数学中的“或者”与“并且”

湖北省郧西县马鞍镇初级中学 杨耀军 442633

“或者”与“并且”是两个常见的关联词。它们的意义、用法都是不同的。或者：连接几个可能存在的事件,表示选择关系;并且：连接几个同时存在的事件,表示共同关系。在数学中运用极为普遍。因此,对这两个词意的正确理解和区别运用直接影响到数学思想的表达.下面仅举几例说明这两个词的意义和用法。

一、 或者关系

是所要讨论的对象具有多种可能性。这时一般要采取分类讨论的方法解决问题

例1、解方程x 2 －5 x + 6 = 0 解：（x－2）（x－3）=0 X－2=0或 x－3=0

所以x=2或x=3

例2、⊙O中∠AOB＝100°,求圆周角∠ACB的度数。 解：如图1，根据圆周角定理∠ACB=∠AOB=50°

如图2，∠ACB=

12（360°－∠AOB）=130°

所以∠ACB=50°或者130°。 注意：同圆中，一条弦所对的圆周角可以可分为两类,它们相等或互补。而互补这种可能性容易被我们忽略

例3、已知等腰三角形的腰上的高等于腰长的一半，求顶角的度数。 解：如图3，三角形的高BD在三角形的内部时，∠A=30°

如图4，高BD在三角形的外部时，易求出∠DAB=30°， ∠CAB=180°－30°=150°， 所以顶角的度数为30°或150°。

注意：在三角形的形状不确定

的情况下三角形的高有几种不同的情况

例 4、已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠OAB=3∠OAD, AE⊥BD于E, 求∠BAE的度数.

(本题虽然有字母描述,但是没有确切的图形,经过分析符合题意的图形应该有两个.如图5、6,所以符合题意的答案应该有两个:22.5°或者67.5°)

二、 并且关系

是指研究对象同时具有几种共同的属性。这时要把几个对象联合起来分析问题。常见于解方程组和不等式组。

例5、解方程组2xy6和不等式组x20

3x2y10314x9三、 或者关系与并且关系的联合运用

常见于一个问题中的对象既具有“或者”关系又具有“并且”关系。有时还是互相转化的，因此比较难于把握。

例6、求函数y =

3x9x2自变量的取值范围

16 解: 由题意得 3x90(1)x2160(2)

由（1）得x ≥－ 3 ,由（2）得x ≠±4,

所以自变量x 的取值范围是x ≥－3 ,并且x ≠4 例7、解不等式

2x3＞0

x1 解:由题意得2x30 或者2x30x10

x10 解这两个不等式组得 x＜－

32 或者 x ＞1,

所以原不等式的解集为 x＜－32 或者 x ＞1

注意：一个复杂的问题可以化为几个简单问题来讨论,它体现了分类讨论和转化的数学思想,但是表达这种思想要用好这两个词。方程组、不等式组是我们所熟悉的并且关系,这里不多阐述。

例8、已知a 、b 、c 是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,且一元二次方程 (b－c) x 2－2 (a－c) x＋a－c =0有两个相等的实根。试判断△ABC的形状。 解:依题意得bc0(1)4(ac)24(bc)(ac)0(2)

由（1）得b≠c ,由（2）得a=c或a=b, ∴△ABC 是等腰三角形,并且腰与底不相等.

注意：这里我们常常忽略并且关系中的另一方面“b ≠c”

而又容易把 “a=c或a=b”搞成“并且”关系

例9、m 为何值时，函数y =( m+3 ) x 2 m +1

＋ 4 x －1为一次函数 ?

解:由题意得m＋3=0或者2m+1=0或者2m11m340

∴m= －3或者 m= —12 或者m=0时，

函数y =( m+3 ) x 2 m +1

+ 4 x－1为一次函数.

注意：这里有三个“或者”关系和一个“并且”关系,而且是比较隐蔽

的,尤其是2m11m340,需要在对一次函数概念充分理解的基础上进行

周密分析才能得出正确的解答,偏废其中任何一种可能性都是片面的，也是

错误的。

例10、x 为何值时，分式

2x3x2x6有意义

解： 由 x2

＋x－6 = 0 得 x =－3 或者 x = 2 ∴ 当 x ≠－3 并且 x≠2时，分式

2x3x2x6有意义

注意：分式有意义的条件是分母不为零, 因此, 必须除去使分母为零的所有x值。

“或者”的问题实际上是两解或多解的问题.“并且”的问题实际上是如何更准确的定位,这是数学中经常性的问题,两者都要求我们在处理数学问题时全面的、综合的分析,而不能偏废任何一个方面。