一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若复数z满足𝑧(2−𝑖)=11+7𝑖，则𝑧=( )
A. 3+5𝑖 B. 3−5𝑖 C. −3+5𝑖 D. −3−5𝑖
2. 下列命题中，真命题是( )
A. 存在C. 任意
B. D.
是的充分条件
的充要条件是
3. 函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥的图象在点(3,𝑓(3))处的切线的倾斜角为( )
A. 2
𝜋
B. 0 C. 钝角 D. 锐角
4. 一个三棱锥的三视图如图所示．则该三棱椎的表面积是( )
A. 2+√3
5. 将函数
B. 1+√3 C. 1+2√2 D. 2√2
𝜋
的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6
个单位，所得函数的图象的一条对称轴为( )
A. 𝑥=9
𝜋
B. 𝑥=8
𝜋
C. 𝑥=2
𝜋
D. 𝑥=𝜋
6. 已知函数𝑓(𝑥)的定义域为，其导函数𝑓＇(𝑥)的图象如图所示，则对于任意
，下列结论正确的是( )
①②③
恒成立；
； ；
④>；
⑤<．
A. ①③ B. ①③④ C. ②④ D. ②⑤
7. 设直线𝑙1：𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0，𝑙2：𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0，下列命题正确的是( )
1
=2 A. 若𝑙1//𝑙2，则𝐵1
𝐵21
⋅2=−1 C. 若𝑙1⊥𝑙2，则𝐵1
𝐵2
𝐴𝐴
B. 若𝐴1𝐵2=𝐴2𝐵1，则𝑙1//𝑙2 D. 若𝐴1𝐴2+𝐵1𝐵2=0，则𝑙1⊥𝑙2
𝐴𝐴
8. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎2=3，𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1−𝑎𝑛，𝑛∈𝑁∗，利用如
图所示的程序框图计算该数列的第n项(𝑛≥3)，若输出S的结果为1，则判断框内的条件可能是( )
A. 𝑛≤5？ B. 𝑛≤6？ C. 𝑛≤7？ D. 𝑛≤8？
9. 已知函数𝑓(𝑥)=(2−𝑎)(𝑥−1)−2𝑙𝑛𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥𝑒1−𝑥(𝑎∈𝑅,e为自然对数的底数)，若对任意
给定的𝑥0∈(0,𝑒]，在(0,𝑒]上总存在两个不同的𝑥𝑖(𝑖=1,2)，使得𝑓(𝑥𝑖)=𝑔(𝑥0)成立，则a的取值范围是( )
A. (−∞,C. (
2𝑒−2𝑒
2𝑒−5
] 𝑒−1
B. (−∞,
2𝑒−2𝑒
] )
,2)
D. [𝑒−1,
2𝑒−52𝑒−2
𝑒
10. 已知函数𝑓(𝑥)的导函数
范围是( )
=𝑎(𝑥+1)(𝑥−𝑎)，若𝑓(𝑥)在𝑥=𝑎处取得极小值，则 a的取值
A.
B.
C. −1<𝑎<0 D. 𝑎>0或𝑎<−1
11. 设𝑦=𝑙𝑛𝑥−8𝑥2，则此函数在区间(4,2)和(1,+∞)内分别( )
11
A. 单调递增，单调递减 C. 单调递减，单调递增
12. 已知椭圆
𝑥24
B. 单调递增，单调递增 D. 单调递减，单调递减
𝑥28
+
𝑦2𝑛
=1与双曲线−
𝑦2𝑚
=1有相同的焦点，则动点𝑃(𝑛,𝑚)的轨迹为( )
A. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥，则𝑓′(𝑥) ______ ．
1
B. 双曲线的一部分 D. 直线的一部分
14. 某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样的方法从中抽
取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为______．
15. 在区间[−2√3,2√3]上随机取一个数k，使直线𝑦=𝑘𝑥+2与圆𝑥2+𝑦2=1相交的概率为______． 16. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑎𝑥+1的图象在点(1,𝑓(1))处的切线斜率为a，则𝑎=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知函数𝑓(𝑥)=4𝑎𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥，(𝑎∈𝑅)．
(1)若𝑎=4，当𝑥∈(0,𝜋)时，证明：𝑓(𝑥)<2； (2)若当𝑥∈[0,+∞)时，𝑓(𝑥)≥0，求a的取值范围．
18. 一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个
陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间𝑡(分钟)和答对人数y的统计表格如下： 时间𝑡(分钟) 10 答对人数y 98 lgy 1.99 20 70 1.85 30 52 1.72 40 36 1.56 50 30 1.48 60 20 1.30 70 15 1.18 80 11 1.04 90 5 0.7 100 5 0.7 1
𝜋
时间t与答对人数y的散点图如图：
附：∑𝑡𝑖2=38500，∑𝑦𝑖=342，∑𝑙𝑔𝑦𝑖=13.5，∑𝑡𝑖𝑦𝑖=10960，∑𝑡𝑖𝑙𝑔𝑦𝑖=620.9，对于一组数据(𝑢1,𝑣1)，(𝑢2,𝑣2)，……，(𝑢𝑛,𝑣𝑛)，其回归直线𝑣=𝛼+𝛽𝑢的斜率和截距的最小二乘估计分别̂=为：𝛽
∑𝑛𝑖=1𝑢𝑖𝑣𝑖−𝑛𝑢𝑣
−22∑𝑛𝑖=1𝑢𝑖−𝑛𝑢
−−
−−
̂𝑢，𝛼̂=𝑣−𝛽.请根据表格数据回答下列问题：
(1)根据散点图判断，𝑦=𝑎𝑡+𝑏与𝑙𝑔𝑦=𝑐𝑡+𝑑，哪个更适宣作为线性回归类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果，建立y与t的回归方程；(数据保留3位有效数字)
(3)根据(2)请估算要想记住75%的内容，(参考数据：𝑙𝑔2≈0.3，至多间隔多少分钟重新记忆一遍．𝑙𝑔3≈0.48)
19. 在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐．
(𝐼)已知_______，计算△𝐴𝐵𝐶的面积；
请从①𝑎=√7，②𝑏=2，③𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐵这三个条件中任选两个，将问题(𝐼)补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．
(Ⅱ)求𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐶的最大值．
20. (本小题满分12分)
如图示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC中点，且
．
(1)求证：；
(2)求直线BD与面𝐴ＣＤ所成角的大小．
21. 已知椭圆𝐶：+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的上顶点B到两焦点的距离和为4，离心率𝑒=𝑎2𝑥2
𝑦2
√3 2
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若点A为椭圆C的右顶点，过点A作相互垂直的两条射线，与椭圆C分别交于不同的两点M，𝑁(𝑀,N不与左、右顶点重合)，试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑥+1．
(1)求𝑓(𝑥)的单调区间和极值；
(2)设𝑎≥1，函数𝑔(𝑥)=𝑥2−3𝑎𝑥+2𝑎2−5，若对于任意𝑥0∈(0,1)，总存在𝑥1∈(0,1)，使得𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥0)成立，求a的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：∵𝑧(2−𝑖)=11+7𝑖， ∴𝑧===
11+7𝑖2−𝑖
(11+7𝑖)(2+𝑖)(2−𝑖)(2+𝑖)
22+14𝑖+11𝑖+7𝑖2
5
=3+5𝑖． 故选A．
由𝑧(2−𝑖)=11+7𝑖，知𝑧=
11+7𝑖2−𝑖
，再利用复数的代数形式的乘除运算，能求出z．
本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2.答案：B
解析：试题分析：A项：
；D项：
;𝐵项：，但
是
的充分条件，正确；C项：，错误.故选B．
考点：1.命题的真假；2.充要条件；3.指、对函数单调性．
3.答案：C
解析：解：由题意得，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑒𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)， ∴在点(3,𝑓(3))处的切线的斜率是𝑘=𝑒3(𝑠𝑖𝑛3+𝑐𝑜𝑠3)， ∵𝑠𝑖𝑛3+𝑐𝑜𝑠3=√2sin(3+4)<0， ∴𝑘=𝑒3(𝑠𝑖𝑛3+𝑐𝑜𝑠3)<0， 则对应切线的倾斜角是钝角， 故选C．
由求导公式和法则求出导数，把𝑥=3代入再求出切线的斜率，再由两角和的正弦公式化简，判断出斜率的符号，即得答案．
本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率的关系，以及两角和的正弦公式应用，主要利用
𝜋
某点处的切线的斜率是该点出的导数值．
4.答案：A
解析：解：由三视图还原原几何体如下：
该几何体为三棱锥，其中△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐶𝐷为全等的等腰直角三角形， 𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐷=𝐶𝐷=√2，侧面𝐴𝐵𝐶⊥底面BCD， 则𝑆△𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×√2×√2=1，
由三视图可得，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐷𝐶是边长为√2的等边三角形， 则𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐶=×√2×√2×𝑠𝑖𝑛60°=√．
22∴该三棱椎的表面积是2+√3． 故选：A．
由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中△𝐴𝐵𝐶，△𝐵𝐶𝐷为全等的等腰直角三角形，△𝐴𝐵𝐷与△𝐴𝐷𝐶是边长为√2的等边三角形，由三角形面积公式求解． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
1
31
5.答案：C
解析：
本题考查三角函数的平移变换，以及余弦函数的性质，属于基础题．
通过函数𝑦=cos(𝑥−3)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可．
函数𝑦=cos(𝑥−3)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为𝑦=cos(2𝑥−
𝜋3
𝜋
1
𝜋
)，
再向左平移6个单位得到函数为𝑦=cos(2𝑥−3+12)=cos(2𝑥−4)， 所得函数的图象的一条对称轴为𝑥=2． 故选C．
𝜋
𝜋1𝜋𝜋1𝜋
6.答案：D
解析：试题分析：由导函数的图象可知，导函数𝑓′(𝑥)的图象在x轴下方，即𝑓′(𝑥)<0，故原函数为减函数，并且是递减的速度是先快后慢，所以函数的图像称下凸形状。 𝑓(𝑥)<0恒成立，没有依据，故①不正确；
②表示(𝑥1−𝑥2)与[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]异号，即𝑓(𝑥)为减函数．故②正确； ③表示(𝑥1−𝑥2)与[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]同号，即𝑓(𝑥)为增函数．故③不正确，
④⑤左边边的式子意义为𝑥1，𝑥2中点对应的函数值，右边式子代表的是函数值得平均值，因为图像为下凸的，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤.故选D． 考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义。
点评：本题为导函数的应用，由导函数的图象推出原函数应具备的性质，利用数形结合是解决问题的关键，属基础题．
7.答案：D
解析：解：直线𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0的方向向量为(−𝐵1,𝐴1)， 直线𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0的方向向量为(−𝐵2,𝐴2)，
12
当𝑙1//𝑙2时，𝐵1与𝐵2可能都等于0，故“则𝐵=𝐵”不一定成立，故A不正确．
1
2
𝐴𝐴
𝐴1𝐵2=𝐴2𝐵1，不能说明𝑙1//𝑙2，可能两条直线重合，所以B不正确， 两条直线𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0，𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0垂直， 就是两条直线的方向向量的数量积为0， 即：(−𝐵1,𝐴1)(−𝐵2,𝐴2)=0， 可得𝐴1𝐴2+𝐵1𝐵2=0， 故D正确，C错误； 故选：D．
分别根据直线的平行和垂直判断即可．
本题考查了两条直线平行与垂直的充要条件，涉及直线的向量以及方向向量，数量积的应用，考查
了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.答案：A
解析：解：由框图知，
第一次循环得到𝑆=2，𝑥=3，𝑦=2，𝑛=2； 第二次循环得到𝑆=−1，𝑥=2，𝑦=−1，𝑛=3； 第三次循环得到𝑆=−3，𝑥=−1，𝑦=−3，𝑛=4； 第四次循环得到𝑆=−2，𝑥=−3，𝑦=−2，𝑛=5； 第五次循环得到𝑆=1，𝑥=−2，𝑦=1，𝑛=6；输出， ∴𝑛≤5 故选A．
由框图，写出前几次循环的结果，直到出现𝑆=1时，结束循环，得到判断框中的条件．
本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，当型结构是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件算法结束，是基础题．
9.答案：A
解析：
本题考查利用导函数的正负确定函数的单调性，根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，不等式恒成立时所满足的条件．
根据任意给定的𝑥0∈(0,𝑒]，在区间(0,𝑒]上总存在两个不同的𝑥𝑖(𝑖=1,2)，使得𝑓(𝑥𝑖)=𝑔(𝑥0)成立，得到函数𝑓(𝑥)在区间(0,𝑒]上不单调，从而求得a的取值范围． 解：∵𝑔′(𝑥)=(1−𝑥)𝑒1−𝑥，
∴𝑔(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1,𝑒]上单调递减， 又因为𝑔(0)=0，𝑔(1)=1，𝑔(𝑒)=𝑒2−𝑒>0， ∴𝑔(𝑥)在(0,𝑒]上的值域为(0,1]．
2=𝑥2
𝑓′(𝑥)=2−𝑎−
2
2
(2−𝑎)(𝑥−2−𝑎)
𝑥2
,𝑥∈(0,𝑒],
2
当𝑥=2−𝑎时，𝑓′(𝑥)=0，应有𝑓(𝑥)在𝑥=2−𝑎处取得最小值𝑓(2−𝑎)=𝑎−2𝑙𝑛2−𝑎， 由题意知，𝑓(𝑥)在(0,𝑒]上不单调，所以0<2−𝑎<𝑒，解得𝑎<
2
2𝑒−2𝑒
，
所以对任意给定的𝑥0∈(0,𝑒]，在(0,𝑒]上总存在两个不同的𝑥𝑖(𝑖=1,2)，使得𝑓(𝑥𝑖)=𝑔(𝑥0)成立， 当且仅当a满足条件𝑓(2−𝑎)≤0且𝑓(𝑒)≥1
因为𝑓(1)=0，所以𝑓(2−𝑎)≤0恒成立，由𝑓(𝑒)≥1解得𝑎≤综上所述，a的取值范围是(−∞,故选：A．
2𝑒−5𝑒−1
2
2𝑒−5𝑒−1
2
]．
10.答案：D
解析：本题主要考查导数和极值的关系，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，根据函数导数的定义和性质即可得到结论． 解：由𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)(𝑥−𝑎)=0， 解得𝑎=0或𝑥=−1或𝑥=𝑎，
若𝑎=0，则𝑓′(𝑥)=0，此时函数𝑓(𝑥)为常数，没有极值，故𝑎≠0．
若𝑎=−1，则𝑓′(𝑥)=−(𝑥+1)2≤0，此时函数𝑓(𝑥)单调递减，没有极值，故𝑎≠−1． 若𝑎<−1，由𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)(𝑥−𝑎)>0得𝑎<𝑥<−1此时函数单调递增，
由𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)(𝑥−𝑎)<0得𝑥<𝑎或𝑥>−1此时函数单调递减，即函数在𝑥=𝑎处取到极小值，满足条件．
若−1<𝑎<0，由𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)(𝑥−𝑎)>0得−1<𝑥<𝑎此时函数单调递增，
由𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)(𝑥−𝑎)<0得𝑥<−1或𝑥>𝑎，此时函数单调递减，即函数在𝑥=𝑎处取到极大值，不满足条件．
若𝑎>0，由𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)(𝑥−𝑎)>0得𝑥<−1或𝑥>𝑎此时函数单调递增，
由𝑓′(𝑥)=𝑎(𝑥+1)(𝑥−𝑎)<0得−1<𝑥<𝑎，此时函数单调递减，即函数在𝑥=𝑎处取到极小值，满足条件．
综上：𝑎<−1或𝑎>0， 故选D．
11.答案：D
解析：
本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于基础试题．
先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求得单调区间，即可得出结论．
解：由题意可得，函数的定义域为(0,+∞) 对函数求导可得，𝑦′=𝑥−16𝑥=令𝑦′>0可得−4<𝑥<4， ∴函数的单调递增区间为(0,4)， 令𝑦′<0可得𝑥<−4或𝑥>4， ∴函数的单调递减区间为(4,+∞)． 故选D．
1
1
11
1
11
(1−4𝑥)(1+4𝑥)
𝑥
，
12.答案：D
解析：解：∵椭圆
𝑥24
+
𝑦2𝑛
=1与双曲线8−𝑚=1有相同的焦点，
𝑥2𝑦2
∴4−𝑛=8+𝑚，即𝑚+𝑛+4=0(0<𝑛<4)，这是直线的一部分， 故选：D．
由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m和n的关系即可． 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征的简单性质，属基础题．解答的关键是对圆锥曲线的定义与标准方程的正确理解．
13.答案：
𝑥2−1𝑥2
．
解析：解：∵函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥，∴𝑓′(𝑥)=1−故答案为：
𝑥2−1𝑥211𝑥2
=
𝑥2−1𝑥2
．
．
利用导数的运算法则即可得出．
本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
14.答案：20
解析：解：每个个体被抽到的概率等于700=10，200×10=20， 故答案为20．
先求出每个个体被抽到的概率，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，等于该层应抽取的个体数．
本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，等于该层应抽取的个体数．
7011
15.答案：2
解析：解：由直线𝑦=𝑘𝑥+2与圆𝑥2+𝑦2=1相交， 则√1+𝑘2<1，
解得：𝑘<−√3或𝑘>√3， 又−2√3≤𝑘≤2√3，
所以−2√3≤𝑘<−√3或√3<𝑘≤2√3，
设“直线𝑦=𝑘𝑥+2与圆𝑥2+𝑦2=1相交”为事件A， 由几何概型中的线段型可得： 𝑃(𝐴)=
(2√3−√3)+[(−√3)−(−2√3)]2√3−(−2√3)1
21
=2，
1
故答案为：2 由直线与圆的位置关系得：√1+𝑘2<1，解得：𝑘<−√3或𝑘>√3，又−2√3≤𝑘≤2√3，所以−2√3≤𝑘<−√3或√3<𝑘≤2√3，由几何概型中的线段型得：𝑃(𝐴)=
(2√3−√3)+[(−√3)−(−2√3)]2√3−(−2√3)2=2，得解．
1
本题考查了直线与圆的位置关系及几何概型中的线段型，属中档题．
16.答案：−1
解析：解：函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑎𝑥+1的导数为𝑓′(𝑥)=𝑎𝑒𝑎𝑥+1， 可得图象在点(1,𝑓(1))处的切线斜率为𝑎𝑒𝑎+1=𝑎， 可得𝑒𝑎+1=1，解得𝑎=−1． 故答案为：−1．
求出函数的导数，令𝑥=1，求得切线的斜率，解方程可得a．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．
𝑓(𝑥)=𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑓′(𝑥)=1−𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥， (1)证明：𝑥∈(0,𝜋)，解：若𝑎=4，17.答案：222𝑓″(𝑥)=−2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥.当𝑥∈(0,2)时，𝑓′(𝑥)单调递减；当𝑥∈(2,𝜋)时，𝑓′(𝑥)单调递增；
∴(𝑓′(𝑥))𝑚𝑖𝑛=𝑓′(2)=1−4>0.∴𝑓(𝑥)在𝑥∈(0,𝜋)上单调递增，∴𝑓(𝑥)<𝑓(𝜋)=𝜋−2=2， 故𝑓(𝑥)<2；
(2)解：𝑓(𝑥)≥0⇔2𝑎𝑥(2+𝑐𝑜𝑠𝑥)−𝑠𝑖𝑛𝑥≥0⇔2𝑎𝑥−≥0．
2+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑔′(𝑥)=2𝑎−ℎ(𝑡)=𝑥≥0，𝑡∈[−1,1]，ℎ′(𝑥)=令𝑔(𝑥)=2𝑎𝑥−2+𝑐𝑜𝑠𝑥，，令𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑡，，(2+𝑐𝑜𝑠𝑥)2(2+𝑡)22(1−𝑡)(2+𝑡)2
𝑠𝑖𝑛𝑥
2𝑐𝑜𝑠𝑥+1
2𝑡+1
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
1
𝜋
𝜋
1
1
1
1
≥0，
1
∴ℎ(𝑡)在𝑡∈[−1,1]，上单调递增．∴ℎ(−1)≤ℎ(𝑥)≤ℎ(1)，即−1≤ℎ(𝑡)≤3．
①当2𝑎≥3，即𝑎≥6时，𝑔′(𝑥)≥0，𝑔(𝑥)在[0,+∞)上单调递增，所以𝑔(𝑥)≥𝑔(0)=0满足条件； ②当2𝑎≤0，即𝑎≤0时，𝑔(2)=𝜋𝑎−2<0，显然不满足条件； ③当0<2𝑎<3，即0<𝑎<6时，若𝑥∈(0,2)，𝑔(𝑥)<2𝑎𝑥−
1
𝜋
1
1
1
1
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑥3
𝜋
1
1
1
．
令𝛷(𝑥)=2𝑎𝑥−3𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈(0,2)，𝛷′(𝑥)=2𝑎−3𝑐𝑜𝑠𝑥=3(6𝑎−𝑐𝑜𝑠𝑥)，6𝑎∈(0,1)， 故存在𝑥0，使𝑥∈(0,𝑥0)时，𝛷′(𝑥)<0，即𝛷(𝑥)在(0,𝑥0)上单调递减，所以𝛷(𝑥)<𝛷(0)=0． 即𝑥∈(0,𝑥0)，𝑔(𝑥)<𝛷(𝑥)<0，故不满足条件． 综上，a的取值范围是[6,+∞)．
1
解析：(1)先求导，再判断其单调性，证明结果；
(2)先对函数求导，利用换元，再求导讨论求出a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18.答案：解：(1)根据散点图判断，𝑙𝑔𝑦=𝑐𝑡+𝑑更适作为线性回归类型；
10(2)根据(1)的判断结果，计算𝑡=10∑10𝑖=1𝑡𝑖=55，𝑙𝑔𝑦𝑖=10∑𝑖=1(𝑙𝑔𝑦𝑖)=1.35；
−
1
−
1
𝑐=
̂
∑10𝑖=1𝑡𝑖𝑙𝑔𝑦𝑖−10×𝑡𝑙𝑔𝑦𝑖
−22∑10𝑖=1𝑡𝑖−10𝑡
−−
=
620.9−10×55×1.3538500−10×552=−0.0147，
𝑑=𝑙𝑔𝑦−𝑐𝑡=1.35−(−0.0147)×55=2.16， 所以𝑙𝑔𝑦=−0.0147𝑡+2.16，
所以y与t的回归方程为𝑦=10−0.0147𝑡+2.16；
(3)回归方程𝑦=10−0.0147𝑡+2.16中，令𝑦=75，10−0.0147𝑡+2.16=75， 得−0.0147𝑡+2.16=𝑙𝑔75，
又𝑙𝑔75=𝑙𝑔3+2𝑙𝑔5=𝑙𝑔3+2(1−𝑙𝑔2)=0.48+2×(1−0.3)=1.88； 所以−0.0147𝑡=1.88−2.16，解得𝑡=19.0
所以估算要想记住75%的内容，至多间隔19.0分钟重新记忆一遍．
̂
−
̂−
解析：(1)由散点图成线性分布，即可得出判断；
(2)先建立lgy关于t的线性回归方程，再求y关于t的回归方程； (3)由(2)回归方程计算𝑦=75时t的值即可．
本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题，准确的计算是解题的关键，是中档题．
19.答案：解：(Ⅰ)若选②𝑏=2，③𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐵．
∵𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐵，∴𝑐=2𝑏=4， ∵𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐，∴𝑐𝑜𝑠𝐴=
12
12
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
=2，又∵𝐴∈(0,𝜋)，∴𝐴=3．
32
1
𝜋
∴△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=×2×4×√=2√3． 若选①𝑎=√7，②𝑏=2.由𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐可得𝑐=3， ∵𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐，∴𝑐𝑜𝑠𝐴=
1
1
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
=2，又∵𝐴∈(0,𝜋)，∴𝐴=3．
33√3． 2
1
𝜋
∴△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=×2×3×√=
222 若选①𝑎=√7，③𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐵 ∵𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐵，∴𝑐=2𝑏，
又𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐，∴𝑏2+4𝑏2=7+2𝑏2，可得𝑏=√，𝑐=
3∴△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆=𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=×√×
223
𝜋
1
1
212√213
212√213
=3．
𝜋
𝜋
1
7
(Ⅱ)∵𝐴=3.∴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑐𝑜𝑠𝐵+cos[𝜋−(𝐵+3)]=𝑐𝑜𝑠𝐵−cos(𝐵+3)=𝑐𝑜𝑠𝐵−2𝑐𝑜𝑠𝐵+
√3𝑠𝑖𝑛𝐵 2
1𝜋√3=𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐵=sin(𝐵+) 226
∵0<𝐵<𝜋，∴sin(𝐵+6)≤1，
32
𝜋
故𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐶的最大值为1..
解析：【试题解析】
(Ⅰ) 选②𝑏=2，③𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐵.可得𝑐=2𝑏=4，结合𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐，求得𝐴=3.即可． 若选①𝑎=√7，②𝑏=2.由𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐可得𝑐=3由𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐，求得𝐴=3.即可． 若选①𝑎=√7，③𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐵，可得𝑐=2𝑏，又𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐，可得𝑏=√，𝑐=
3
𝜋3
𝜋3
12
3221
2√21
即可； 3𝜋𝜋
(Ⅱ)𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐶=𝑐𝑜𝑠𝐵+cos[𝜋−(𝐵+)]=𝑐𝑜𝑠𝐵−cos(𝐵+)=𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑐𝑜𝑠𝐵+√𝑠𝑖𝑛𝐵=
1
𝑐𝑜𝑠𝐵+2
√3
𝑠𝑖𝑛𝐵2
=sin(𝐵+6)≤1即可．
𝜋
本题考查了正余弦定理，三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题．
20.答案：(1)∵𝐵𝐷是底面圆直径，∴
从而
面
(2)
，又
面
，
面
∴，
，
解析：试题分析：(1)证明：∵𝐵𝐷是底面圆直径， ∴又∴从而，
面
，……２分
，，……４分 面
；…………5分
，
面
，
(2)连接ＤＥ，由(１)知
又E是AC中点，则
，所以，
面
，
.………７分
，………９分 为直角三角形．
于是，直线BD与面𝐴ＣＤ所成角为而又而
，所以面
，则
，即，则
。…………12分
考点：本题考查了圆柱中线面关系
点评：空间几何体中的线面角一般都是利用定义作出角，然后再直角三角形中求出即可
2𝑎=4
21.答案：解：(Ⅰ)由题意知：{𝑒=𝑎=
所以椭圆的标准方程是
𝑥24
𝑐
𝑎2=𝑏2+𝑐2
√32
，解得𝑎=2,𝑏=1,𝑐=√3，
+𝑦2=1，
(Ⅱ)设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，
当直线MN的斜率不存在时，𝑀𝑁⊥𝑥轴，△𝑀𝑁𝐴为等腰直角三角形，∴|𝑦1|=|2−𝑥1|， 又
2𝑥1
4
2+𝑦1=1，
6
解得：𝑥1=5，
此时，直线MN过点(5,0)，
当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑚， 由方程组{
𝑦=𝑘𝑥+𝑚
𝑥2
+𝑦2=146
，得(1+4𝑘2)𝑥2+8𝑘𝑚𝑥+4𝑚2−4=0，
△=(8𝑘𝑚)2−4(1+4𝑘2)(4𝑚2−4)>0，
整理得4𝑘2−𝑚2+1>0， 则𝑥1+𝑥2=−
8𝑘𝑚1+4𝑘
2,𝑥1𝑥2=
4𝑚2−41+4𝑘2
，
由已知𝐴𝑀⊥𝐴𝑁，且椭圆的右顶点为(2,0)，
所以(𝑥1−2)(𝑥2−2)+𝑦1𝑦2=0，𝑦1𝑦2=(𝑘𝑥1+𝑚)(𝑘𝑥2+𝑚)=𝑘2𝑥1𝑥2+𝑘𝑚(𝑥1+𝑥2)+𝑚2， 所以(𝑥1−2)(𝑥2−2)+𝑦1𝑦2=(1+𝑘2)𝑥1𝑥2+(𝑘𝑚−2)(𝑥1+𝑥2)+𝑚2+4=0， 即(1+𝑘2)
4𝑚2−41+4𝑘2
+(𝑘𝑚−2)⋅1+4𝑘2+𝑚2+4=0，
−8𝑘𝑚
整理得5𝑚2+16𝑘𝑚+12𝑘2=0，
解得：𝑚=−2𝑘或𝑚=−5𝑘，均满足△>0，
当𝑚=−2𝑘时，直线l的方程𝑦=𝑘𝑥−2𝑘过顶点(2,0)，与题意矛盾舍去， 当𝑚=−5𝑘时，直线l的方程𝑦=𝑘(𝑥−5)过定点(5,0)， 故直线过定点，且定点是(5,0)．
6
6
6
6
6
2𝑎=4
解析：(Ⅰ)由利用已知条件列出{𝑒=𝑎=
𝑐
√32
，求解可得椭圆方程．
6
𝑎2=𝑏2+𝑐2
(Ⅱ)设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，当直线MN的斜率不存在时，推出直线MN过点(5,0)，
当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑚，由方程组{，得(1+4𝑘2)𝑥2+
𝑦=𝑘𝑥+𝑚8𝑘𝑚𝑥+4𝑚2−4=0，△>0，得到4𝑘2−𝑚2+1>0，利用韦达定理，结合𝐴𝑀⊥𝐴𝑁，椭圆的右顶点为(2,0)，通过(𝑥1−2)(𝑥2−2)+𝑦1𝑦2=0，求解当𝑚=−5𝑘时，直线l的方程𝑦=𝑘(𝑥−5)过定点(,0)，推出结果．
56
6
6
𝑥2
+𝑦2=14本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线恒过定点问题，考查转化思想以及计算能力．
22.答案：解：(1)显然函数的定义域为(0,+∞)．
且𝑓′(𝑥)=𝑥−1=
1
1−𝑥𝑥
．
当𝑓′(𝑥)>0时，0<𝑥<1，当𝑓′(𝑥)<0时，𝑥>1．
故𝑓(𝑥)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减．且𝑓(𝑥)极大=𝑓(1)=0，无极小值． (2)由已知得𝑔(𝑥)=(𝑥−
3𝑎2)2
−
𝑎24
−5.因为𝑎≥1，所以2≥2．
3𝑎3
所以函数𝑔(𝑥)在(0,1)上递减，故此时𝑔(𝑥)的值域为(2𝑎2−3𝑎−4,2𝑎2−5)，
由(1)知函数𝑓(𝑥)在(0,1)上递增，且𝑥→0时，𝑙𝑛𝑥→−∞，𝑓(1)=0． 所以此时𝑓(𝑥)的值域为(−∞,0]．
所以由题意可知：2𝑎2−3𝑎−4<2𝑎2−5≤0.结合𝑎≥1 解得1≤𝑎≤√．
210
解析：(1)先求函数的定义域，然后利用导数研究函数的单调区间和极值；
(2)由题意只需𝑔(𝑥)的值域是函数𝑓(𝑥)值域的子集即可．注意它们的定义域都是(0,1)． 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及有恒成立问题的解题思路．属于中档题．
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