2017中考一次函数与反比例函数[含答案]

反比例函数与一次函数综合题

针对演练

1. 已知正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象交于点A，过点

kxA作x轴的垂线，垂足为点P，已知△OAP的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；

(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MA＋MB最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

2. 如图，反比例函数y

2

的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A、B，点A、B的横坐x

标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D. (1)求一次函数的解析式；

2(2)对于反比例函数y，当y＜－1时，写出x的取值范围；

x(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝ 2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，

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nk≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象

x在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤的解集 ．

4. 如图，点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；

(3)若C是x轴上一动点，设t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标．

nx

mx

第4题图

1m5. 如图，直线y1＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝(x>0)的图象

4x交于点P，过点P作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC. (1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式； (2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；

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(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

第5题图

m6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝(x＜0)交于

x点A(－1，n)．

(1)求直线与双曲线的解析式； (2)连接OA，求∠OAB的正弦值；

(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

第6题图

7. 如图，直线y＝

3kx－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k＞0)图象交于点3xC，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.

(1)求点A的坐标； (2)若AE＝AC. ①求k的值；

②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．

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第7题图

8. 如图，已知双曲线y＝经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC. (1)求k的值；

(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； (3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

kx

第8题图

9. 如图，点B为双曲线y＝(x＞0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线y＝x于点A，交xkx轴于点D，双曲线y＝与直线y＝x交于点C，若OB2－AB2＝4. (1)求k的值；

(2)点B的横坐标为4时，求△ABC的面积；

(3)双曲线上是否存在点P，使△APC∽△AOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

kx 专业整理

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第9题图

答案

1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y， ∵△OAP的面积为1，

21

∴xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为y； 2x(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋

MB最小，

2

∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝＝1，

2即点B的坐标为（2,1）.

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又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴2x2， x解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)， ∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，

设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，

kb2k3,解得， 2kb1b55∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝，

3

55

∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(，0)，即点M的坐标为(，0)．

33

第1题解图

22．解：(1)∵反比例函数y＝

x分别为1、－2，

图象上的点A、B的横坐标

∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)， ∵点A(1，2)、B(－2，－1)在一次函数y＝kx＋b的图象上，

kb2k1,解得，∴∴一次函数的解析式为y＝x＋1；

2kb1b1(2)由图象知，对于反比例函数y(3)存在．

对于y＝x＋1，当y＝0时，x＝－1，当x＝0时，y＝1， ∴点D的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，1)， 设点P(m，n)，

11

∵S△ODP＝2S△OCA，∴×1×(－n)＝2××1×1，∴n＝－2，

22

2

，当y＜－1时，x的取值范围是－2＜x＜0； x

2∵点P(m，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ ， ∴m＝－1，

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∴点P的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6， ∴OA＝3，OD＝2.

∴A(3，0)，B(0，6)，D(－2，0)． 将点A(3，0)和B(0，6)代入y＝kx＋b得，

3kb0k2,解得， b6b6∴一次函数的解析式为y＝－2x＋6. ……………………(3分) 将x＝－2代入y＝－2x＋6，得y＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C的坐标为(－2，10)．

nn将点C(－2，10)代入y＝，得10＝，解得n＝－20，

x2∴反比例函数的解析式为y20；………………………(5分) xy2x620, (2)将两个函数解析式组成方程组，得yx解得x1＝－2，x2＝5. ………………………………………(7分) 将x＝5代入y204, x∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)

【解法提示】不等式kx＋b≤的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是－2≤x＜0或x≥5.

nxm4．解：(1)∵点A(－2，n)，B(1，－2)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的

x图象的两个交点，

2∴m＝－2，∴反比例函数解析式为y，∴n＝1，∴点A(－2，1)，

x将点A(－2，1)，B(1，－2)代入y＝kx＋b，得

2kb1k1,解得， kb2b1∴一次函数的解析式为y＝－x－1；

(2)结合图象知：当－2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；

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(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′延长交x轴于点C，则点C即为所求， ∵A(－2，1)， ∴A′(－2，－1)，

设直线A′B的解析式为y＝mx＋n，

1m12mn3,解得，

2mnn5315

∴y＝－x－，

33令y＝0，得x＝－5， 则C点坐标为(－5，0)，

∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.

第4题解图

1

5．解：(1)∵一次函数y1＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，

4∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB， ∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，

∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝，得m＝8，

mx8∴反比例函数的解析式为y＝；

x2

(2)x>4；

【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.

(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E， ∵四边形BCPD为菱形，

∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，

8将D(8，1)代入反比例函数y，D点坐标满足函数关系式，

x即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时

D点坐标为(8，1)．

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第5题解图

6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)， ∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4， ∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，

∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，

5my将A(－1，－5)代入y＝(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为；

xx

(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，

∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4， ∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

OMOM∴在△OMB中，sin45°＝＝，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，

OB4OM22213

∴在△AOM中，sin∠OAB＝＝＝；

OA1326

第6题解图

(3)存在．

如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1， ∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42， 又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°， ∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，

24OBBAOBBA42

∴＝或＝，即＝或＝， BCCDDCBCCDDC4242

∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)， ∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．

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3

7．解：(1)当y＝0时，得0＝x－3，解得x＝3.

3

∴点A的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C作CF⊥x轴于点F. 设AE＝AC＝t, 点E的坐标是(3，t). 在Rt△AOB中， tan∠OAB＝

OB3

＝，∴∠OAB＝30°. OA3

13

在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝t，AF＝AC·cos30°＝t，

22∴点C的坐标是(3＋

31kt，t)．∵点C、E在y＝的图象上， 22x∴(3＋

31

t)×t＝3t，解得t1＝0(舍去)，t2＝23， 22

∴k＝3t＝63； …………………………………………… (5分) ②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下： 由①知，点E的坐标为(3，23)， 设点D的坐标是(x，

3

x－3)， 3

∴x(

3

x－3)＝63，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3， 3

∴点D的坐标是(－3，－23)，

∴点E与点D关于原点O成中心对称．…………………(8分)

第7题解图

kk8．解：(1)∵双曲线y＝经过点D(6，1)，∴＝1，解得k＝6；

x6(2)设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为(6，1)，DB⊥y轴，

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1

∴BD＝6，∴S△BCD＝×6×h＝12，解得h＝4，

2

∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，

6∴点C的纵坐标为1－4＝－3，∴＝－3，解得x＝－2，

x∴点C的坐标为(－2，－3)，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则

1k2kb31,解得2，∴直线CD的解析式为y＝x－2；

26kb1b2(3)AB∥CD.理由如下：

∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点D的坐标为(6，1)，

6设点C的坐标为(c，)，

c∴点A、B的坐标分别为A(c，0)，B(0，1)， 设直线AB的解析式为y＝mx＋n，则

1mmcn0,解得c，

n1n11∴直线AB的解析式为y＝－x＋1，

c设直线CD的解析式为y＝ex＋f，则

16eecfc,解得，c c6f6ef1c1c6x∴直线CD的解析式为y＝－＋， cc1∵AB、CD的解析式中k都等于，

c∴AB与CD的位置关系是AB∥CD. 9．解：(1)设D点坐标为(a，0)，

k∵AB∥y轴，点A在直线y＝x上，B为双曲线y＝(x＞0)上一点，

x∴A点坐标为(a，a)，B点坐标为(a，)，

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∴AB＝a－，BD＝，在Rt△OBD中，OB2＝BD2＋OD2＝()2＋a2，

kakakak22k2

∵OB－AB＝4，∴()＋a－(a－)＝4，

aa2

2

∴k＝2；

(2)如解图，过点C作CM⊥AB于点M，

yx联立2,

yxx2x2解得或（舍去），

y2y2∴C点坐标为(2，2)， 第9题解图 ∵点B的横坐标为4，

117

∴A点坐标为(4，4)，B点坐标为(4，)，∴AB＝4－＝，CM＝4－2，

22211772

∴S△ABC＝CM·AB ＝×(4－2)× ＝7－；

2224(3)不存在，理由如下：

若△APC∽△AOD，∵△AOD为等腰直角三角形， ∴△APC为等腰直角三角形，∠ACP＝90°，

221

∴CM＝AP，设P点坐标为(a，)，则A点坐标为(a，a)，∴AP＝|a－|，

2aa∵C点坐标为(2，2)，

21

∴CM＝|a－2|，∴|a－2|＝|a－|，

2a2222(a2)(a2)(a2)112

∴(a－2)2＝×，即(a－2)＝×，

44a2a22

∴4a－(a＋2)＝0，解得a＝2或a＝－(舍去)，

3

2

2

∴P点坐标为(2，2)，则此时点C与点P重合，所以不能构成三角形，故不存在．

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