第3节 理想气体的状态方程
1．了解理想气体模型，知道实际气体可以近似看成理想气体的条件。 2．能够从气体实验定律推导出理想气体的状态方程。
3．掌握理想气体状态方程的内容、表达式和适用条件，并能应用理想气体的状态方程分析解决实际问题。
一、理想气体
01气体实验定律的气体。 1．定义：在任何温度、任何压强下都严格遵从□2．理想气体与实际气体
二、理想气体的状态方程
1．内容：一定质量的某种理想气体，在从状态1变化到状态2时，尽管p、V、T都可能01压强跟□02体积的乘积与□03热力学温度的比值保持不变。 改变，但是□ - 1 -
04pV＝C或□05p1V1＝p2V2。 2．公式：□TT1T2
06某种理想气体。 3．适用条件：一定质量的□判一判
(1)一定质量的理想气体，先等温膨胀，再等压压缩，其体积必小于起始体积。( ) (2)气体的状态由1变到2时，一定满足方程
p1V1p2V2
＝。( ) T1T2
(3)描述气体的三个状态参量中，可以保持其中两个不变，仅使第三个发生变化。( ) 提示：(1)× (2)× (3)×
课堂任务 对理想气体的理解
理想气体的特点
1．严格遵守气体实验定律及理想气体状态方程。
2．理想气体分子本身的大小与分子间的距离相比可以忽略不计，分子可视为质点。 3．理想气体分子除碰撞外，无相互作用的引力和斥力，故无分子势能，理想气体的内能
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等于所有分子热运动动能之和，一定质量的理想气体内能只与温度有关。
例1 (多选)关于理想气体，下面说法哪些是正确的( ) A．理想气体是严格遵守气体实验定律的气体模型 B．理想气体的分子没有体积
C．理想气体是一种理想模型，没有实际意义
D．实际气体在温度不太低、压强不太大的情况下，可当成理想气体
[规范解答] 理想气体是指严格遵守气体实验三定律的气体，实际的气体在压强不太高、温度不太低时可以认为是理想气体，A、D正确。理想气体分子间没有分子力，
但分子有大小，B错误。理想气体是一种理想化模型，对研究气体状态变化具有重要意义，C错误。
[完美答案] AD
理想气体是为了研究问题方便提出的一种理想模型，是实际气体的一种近似，就像力学中质点、电学中点电荷模型一样，突出矛盾的主要方面，忽略次要方面，从而认识物理现象
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的本质，是物理学中常用的方法。
[变式训练1] (多选)下列对理想气体的理解，正确的有( ) A．理想气体实际上并不存在，只是一种理想模型 B．只要气体压强不是很高就可视为理想气体
C．一定质量的某种理想气体的内能与温度、体积都有关 D．在任何温度、任何压强下，理想气体都遵循气体实验定律 答案 AD
解析 理想气体是在忽略了实际气体分子间相互作用力的情况下而抽象出的一种理想化模型，A正确。实际气体能视为理想气体的条件是温度不太低、压强不太大，B错误。理想气体分子间无分子力作用，也就无分子势能，故一定质量的理想气体，其内能与体积无关，只取决于温度，C错误。由理想气体模型的定义可知D正确。
课堂任务
应用
理想气体状态方程的理解及
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1．对理想气体状态方程的理解
(1)成立条件：一定质量的某种理想气体。
(2)该方程表示的是气体三个状态参量的关系，与中间的变化过程无关。 (3)公式中常量C仅由气体的种类和质量决定，与状态参量(p、V、T)无关。 2．理想气体状态方程的应用
(1)应用理想气体状态方程解题的一般思路和步骤
运用理想气体状态方程解题前，应先确定在状态变化过程中气体保持质量不变。解题步骤为：
①必须确定研究对象，即某一定质量的理想气体，分析它的变化过程； ②确定初、末两状态，准确找出初、末两状态的六个状态参量，特别是压强； ③用理想气体状态方程列式，并求解。
(2)注意方程中各物理量的单位：T必须是热力学温度，公式两边中p和V单位必须统一，但不一定是国际单位制中的单位。
3．理想气体状态方程与气体实验定律的比较
pppVpVV＝V时，＝
TT＝⇒TTVVp＝p时，＝TT1
111
222
1
2
11
1
2
1
T1＝T2时，p1V1＝p2V2玻意耳定律
2222
查理定律盖—吕萨克定律
说明：(1)玻意耳定律、查理定律、盖—吕萨克定律可看成是理想气体状态方程在T恒定、
V恒定、p恒定时的特例。
(2)理想气体状态方程是用来解决气体状态变化问题的方程，运用时，必须要明确气体不同状态下的状态参量。
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应用理想气体状态方程时，在涉及气体
的状态参量关系时往往将实际气体当作理想气体处理，但这时需要关注的是是否满足质量一定。
3
例2 某气象探测气球内充有温度为27 ℃、压强为1.5×10 Pa的氦气，其体积为5 m。
5
当气球升高到某一高度时，氦气温度为200 K，压强变为0.8×10 Pa，求这时气球的体积多大？
[规范解答] 找出气球内气体的初、末状态的参量，运用理想气体状态方程即可求解。 以探测气球内的氦气作为研究对象，并可看做理想气体，其初始状态参量为：
5
T1＝(273＋27) K＝300 K，p1＝1.5×105 Pa，V1＝5 m3，
升到高空，其末状态参量为T2＝200 K，p2＝0.8×10 Pa， 由理想气体状态方程
5
p1V1p2V2
＝有： T1T2
- 6 -
5
p1T21.5×10×20033
V2＝V1＝×5 m＝6.25 m。 5
p2T10.8×10×300
[完美答案] 6.25 m
3
1．用理想气体状态方程解决两部分气体关联问题的技巧
(1)对于涉及两部分气体的状态变化问题，解题时应分别对两部分气体进行研究，找出它们之间的相关条件——体积关系、压强关系等。
(2)挖掘隐含条件，找出临界点，临界点是两个状态变化过程的分界点，正确找出临界点是解题的基本前提。
(3)找到临界点，确定临界点前后的不同变化过程，再利用相应的物理规律解题。 2．所谓隐含条件是指题目中没有明确给出的条件，它往往隐含在某些文字说明中 例如：一些题目中常用“慢慢”“缓慢”二字，就隐含了气体状态变化过程为等温过程。又如“密闭”二字隐含了气体状态变化过程中质量不变。
再如①极细的管——管的体积不计；②“连通”——压强相等；③“连通”——温度相同。
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[变式训练2－1] 一活塞将一定质量的理想气体封闭在汽缸内，初始时气体体积为3.0×10 m。用DIS实验系统测得此时气体的温度和压强分别为300 K和1.0×10 Pa。推动活塞压缩气体，测得气体的温度和压强分别为320 K和1.6×10 Pa。
(1)求此时气体的体积；
(2)保持温度不变，缓慢改变作用在活塞上的力，使气体压强变为8.0×10 Pa，求此时气体的体积。
答案 (1)2.0×10 m (2)4.0×10 m 解析 (1)以汽缸内气体为研究对象，
状态1：T1＝300 K，p1＝1.0×10 Pa，V1＝3.0×10 m 状态2：T2＝320 K，p2＝1.6×10 Pa
气体从状态1到状态2的变化符合理想气体状态方程
55
－3
3
－3
3
－3
3
4
5
－3
3
5
p1V1p2V2
＝，则 T1T2
p1V1T21.0×105×3.0×10－3×3203
V2＝＝ m 5
p2T11.6×10×300
＝2.0×10 m。
(2)气体从状态2到状态3的变化为等温过程，根据玻意耳定律得p2V2＝p3V3，则
－3
3
p2V21.6×105×2.0×10－33－33
V3＝＝ m＝4.0×10 m。 4p38.0×10
[变式训练2－2] 用钉子固定的活塞把容器分成A、B两部分，其容积之比VA∶VB＝2∶1，如图所示，起初A中空气温度为127 ℃，压强为1.8×10 Pa，B中空气温度为27 ℃，压强为1.2×10 Pa。拔去钉子，使活塞可以无摩擦地移动但不漏气，由于容器壁缓慢导热，最后都变成室温27 ℃，活塞也停住，求最后A、B中气体的压强。
5
5
答案 均为1.3×10 Pa
解析 对A中气体，初态：pA＝1.8×10 Pa，VA＝？，TA＝(273＋127) K＝400 K。 末态：pA′＝？，VA′＝？，TA′＝273 K＋27 K＝300 K， 由理想气体状态方程
5
5
pAVApA′VA′
＝得： TATA′
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1.8×105
×VApA′V400＝A′
300。
对B中气体，初态：
pB＝1.2×105 Pa，VB＝？，TB＝300 K。
末态：pB′＝？，VB′＝？，TB′＝300 K。 由气体状态方程
pBVBpB′VB′
T＝得： BTB′
1.2×105
×VB300＝pB′VB′300
，
又VA＋VB＝VA′＋VB′，VA∶VB＝2∶1，pA′＝pB′，由以上各式得p5
A′＝pB′＝1.3×10 Pa。
课堂任务1．一定质量的理想气体的各种图象
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理想气体状态变化的图象
续表
续表
2．理想气体状态方程与一般的气体状态变化图象
基本方法，化“一般”为“特殊”，如图是一定质量的某种气体的状态变化过程
A→B→C→A。
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在VT图线上，等压线是一簇延长线过原点的直线，过A、B、C三点作三条等压线则
pA pt图象过(－273,0)的延长线及p、pT、VT图象过原点的线，还有与两个轴平行的辅助 V线。 1 - 11 - 例3 (多选)如图所示，导热的汽缸固定在水平地面上，用活塞把一定质量的理想气体封闭在汽缸中，汽缸的内壁光滑。现用水平外力F作用于活塞杆，使活塞缓慢地向右移动，如果环境保持恒温，分别用p、V、T表示该理想气体的压强、体积、温度。气体从状态①变化到状态②，此过程可用下列哪几个图象表示( ) - 12 - [规范解答] 由题知，从状态①到状态②，温度不变，体积增大，故压强减小，所以只有A、D正确。 [完美答案] AD 要能识别pV图、pT图和VT图中等温线、等容线和等压线，要理解图象的物理意义，从图象上读出状态参量和状态变化过程，并利用读出条件解答某些简单的气体状态变化问题。 - 13 - 1 [变式训练3] 一定质量的理想气体经历一系列状态变化，其p图线如图所示，变化顺 V1 序为a→b→c→d→a，图中ab线段延长线过坐标原点，cd线段与p轴垂直，da线段与轴垂 V直。气体在此状态变化过程中( ) A．a→b，压强减小、温度不变、体积增大 B．b→c，压强增大、温度降低、体积减小 C．c→d，压强不变、温度升高、体积减小 D．d→a，压强减小、温度升高、体积不变 答案 A 解析 由图象可知，a→b过程，气体压强减小而体积增大，温度一定时，气体的压强与体积成反比，则压强与体积倒数成正比，ab所在直线是一条等温线，气体发生的是等温变化， - 14 - 故A正确；由理想气体状态方程＝C可知＝pV＝CT，由图象可知，连接Ob的直线的斜率小， T1 pVpV所以b的温度小，b→c过程温度升高，同时压强增大，且体积也增大，故B错误；由图象可知，c→d过程，气体压强p不变，而体积V变小，由理想气体状态方程＝C可知气体温度降低，故C错误；由图象可知，d→a过程，气体体积V不变，压强p变小，由理想气体状态方程＝C可知，气体温度降低，故D错误。 pVTpVT A组：合格性水平训练 1．(理想气体)(多选)下列关于理想气体的说法正确的有( ) A．温度极低的气体也是理想气体 B．压强极大的气体也遵守气体实验定律 C．理想气体是实际气体的理想化模型 D．理想气体实际并不存在 E．一定质量的理想气体，当温度发生变化，体积和压强一定随着变化 答案 CD 解析 气体实验定律是在压强不太大、温度不太低的情况下得出的，温度极低、压强极大时在微观上分子间距离变小，趋向液体，C、D正确，A、B错误；一定质量的理想气体，当温度发生变化时，体积和压强中的一个或两个随着变化，E错误。 2．(理想气体的状态方程的应用)一定质量的理想气体，在某一平衡状态下的压强、体积和温度分别为p1、V1、T1，在另一平衡状态下的压强、体积和温度分别为p2、V2、T2，下列关系正确的是( ) 1 A．p1＝p2，V1＝2V2，T1＝T2 21 B．p1＝p2，V1＝V2，T1＝2T2 2C．p1＝2p2，V1＝2V2，T1＝2T2 D．p1＝2p2，V1＝V2，T1＝2T2 答案 D 解析 由理想气体状态方程 p1V1p2V2 ＝可判断，只有D正确。 T1T2 3．(理想气体的状态方程的应用)(多选)对于一定质量的理想气体，下列状态变化中不可能的是( ) A．使气体体积增加而同时温度降低 B．使气体温度升高，体积不变、压强减小 C．使气体温度不变，而压强、体积同时增大 D．使气体温度降低，压强减小、体积减小 答案 BC - 15 - 解析 由理想气体状态方程 pV＝C(常量)可知：B、C中不可能发生。 T4．(理想气体的状态方程的应用)如图所示为粗细均匀、一端封闭一端开口的U形玻璃管。当t1＝31 ℃，大气压强为p0＝1 atm 时，两管水银面相平，这时左管被封闭的理想气体气柱长l1＝8 cm。求：当温度t2等于多少时，左管气柱l2为9 cm？(p0＝1 atm＝76 cmHg) 答案 78 ℃ 解析 设玻璃管的横截面积为S cm， 对左管中的气体， 初态：p1＝76 cmHg，V1＝8S cm，T1＝304 K， 末态：p2＝78 cmHg，V2＝9S cm，T2＝？ 由 33 2 p1V1p2V2p2V2T1 ＝得T2＝＝351 K， T1T2p1V1 3 4 t2＝(351－273) ℃＝78 ℃。 5．(理想气体的状态方程的应用)房间的容积为20 m，在温度为7 ℃、大气压强为9.8×10 Pa时，室内空气质量是25 kg。当温度升高到27 ℃，大气压强变为1.0×10 Pa时，室内空气的质量是多少？ 答案 23.8 kg 解析 气体初态：p1＝9.8×10 Pa，V1＝20 m，T1＝(273＋7) K＝280 K， 末态：p2＝1.0×10 Pa，T2＝(273＋27) K＝300 K， 由状态方程： 5 4 3 5 p1V1p2V2 ＝， T1T2 4 p1T29.8×10×30033 所以V2＝V1＝×20 m＝21 m。 5 p2T11.0×10×280 因V2>V1，故有气体从房间内流出。 V120 房间内气体质量m2＝m1＝×25 kg＝23.8 kg。 V221 6. (气体关联问题)如图所示，一个密闭的汽缸被活塞分成体积相等的左、右两室，汽缸壁与活塞是绝热的，它们之间没有摩擦，两室中气体的温度相等。现利用右室中的电热丝对 - 16 - 3 右室中的气体加热一段时间，达到平衡后，左室的体积变为原来的，气体的温度T1＝300 K， 4求右室中气体的温度。 答案 500 K 解析 根据题意对汽缸中左、右两室中气体的状态进行分析： 3 左室的气体：加热前p0、T0、V0，加热后p1、T1、V0。 45 右室的气体：加热前p0、T0、V0，加热后p1、T2、V0。 4根据理想气体状态方程＝恒量，有 pVT3454 左室的气体： p0V0 ＝T0p0V0 ＝T0 p1×V0 T1p1×V0 T2 ， 54， 右室的气体： 34 由以上两式可得＝300解得：T2＝500 K。 p1×V0p1×V0 T2 ， B组：等级性水平训练 7．(理想气体的图象分析)(多选)一定质量的理想气体经历如图所示的一系列过程，ab、 bc、cd和da这四段过程在pT图上都是直线段，其中ab的延长线通过坐标原点，而cd平行 于ab，由图可以判断( ) - 17 - A．ab过程中气体体积不断减小 B．bc过程中气体体积不断减小 C．cd过程中气体体积不断增大 D．cd过程中气体体积不变 E．da过程中气体体积不断增大 答案 BCE 解析 在pT图象中，过气体状态点和坐标原点O的连线的斜率与气体在该状态下体积的倒数成正比。由于ab的延长线通过坐标原点，斜率不变，气体发生等容变化，A错误；若将Oc与Od连接起来，可得出另两条等容线，它们的斜率关系kOc>kOd>kab，故bc过程体积减小， cd过程体积增大，da过程体积增大，B、C、E正确，D错误。 8．(理想气体的状态方程的应用)贮气筒的容积为100 L，贮有温度为27 ℃、压强为30 atm的氢气，使用后温度降为20 ℃，压强降为20 atm，求用掉的氢气占原有气体的百分比？ 答案 31.7% 解析 解法一：选取筒内原有的全部氢气为研究对象，且把没用掉的氢气包含在末状态中，则初状态p1＝30 atm，V1＝100 L，T1＝300 K；末状态p2＝20 atm，V2＝？，T2＝293 K，根据 p1V1p2V2 ＝得 T1T2 p1V1T230×100×293V2＝＝ L＝146.5 L。 p2T120×300 用掉的占原有的百分比为 V2－V1146.5－100×100%＝×100%＝31.7%。 V2146.5 解法二：取剩下的气体为研究对象 初状态：p1＝30 atm，体积V1＝？，T1＝300 K， 末状态：p2＝20 atm，体积V2＝100 L，T2＝293 K， 由 p1V1p2V2p2V2T120×100×300 ＝得V1＝＝ L＝68.3 L， T1T2p1T230×293 - 18 - 用掉的占原有的百分比 V2－V1100－68.3 ×100%＝×100%＝31.7%。 V2100 9. (气体关联问题)一圆柱形汽缸直立在地面上，内有一具有质量而无摩擦的绝热活塞，把汽缸分成容积相同的A、B两部分，如图所示，两部分气体温度相同，都是T0＝27 ℃，A部分气体压强pA0＝1.0×10 Pa，B部分气体压强pB0＝2.0×10 Pa。现对B部分的气体加热，使2 活塞上升，使A部分气体体积减小为原来的。求此时： 3 5 5 (1)A部分气体的压强pA； (2)B部分气体的温度TB。 答案 (1)1.5×10 Pa (2)500 K 解析 (1)A部分气体等温变化， 23 由玻意耳定律：pA0V＝pA·V，所以pA＝pA0， 32把pA0＝1.0×10 Pa代入得pA＝1.5×10 Pa。 (2)B部分气体： 初态：pB0＝2.0×10 Pa，VB0＝V，TB0＝T0＝300 K， 末态：pB＝pA＋(pB0－pA0)＝2.5×10 Pa， 5 5 5 5 5 VB＝V＋V＝V， 由理想气体状态方程 1 343 pB0VB0pBVB＝， TB0TB45 300×2.5×10×V3TB0pBVB所以TB＝＝ K＝500 K。 5pB0VB02.0×10×V10．(变质量问题)一容器容积为8.2 L，内装气体120 g，温度为47 ℃。因容器漏气，5 经若干时间后压强降为原来的，温度降为27 ℃。问在该过程中一共漏掉多少克气体？ 8 答案 40 g - 19 - 解析 选容器内装的质量m＝120 g气体为研究对象，设漏气前的压强为p1，已知漏气前的体积V＝8.2 L，温度T1＝320 K；设想一个体积为ΔV的真空袋与容器相通，容器内泄漏的质量为Δm的气体全部进入袋内后，容器和袋内气体的总质量仍为m(如图所示)，这时容器和袋内气体的压强设为p2，体积为V＋ΔV，温度为T2＝300 K。 根据理想气体的状态方程有 p1Vp2V＋ΔV＝① T1T2 因为容器和袋内气体密度相同， 所以有即 m－Δm V＋ΔVV＝ mm－ΔmV＝② mV＋ΔV联立①②两式，代入数据解得 Δm＝1－ p2T1m＝40 g。 p1T2 11．(综合)如图为一简易火灾报警装置。其原理是：竖直放置的试管中装有水银，当温度升高时，水银柱上升，使电路导通，蜂鸣器发出报警的响声。27 ℃时，空气柱长度L1为20 cm，水银上表面与导线下端的距离L2为10 cm，管内水银柱的高度h为13 cm，大气压强p0＝75 cmHg。 (1)当温度达到多少摄氏度时，报警器会报警？ (2)如果要使该装置在87 ℃时报警，则应该再往玻璃管内注入多高的水银柱？ 答案 (1)177 ℃ (2)8 cm 解析 (1)根据等压变化得：＝， T1V1 T2V2 T1＝300 K，V1＝L1S，V2＝(L1＋L2)S， 得：T2＝T1＝450 K，则：t2＝177 ℃。 - 20 - V2V1 (2)设加入高x cm的水银柱，在87 ℃时会报警，根据理想气体状态方程得：初态：p1＝p0＋13 cmHg＝88 cmHg，V1＝L1S，T1＝300 K， 末态：p3＝(88＋x) cmHg， p1V1p3V3 ＝， T1T3 T3＝(273＋87) K＝360 K， V3＝(L1＋L2－x)S， 代入数据得：x＝8。 即应再往玻璃管内注入8 cm水银柱。 - 21 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容