乙种车型b辆，其中a、b为正整数，则需丙种车型
辆
由题意得： 整理得：
，即 均为正整数
或
①当
时，
，
（元）
时，
，
（元）
则总运费为 ②当 则总运费为
综上，可能的运送方案有两种：方案一，需甲种车型4辆，乙种车型5辆，丙种车型9辆；方案二，需甲种车型2辆，乙种车型10辆，丙种车型6辆.方案二的运费最省，运费为23000元.
【解析】【分析】（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，然后根据物资总重量和总运费建立方程组，求解即可得；（2）设需甲种车型a辆，乙种车型b辆，则需丙种车型
辆，再根据总重量得出关于a、b的等式，然后根据正整数性求出a、b的
值，最后根据汽车费用表求解即可.
五、一元一次不等式易错压轴解答题
13．（1）解：设购买甲种树苗 x 株，乙种树苗 y 株，则 列方程组 {x+y=800,24x+30y=21000, 解得 {x=500,y=300.
答：购买甲种树苗500株，乙种树苗30
解析： （1）解：设购买甲种树苗 株，乙种树苗 株，则 列方程组 解得
答：购买甲种树苗500株，乙种树苗300株.
（2）解：设购买甲种树苗 株，乙种树苗（800－ ）株. 则列不等式 解得 ≤320.
答：甲种树苗至多购买320株.
（3）解：设甲种树苗购买 株，使购买树苗的费用为22080元， 则
解得 =320.
800-320=480.符合（2）的要求.
答：购甲种树苗320株，乙种树苗480株时，总费用为22080元.
【解析】【分析】（1）根据关键描述语“购买甲、乙两种树苗共800株，”和“购买两种树苗共用21000元”，列出方程组求解；
（2）先找到关键描述语“这批树苗的成活率不低于88%”，进而找到所求的量的等量关系，列出不等式求出甲种树苗的取值范围；
（3）设甲种树苗购买 株，使购买树苗的费用为22080元，根据题意得到一元一次方程即可求解.
.
≥88%×800.
14．（1）解：设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产(x+2) 件A种产品． 根据题意,得 3 (x+2) =4x, 解得x=6． ∴x+2=8．
答:甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每
解析： （1）解：设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产(x+2) 件A种产品． 根据题意,得 3 (x+2) =4x, 解得x=6． ∴x+2=8．
答:甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品． （2）解：设英洁公司购买B种产品m件,购买A种产品(80-m) 件． 根据题意，得
200 (80-m) +180m≤15080,
∴
答：英洁公司购进 B 种产品至少46件
【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品．等量关系：甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同．（2）设光华机械厂购买B种产品m件，购买A种产品（80-m）件．不等关系按出厂价购买A、B两种产品的费用不超过15080元．
15．（1）解：设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元， 则 {x+2y=62002x+y=7900 ， 解得： {x=3200y=1500 ，
答：A型电脑每台3200元，B型打印机每台1500元.
解析： （1）解：设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元， 则 解得：
， ，
答：A型电脑每台3200元，B型打印机每台1500元.
（2）解：设A型电脑购买a台，则B型打印机购买（a+1）台， 则3200a+1500（a+1）≤20000， 47a+15≤200， 47a≤185，
，
∵a为正整数， ∴a≤3，
答：学校最多能购买4台B型打印机.
【解析】【分析】(1)二元一次方程组的实际应用： ①根据题意，适当的设出未知数； ②找出题中能概括数量间关系的等量关系； ③用未知数表示等量关系中的数量；
④列出等量关系式，并求出其解，他的解要使实际问题有意义，或是符合题意. (2) 一元一次不等式解决实际问题的应用： ①根据题意，适当的设出未知数； ②找出题中能概括数量间关系的不等关系； ③用未知数表示不等关系中的数量； ④列出等量关系式，并求出其解集；
⑤检验并根据实际问题的要求写出符合题意的解或解集，并写出答案.
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