密相关的数学问题集.公元3世纪的刘徽，吴文俊 称之为“中国古代数学第一人’’，他使用的“出入相补” 原理是我国古代数学特有的推理论证方法.而贾宪 的抽象分析和程序化方法体现了中国古代数学的重 要特点，一直影响着现代数学的研究发展.从选取 的这几题中考题就已经能感受出中国在数学文化史 中的重要贡献.中考是个大风向标，数学文化的渗 透不是一份装饰，一份点缀，它使学生的视野不再 狭窄，它使学生感受到数学不是枯燥无味的学科， 是可以继承与创新的文化.
高考试题中近年来体现数学文化渊源的试题也 层出不穷.以湖北省近几年高考为例，例如2009年 文/理数学试题第10题涉及毕达哥拉斯研究的图形 数，理科数学试题第15题涉及角谷猜想；2010年理 科数学第7题的割圆术和第15题的均指数；2011年 理科数学试题第15题的斐波那契数列，文科数学试 题第9题涉及《九章算术》中的“竹九节”问题；2012 年理科数学试题第10题涉及 <〈九章算术〉〉中的“开立 圆术”问题，第13题涉及回文数问题；2013年文科 数学试题第16题涉及<〈九章算术〉〉中的“天池盆测雨”
问题.当然，在设计数学考题的题型结构上还可以 进行多角度的渗透，数学史料的挖掘不仅仅是数学 名题，可以是涉及数学名家的趣味题，可以是数学 名题改编出来更具有时代性的题，可以是渗透数学 审美的题，还可以是实际应用更广泛的数学题.让 数学史、数学审美、数学思想方法、数学精神等数 学文化内涵丰富学生的数学情感，学生乐于亲近数 学，欣赏数学，品味数学，在数学文化的继承基础 上继续发扬广大.
参考文献
[I] 顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008
P]张维忠，孙庆括.我国数学文化与数学教育研究30年的回顾与反思
[J] .当代教育与文化，2011，3 (6): 43[3] 张奠宙，王善平.数学文化教程[M].北京：高等教育出版社，2013[4] 徐文彬.关于数学文化视域中数学教学的若干思考[J].课程•教材教法，
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[5] 张安军.数学文化视角下的中考试题赏析及其思考[J].教育实践与研 究，2016，13 (2): 65
(本文系福建省厦门市直属中小学2016年度课题“在中学数学教学中渗 透数学文化的建构策略研究”（zsx2016021)阶段性成果）
数学课堂教学中有效问题的设计策略
李锋 王爱玲
山东省溜博市沂源县第一中学（256100)
数学课堂应以问题为中心，采用创造性教学的 方法，使学生的学习过程成为学生自主探究的过程， 进而培养学生的问题意识和探究精神.因此，我们 有必要重新审视课堂提问设计策略，通过优化课堂 提问来培养学生敢于质疑、勤于思考的科学素养， 进而提高课堂效益.本文就提高课堂问题的有效性 做了一些探索和尝试，难求全面，权作引玉之砖.
1编制情境性问题代替直接设问
托尔斯泰曾经说过：“成功的教学，所需的不是 强制，而是激发学生学习的兴趣.”因此，在实际教 学中，教师要尽可能创设新颖的情境，激发学生求 知的欲望.情境性问题就是指教师按数学知识的发 生发展过程以及学生的认知规律，以教材内容为载 体，有目的、有意识地添加能给认识带来一定情绪 色彩的情境，再按一定的表现形式编制而成的问
b + m b
题.这种情境在学生头脑里留下的不仅有表象、概 念，而且有思想、情感和内心的感受.它能使学生 在这样的情境中，经过自己独立自主的思维活动， 经历发现数学知识的全过程而获取知识，掌握相应 的数学思想方法，从而学会学习.
案例1 “已知a,，weR+，且〇<6，求证：
情境性问题设计.
创设问题情境：有白糖《克，放在水中得b克糖 水，问此糖水的质量分数是多少？学生会异口同声回答：^;又问：白糖增加m克，此时糖水的质量
b
分数又是多少？学生也很快得出结论：
b + m
.这时
老师继续追问:“糖水是变甜了还是变淡了？”学生会 毫不犹豫回答：变甜了”，于是就可得到这个不等式.
20福建中学数学
2018年第1期
学生通过这样一个应用问题情境，轻松愉快地
获得了这个不等式，并了解了这个不等式的实际背 景.通过生活中的问题，给学生创设了一个观察、 联想、抽象、概括、数学化的过程.在这样的问题 情境下，注意给学生动手、动脑的空间和时间，学 生一定会乐学.
案例2在“等比数列”一节的教学时，可创设这 样的问题情境引入等比数列的概念：
“阿基里斯”(希腊神话中的善跑英雄)和乌龟赛 跑，乌龟在前方1里处，阿基里斯的速度是乌龟的 10倍，当它追到1里处时，乌龟前进了 1/10里，当 它追到1/10里，乌龟前进了 1/100里，当它追到1/100 里，乌龟又前进了 1/1000里……
(1)
分别写出相同时间段里阿基里斯和乌龟各 自所行的路程；
(2) 阿基里斯能否追上乌龟？
通过这个有趣的前进问题，让学生观察这两个 数列的特点，由此引出等比数列的定义，学生兴趣 十分浓厚，很快就进入了主动学习的状态.
当然，在教学实践中，要牢牢把握好问题的难 度和梯度.问题的难度控制是问题是否具有启发性 的关键因素.若问题太难，会导致课堂出现“僵局”， 学生处于“启而不发”的状态.若问题太易，会导致课 堂出现“闹市”或“冷场”，学生处于“不思门道而热热 闹闹”或“不愿思索而冷冷清清”的状态.在控制好问 题难度的前提下，还应把握好问题的梯度，尽可能 形成由浅入深、一环紧扣一环，体现知识的内在联 系和符合知识逻辑顺序的“问题链”.
2关注问题中的知识关联度，提升问题的知识 与思维容量
问题的知识关联度是指所提出的问题与已有知 识发生联系的程度.课堂上一个有效问题的提出，“产 生于对知识背景的分析，仅有观察绝不能产生问题； 只有当把观察与已有知识比较时，才能产生问题， 产生思维”.因此，若要进行有效提问，就必须使问 题与已掌握的知识联系起来，提高知识关联度，使 问题从现象描述转化为让学生觉得是“有所知有所不 知’’的问题，转化为抽象性问题，从而产生思维活动.
案例3直线>> = 3x + w与抛物线>> = x2相交于
两点，_
，求直线的方程.你能在横线上
补充一个恰当的条件，使直线方程得以确定吗？
此题一出，学生思维异常活跃，补充的条件也
形形色色.
例如：①|A8|=Vi0 ;②04丄洲；③线段灿 被y轴平分；④线段灿的中点到y轴的距离最短
通过这个开放性的问题情境，学生积极思维， 畅所欲言，涉及的知识面也非常宽，有韦达定理、
弦长公式、中点坐标公式、两直线互相垂直的充要 条件、最值问题、数形结合思想等等，学生真正进 入了自主学习的“状态”.
在上述的教学过程中，4个问题需要学生高强度 的思维，同时各问题之间有很高的知识关联度.很 显然，若在教学过程中没有形成这几个问题，整节
课思维深度就显得肤浅，同时对后续知识学习缺少
必要的知识与思维准备.
3选择最佳问点代替随意设问
在我们的实际教学中有两点值得注意：一是对 课堂所提“问题”的内涵与外延的认识，有的教师认为 课堂所提问题应该指需要探究或值得探究的问题， 而有的教师把不懂的知识、不清楚的概念、不会做 的习题等统统纳入其中；二是不少教师对问题的有 效性认识不足，其提问只不过是简单现象描述加上 疑问句和疑问语气，实际是为了提问而多问、乱问， 并不清楚什么样的问题才算是有效问题.因此在教 学中，教师不仅要思考选择最佳问点设计问题，而 且要把需要探究或值得探究的内容设计成问题.
(1)问在教材知识的着重点上
课堂提问应有明确的目的，要围绕本节课的教 学重点来进行设计，这是课堂教学成功与否的关 键.同时，问题的内容应嵌入教材内容的内在联系 和知识积累的逻辑顺序，一环扣一环，由浅入深， 由简单到复杂，叩开学生思维的大门，使学生感到 新颖，造成连续的思维，形成持久的内驱力，引起 学生思想的共鸣，活跃课堂气氛，有效地调动每个 学生积极思维.
案例4在直线与圆的位置关系的教学中，会遇 到求过圆外一定点的圆的切线方程问题.
如\"求过点4(-1，4)的圆(x- 2)2 + (y -3)2 = 1的切 线方程\"，教师可以适时地提出新的问题，创设如下 变式：
变式1若圆的方程式为(x-fl)2+(y-6)2=r2， 求过圆外一点M(x0，y。）的切线方程；
2018年第1期福建中学数学21
变式2已知M(x〇，％)为圆x2+/=r2外的一 点，过M作圆的切线，求过两切点的直线方程；
变式3若圆的方程是x2 +/ = 〃2，求经过圆上 一点M(x〇，y〇)的切线方程；
变式4若圆的方程是(x-fl)2+Cy-6)2=r2,求 过圆上一点M(x〇,〇)的切线方程；
变式5已知M(x〇，>>〇)为圆x2+>>2=r2内异于圆 心的一点，判断直线x〇x +凡少=r2与圆的位置关系.
上述的教学过程中，问题的设计是围绕“点、线 与圆的位置关系”的教学重点和难点内容展开，设计 了有层次性的“问题”和富有梯度的“变式”让学生探 究，一环扣一环，由浅入深，学生的思维和创造性 的空间较大，不仅能产生“有梯可上、步步登高”的成 功感，而且使学生加深了对一些数学思想方法的理 解和掌握，培养了学生学习数学的兴趣.
(2)问在学生思维的障碍点上
案例5人教A版<〈数学〉〉必修1第三章“函数与 方程”一节中，有关“零点判定定理”的教学内容，课 本上只有寥寥数句，学生阅读后大都复述甚至一字 不差，但对其内涵、外延理解不透.是逐字逐句释 义，平铺直叙讲出注意点？还是设法引出问题，让 学生思维探究？教者设计以问题探究建构概念：
①
从函数零点的判定方法中可看出，函数具备
了哪些条件，可断言它有零点存在呢？
② 如果去掉条件“图象连续不断”，又会怎样呢？
③ 如果去掉条件“ /⑷• /W < 0 ”呢？
④ 如果函数具备上述两个条件时，函数有多少
零点呢？
⑤
若在区间[«，]上连续函数/(X)满足/⑷./⑷ <0，是否意味着函数/(X)在[a，]上恰有一个零点?⑥ 若连续函数/(x)在[«，]上有一个零点，是否
一定有/(a) •/(&)<0?
⑦ 一个函数的零点是否都可由上述定理进行判
断？
案例6在“曲线与方程”的教学中，对“曲线的方 程”和“方程的曲线”概念的引入，可以利用函数图象 设计如下问题序列：
① 下列各图中哪些能作为图象？（无解析式）② 如何修改可作为函数图象？③
再添上图下的解析式，并问：图与式相一致 吗？请改图形(或改关系式)使两者相吻合.
④既然图象与解析式存在着这种对应关系，怎 样反映这种关系呢？
乂:
Ox 1
O
O
x
y = - x
| x\\=| y x
x ^ + y ^ = 1 x = J1 - y1
学生出现思维疑难或思维受阻是经常发生的，
因此需要教师教学时有意识地让学生的普遍性错误 暴露出来，根据学生的实际情况，灵活处置，随时 调整或改变原来准备的问题，分类设疑引发思考.(3)问在学生思维的兴奋点上
案例7 “在抛物线及其标准方程”一节的教学中， 引出抛物线的定义“平面上与一个定点^和一条定 直线/的距离相等的点的轨迹叫抛物线”之后，设置 这样的问题情境：初中已学过的一元二次函数y = x2 的图象就是抛物线，而今天我们定义的抛物线与初 中已学的抛物线从字面上看不一致，初中的说法是 不是正确的呢？
一石激起千层浪，学生们徘徊，迷茫.此问题 问的新奇！
问题的结论应该是肯定的，但课本中又没有解 释，这自然就引起了学生探究其中奥秘的欲望，此
时此刻，教师适时做出了引导：
我们由y = x2入手推导出函数图象上的动点到
某定点的距离和到某定直线/的距离相等，即导出动
点尸(x，y)到定点 F(x。，y。）的距离 V(x-x。)2 +(y-y。)2 等于动点八x y)到定直线/的距离.大家试试看！学生纷纷动笔变形、拼凑、探究：>x2+y2 =y + y2^ x2 + (y - -4)2 = (y + -4)2
(x - 0)2 + (y - 4)2 =| y+41，
它表示平面上的动点P(x，y)到定点,(0，，4■)的
距离正好等于它到直线/:y =-4的距离，可见完全
符合现在的定义.
该问题使学生在新知与旧知之间产生了认知冲
突，引起了学生好奇，调动了学生的思维，象这样
22福建中学数学2018年第1期
问题2平面内到定点F的距离与到定直线/的
的问题，课堂上经常会出现群情激昂的情况，此时 教师及时引导，既可以让学生冷静思考、去伪存真， 又可以使学生的思维得到延伸，从而培养学生的发 散性思维.
4设计有创造性思维的问题，培养学生的探究能力
在听课与调研中我们经常会遇到这种情况：由 于新课程强调师生互动，所以有时我们可能把一个 完整的问题表述划分成很多支离破碎、没有思维力 度的“对不对”、“好不好”、“是不是”等小问题，不停 地问学生，搞得满堂课非常热闹，但没有丝毫的思 维深度.当今社会，对于人才的要求已经不再只限 于对固有知识的掌握，更多的是需要人们对这种固 有知识的创新运用.这就要求学生能利用已学过的 知识，创造性地提出问题、思考问题和解决问题.在 教学中我们往往会发现有的学生见解独特、解法新 颖、方式独到等，这就是最可贵的创造性思维，也 是需要我们在教学中大力鼓励和培养的.
案例8上圆锥曲线复习课时，当复习完椭圆、 双曲线、抛物线的各自定义及统一定义后，突然有 一学生提问：平面内到两定点〜6的距离的积等于 常数的点的轨迹是什么？这一意料外的问题使思路 豁然开朗，我们也可以顺势提出以下问题引导学生， 让学生探索：
问题1平面内到两定点6的距离的积、商等 于常数的点的轨迹是什么？
距离的和等于常数的点的轨迹是什么？
若联想到课本（人教A版选修2-1)第37页第 3题（两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距 离的平方和为26,求点M的轨迹方程），还可以提 出下列问题：
问题3平面内到两定点尽巧的距离的平方积、 商分别等于常数的点的轨迹是什么？
问题4平面内到定点F距离的平方与到定直线 /的距离的平方和等于常数的点的轨迹是什么？
通过设计这样的问题能充分发挥学生的主体 性，在提问、分析、解答的过程中养成学习数学的 主动性和创造性.因此，教师要设计一些富有挑战 性的问题来激发学生探索的欲望，从而使课堂学习 更加有效持久.这些问题有了更加明确的预设，将 进一步指引学生去思考探究，学生的思维将被高度 的激活.这种“用问题组引导学生进行深入的思考， 用组合、铺垫或设台阶等方法来提高问题的整体效 益，鼓励学生主动发现问题、提出问题，培养学生 问题意识，是激发学生创造性思维的最好途径，也 是学生主体性的最充分发挥”.
总之，课堂问题设计是一堂课的\"灵魂\"，它决定 着教学的目标和顺序，关系到学生思维活动开展的 深度和广度，直接影响着教学效果.因此，优化课 堂问题设计是构建高效课堂的关键.
数学文化视角下“椭圆及其标准方程”的教学策略
刘峥嵘
广东省岭南师范学院附属中学（524048)
内容的通知》，特别提出要关注数学文化.但很多一 线教师对数学文化教学感到茫然，无从下手，或者， 不以为然.数学的精神和思想方法也是数学教育应 该追求的东西，如何在中学数学教育中通过具体素 材体现数学文化价值是新课改中教师必须思考和探 索的问题.本文以“椭圆及其标准方程”为例，谈谈 笔者对数学课堂中的数学文化渗透的实施与反思.
2对本节教与学的认识
根据圆锥曲线的历史，椭圆的历史大致可以分 成椭圆的发现、截线定义的形成、基本性质的推导、
如何在中学数学教育中通过具体素材体现数学 文化价值是数学教师必须思考和探索的问题.本文 以“椭圆及其标准方程”为例，谈谈笔者对数学课堂 中的数学文化渗透的实施与反思.
1问题的提出
《高中数学课程标准(实验)》指出：“数学文化 是贯穿整个高中数学课程的重要内容之一”，要求“渗 透在每个板块或专题中”，并在教学中体现数学文化 价值.2016年10月8号，教育部考试中心公布了 [2016] 第179号文件 <〈关于2017年普通高考考试大纲修订
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