卷 别 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 年 份 2017 考题位置 选择题第11题 考查内容 指数式与对数式的互化和对数的运算 对数的运算与大小比较 指数函数与幂函数的大小比较 命题规律分析 基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查．常以选择、填空形式出现，有时难度较大．函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断，零点所在区间等方面．近几年全国卷虽较少考查，江苏 2018 第五题 对数函数的定义域 为做到有备无患，仍需引起足够重视．
考查点一 基本初等函数的图象与性质
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( ) A．b 2013 选择题第8题 2016 选择题第6题 432513B．a 解析：[2，+∞） 根式不小于0，故对数函数要不小于1，解得定义域x大于等于2 3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A．2x<3y<5z C．3y<5z<2x 解析：选D 设2x＝3y＝5z＝k>1， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k. ∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝ 2 4323132323 B．5z<2x<3y D．3y<2x<5z 23－ logk2logk3 3 9logk82logk3－3logk2logk3－logk2 ＝＝＝>0， logk2·logk3logk2·logk3logk2·logk3 ∴2x>3y； ∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝ 35－ logk3logk5 125logk ＝3logk5－5logk3logk53 －log5 243log＝k3 ＝k3·logk5logk3·logk5logk3·logk5 <0， ∴3y<5z； ∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝ 25 log2－klogk5 2logk5－5logk2logk52 －log5 log25k ＝32log＝k2 ＝k2·logk5logk2·logk5logk2·logk5 <0， ∴5z>2x.∴5z>2x>3y. 考查点二 函数的零点判断及应用 4．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－ 1＋e －x＋1 )有唯一零点，则a＝( A．－12 B.13 C.12 D．1 解析：选C 法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－ 1＋e－x＋1 ) ＝(x－1)2＋a[ex－ 1＋e －(x－1) ]－1， 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－ t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－ t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f(x)有唯一零点， ∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝1 2. 法二：由f(x)＝0⇔a(ex－ 1＋e －x＋1 )＝－x2＋2x. ex－ 1＋e －x＋1 ≥2ex－ 1·e －x＋1＝2， 当且仅当x＝1时取“＝”． －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 当且仅当x＝1时取“＝”． 若a>0，则a(ex－ 1＋e －x＋1 )≥2a， 要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝1 2. 若a≤0，则f(x)的零点不唯一． ) 1 综上所述，a＝. 2 5．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为 ( ) A．(2，＋∞) C．(1，＋∞) B．(－∞，－2) D．(－∞，－1) 解析：选B 当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不符合题意，故a≠0.f′(x)＝3ax2 22 －6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，由题意得a<0且fa>0，解得a<－2. a 6．(2011·全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( ) 1 －，0 A.411C.4，2 11 0， B.413D.2，4 1111111＝e2＋4×2－3＝e2－1>0，所44解析：选C 因为f＝e＋4×－3＝e－2<0，f42411以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为4，2. 函数零点问题是难点——精析2种考法破解它 考法(一) 函数零点个数的判断及应用 1．函数的零点及其与方程根的关系 对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 2．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． [题组突破] 1．(2017·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是( ) A．0 C．2 B．1 D．3 1－x1 解析：选C 当x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝， xx所以x∈(0,1)时f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减．因此，当x＞0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝ex的大致图 象，如图所示，观察到函数y＝f(x)与y＝ex的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)有2个零点． 2x，x≥2， 2．(2017·福州质检)已知f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则 3x－1，x＜2，两零点所在的区间为( ) A．(－∞，0) C．(1,2) B．(0,1) D．(1，＋∞) 解析：选D 在平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象如图所示，由图易得若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即函数f(x)的图象与直线y＝k有两个交点，则k的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2)和(2，＋∞)内，故选D. |x|，x≤m， 3．(2016·山东高考)已知函数f(x)＝2其中m＞0.若存在实数b， x－2mx＋4m，x＞m， 使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． 解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3. 答案：(3，＋∞) [解题方略] 1．函数零点个数判定的3种方法 (1)解方程：方程f(x)＝0根的个数即为函数y＝f(x)零点的个数； (2)定理法：利用函数零点存在性定理及函数的性质判定； (3)图象法：转化为求两函数图象交点的个数问题进行判断． 解决函数零点问题要把握零点的实质——方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标．判断函数零点个数问题一般要转化为两个函数图象的交点个数来求解． 2．利用函数零点求参数值(范围)的3种方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 考法(二) 函数零点的综合问题 1 [典例] (1)(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点 3x1，x2，若x1＜f(x1)＜x2，则关于x的方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实数根的个数不可能为( ) A．2 C．4 B．3 D．5 [解析] 由题意，得f′(x)＝－x2＋2ax＋b.因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程－x2＋2ax＋b＝0的两个实数根，所以由[f(x)]2－2af(x)－b＝0，可得f(x)＝x1或f(x)＝x2.由题意，知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又x1＜f(x1)＜x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实数根的个数不可能为5，故选D. [答案] D (2)(2017·云南玉溪一中月考)已知函数f(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，当0≤x≤2时，f(x)＝x2－2x＋1，若在区间[－2,2]内，函数g(x)＝f(x)－kx－2k有三个零点，则实数k的取值范围是( ) 1 0， A.411C.4，2 1 0， B.21D.4，＋∞ [解析] 因为函数f(x)是定义在区间[－2,2]上的偶函数，且当－2≤x＜0时，0＜－x≤2，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1.函数g(x)＝f(x)－kx－2k在[－2,2]内有三个零点，即函数y＝f(x) 2 x－2x＋1，0≤x≤2，＝2的图象和直线y＝k(x＋2)在[－2，2]内有三x＋2x＋1，－2≤x＜0 个不同的交点．作出函数y＝f(x)和y＝k(x＋2)的图象，如图所示．直线y＝k(x＋2)过定点P(－11 2,0)，由图可知kPA＝，kPB＝，要使此直线与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则需 4211 满足＜k＜.故选C. 42 [答案] C [解题方略] 破解有关函数零点综合问题的策略 (1)通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等判断函数的零点、方程的根及图象交点个数的情况． (2)利用函数性质，作出图象，借助函数的图象判断函数的零点、方程的根、图象交点个数的情况及参数范围． [提醒] 注意等价转化思想和数形结合思想的运用． [针对训练] xe，x≥0， 1．(2017·福州模拟)已知函数f(x)＝若方程f(－x)＝f(x)有五个不同的根， ax，x＜0， 则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－e) C．(1，＋∞) B．(－∞，－1) D．(e，＋∞) 解析：选A 因为f(0)＝f(－0)＝e0＝1，所以x＝0是方程f(－x)＝f(x)的一个根．又方程f(－x)＝f(x)有五个不同的根，即方程ex＝a(－x)(x＞0)有两个不同的根，设过原点且与函数g(x)＝ex(x＞0)的图象相切的直线为OP(其中点P(x0，y0)为切点)，则－a＞kOP.由g′(x)＝ex，得kOP＝e－e)． x0y0e0＝＝，解得x0＝1.所以－a＞e，即a＜－e，所以实数a的取值范围为(－∞，x0x0 x 2．已知y＝f(x)是R上的偶函数，对于任意的x∈R，均有f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝(x－1)2，则函数g(x)＝f(x)－log2 017|x－1|的所有零点之和为________． 解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(2－x)＝f(x＋2)，所以函数f(x)的周期为2，又当x∈[0,1]时，f(x)＝(x－1)2，将偶函数y＝log2 017|x|的图象向右平移一个单位长度得到函数y＝log2 017|x－1|的图象，由此可在同一平面直角坐标系下作出函数y＝f(x)与y＝log2 017|x－1|的图象(图略)，函数g(x)的零点，即为函数y＝f(x)与y＝log2 017|x－1|图象的交点的横坐标，当x＞2 018时，两函数图象无交点，又两函数图象在[1,2 018]上有2 016个交点，由对称性知两函数图象在[－2 016,1]上也有2 016个交点，且它们关于直线x＝1对称，所以函数g(x)的所有零点之和为4 032. 答案：4 032 [A级——“12＋4”保分小题提速练] 1．若f(x)是幂函数，且满足1 A. 2C．2 α 1f9 ＝2，则f9＝( ) f3 1 B. 4 D．4 11log21f99αα 解析：选B 设f(x)＝x，由＝α＝3＝2，得α＝log32，∴f9＝93＝4. f332．(2017·云南模拟)设a＝60.7，b＝log70.6，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为( ) A．c＞b＞a C．c＞a＞b B．b＞c＞a D．a＞c＞b 解析：选D 因为a＝60.7＞1，b＝log70.6＜0,0＜c＝log0.60.7＜1，所以a＞c＞b. 3．函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为( ) A．1 C．3 B．2 D．4 解析：选B 函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数． 令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，画出两函数的图象，如图． 由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的解的个数为2. 4．(2017·河南适应性测试)函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象可能是( ) 解析：选C 由函数y＝ax－a(a＞0，a≠1)的图象过点(1,0)，得选项A、B、D一定不可能；C中0＜a＜1，有可能，故选C. fx，x＞0，5．已知奇函数y＝若f(x)＝ax(a＞0，a≠1)对应 gx，x＜0. 的图象如图所示，则g(x)＝( ) 1－xA.2 C．2x － 1x B．－2 D．－2x 1 解析：选D 由图象可知，当x＞0时，函数f(x)单调递减，则0＜a＜1，∵f(1)＝，∴21x11－x＝－g(x)，即g(x)＝－1－x a＝，即函数f(x)＝，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝2222＝－2x，故g(x)＝－2x，x＜0，选D. 6．已知f(x)＝ax和g(x)＝bx是指数函数，则“f(2)＞g(2)”是“a＞b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C 由题可得，a＞0，b＞0且a≠1，b≠1. 充分性：f(2)＝a2，g(2)＝b2， 由f(2)＞g(2)知，a2＞b2， 再结合y＝x2在(0，＋∞)上单调递增， 可知a＞b，故充分性成立； 必要性：由题可知a＞b＞0， fxaxaxa 构造函数h(x)＝＝x＝b，显然＞1， bgxb所以h(x)单调递增， a2 故h(2)＝2＞h(0)＝1， b所以a2＞b2，故必要性成立． 7．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2) 解析：选C 法一：∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C. 法二：函数f(x)＝ex＋x－2的零点，即函数y＝ex的图象与y＝－x＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y＝ex与直线y＝－x＋2的图象如图所示，由图可知选C. 8．已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝( ) A．0 C．5 B．2 D．7 解析：选C ∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，∴a＋b＝5. log2x，x＞0，1 －9．(2018届高三·湖南四校联考)设函数f(x)＝若f(x)为奇函数，则g4gx，x＜0， 的值为( ) 1 A．－ 4C．－2 1B. 4 D．2 解析：选D 法一：当x＞0时，f(x)＝log2x， ∵f(x)为奇函数， ∴当x＜0时，f(x)＝－log2(－x)， 即g(x)＝－log2(－x)， 11－＝－log2＝2. ∴g44 1111 －＝f－＝－f＝－log2＝－log22－2＝2. 法二：g4444 10．(2017·杭州二模)已知直线x＝m(m＞1)与函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，g(x)＝logbx(b―→―→ ＞0且b≠1)的图象及x轴分别交于A，B，C三点，若AB＝2BC，则( ) A．b＝a2 C．b＝a3 B．a＝b2 D．a＝b3 ―→―→―→―→ 解析：选C 由于AB＝2BC，则AC＝3BC，则点A的坐标为(m,3g(m))，又点A在函数f(x)＝logax的图象上，故logam＝3logbm，即logam＝logbm3，由对数运算可知b＝a3. 2x＋1，x≤0， 11．已知f(x)＝则方程f[f(x)]＝3的根的个数是( ) |ln x|，x＞0， A．6 C．4 B．5 D．3 解析：选B 令f(x)＝t，则方程f[f(x)]＝3即为f(t)＝3，解得t＝e －3 或e3，作出函数f(x)的图象(如图所示)，由图象可知方程f(x)＝e －3 有3个解，f(x)＝e3有2个解，则方程f[f(x)]＝3有5个实根． 2＋1，x＜0，2 12．(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝12方程[f(x)]－af(x)＋b＝，x≥0.x－2x＋120(b≠0)有6个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是( ) A．[6,11] C．(6,11) B．[3,11] D．(3,11) x 解析：选D 作出函数f(x)的图象如图所示， 对于方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0，可令f(x)＝t，那么方程根的个数就是f(x)＝t1与f(x)＝t2 的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t的方程t2－at＋b＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，由b＞0， 根的分布得出约束条件1－a＋b＜0， 4－2a＋b＞0， 1－a＋b＝0， 画出可行域如图所示，目标函数z＝3a＋b经过的 4－2a＋b＝0 交点A(3,2)时取得最大值11，经过B(1,0)时取得最小值3.故3a＋b的取值范围为(3,11)． 13．函数y＝loga(x－3)＋3(a＞0，a≠1)的图象恒过定点________． 解析：因为函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(1,0)，所以函数y＝loga(x－3)＋3(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(4,3)． 答案：(4,3) 14．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________. 解析：(log43＋log83)(log32＋log92) 111 log32＋log32 ＝log23＋log2322353 ＝log23×log32 625＝. 45答案： 4 15．已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)＝3－x2－2x＋5，0≤x≤1，1|x| 函数g(x)＝2＋a，若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则a＝－xx2＋2，1 答案：2 16．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0ekt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需 － 要花费的时间为________小时． 解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入得(ek)5＝0.9， － t ∴e＝0.9＝0.9，∴P＝P0ekt＝P05.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，0.9 －k － 51511t此时P＝0.81P0，代入得0.81＝0.95，解得t＝10，即需要花费10小时． 答案：10 [B级——中档小题强化练] 11 1．(2017·福州模拟)已知a＝ln 8，b＝ln 5，c＝ln6－ln2，则a，b，c的大小关系 62为( ) A．a＜b＜c C．c＜a＜b B．a＜c＜b D．c＜b＜a 11 解析：选B 因为a＝ln 8，b＝ln 5，c＝ln6－ln2，所以a＝ln2，b＝ln5，c＝ 62ln 6 ＝ln3.又函数y＝ln x在(0，＋∞)上为单调递增函数，由2＜3＜5，得ln2＜ln32 ＜ln5，所以a＜c＜b. ex－ex 2．已知函数f(x)＝ln，则f(x)是( ) 2 － A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，且在R上单调递增 C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．偶函数，且在R上单调递减 解析：选A 要使函数有意义，则ex＞ex，解得x＞0，即函数的定义域是(0，＋∞)， － 故函数是非奇非偶函数．又y＝ex与y＝－ex在(0，＋∞)上递增，所以f(x)在(0，＋∞)上递 － 增，故选A. 1x 3．(2017·西宁一检)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝2－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( ) 1－∞，－ A.2 1 －∞， B.4 1 ，＋∞ C.21 ，＋∞ D.4 解析：选D 对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min.又f(x)min 111 ＝f(0)＝0，g(x)min＝g(2)＝－m，则0≥－m，解得m≥. 444 2＋2，x≤1， 4．(2017·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2则函数F(x)＝f [f(x)]－2f(x) |log2x－1|，x＞1，3 －的零点个数是( ) 2 A．4 C．6 B．5 D．7 x 3 解析：选A 令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转 2333 化为方程f(t)－2t－＝0有根的问题．令y＝f(t)－2t－＝0，即f(t)＝2t＋，如图①，由数形 222结合得t1＝0,1＜t2＜2，如图②，再由数形结合得，当f(x)＝0时，x＝2，有1个解，当f(x)3 ＝t2时，有3个解，所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零点． 2 5.(2018届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A，B和函数y＝log2x图象上的点C，线段AC平行于y轴，当△ABC为正三角形时，点B的横坐标为________． 解析：依题意，当AC∥y轴，△ABC为正三角形时，|AC|＝log24x－log2x＝2，点B到直线AC的距离为 3 ×2＝3，设点B(x0,2＋log2x0)，则点A(x0＋3，32 ＋log2x0)．由点A在函数y＝log24x的图象上，得log24(x0＋3)＝3＋log2x0，则4(x0＋3)＝8x0，x0＝3，即点B的横坐标是3. 答案：3 a 2x－x在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________． 6．已知函数f(x)＝2a t－在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝t a t－，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a，＋上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝taa t－＝t－，t∈(0，＋∞)的单∞)，此时a≤1，即0 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容