九年级数学一元二次方程培优训练试题

九年级数学一元二次方程培优训练试题

一．选择题

1.下列方程是一元二次方程的是（ ）

A. x﹣4=2x B. x2+x﹣5=0 C. x2﹣4y+2=0 D. ﹣x+2=0

2.已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 12或14 D. 14或16

3.已知x=a是方程x2﹣3x﹣5=0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 14 D. ﹣6

4.若 n（n≠0）是关于 x 的方程 x2 + mx+2n=0的根,则 m+n 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. －1 D. －2

5.若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ） A. 1 B. 3- C. 1+ D. 2+

6.已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 6或12或15

7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+1=0有实数根，（k+2）则k的取值范围是（ ）

A. k＜且k≠﹣2 B. k≤ C. k≤且k≠﹣2 D. k≥

8.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）． A.

B. 5 C.

D. 7

9.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ）

A. 24 B. 48 C. 24或8 D. 8

10.已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则2x12+x22﹣2x1=（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

11.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=（ ） A. ﹣5 B. 9 C. 5 D. 7

二．填空题

12.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_____．

三．解答题

13.已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根． （1）求m的取值范围；

（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得由．

=1？请说明理

14. 某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的 办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．

15.列一元二次方程解应用题

某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同． （1）求每个月增长的利润率；

（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？

16.关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根（1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根

满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．

．

17.已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m=0

（1）求证：该方程有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x12+x22=25，求m的值．

18.十一黄金周期间，海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游，天马旅行社推出如下收费标准：

（1）学校规定，人均旅游费高于700元，但又想低于1000元，那么该校所派人数应在什么范围内；

（2）已知学校已付旅游费27000元，问该校安排了多少名老师去北京旅游？ 19.近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．

（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；

（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 4 5

根据上表数据，求规定用水量a的值．

（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 20.如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应多宽？

用水量（吨） 7 5 交水费总金额（元） 70 40

21.在2017年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的２倍． （1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？

（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．

22.甲乙两人同时同地沿同一路线开始攀登一座600米高的山，甲的攀登速度是乙的1.2倍，他比乙早20分钟到达顶峰.甲乙两人的攀登速度各是多少？如果山高为米，甲的攀登速度是乙的倍，并比乙早分钟到达顶峰，则两人的攀登速度各是多少？

23.为了“绿色出行”，王经理上班出行由自驾车改为乘坐地铁出行，已知他家距上班地点21千米，他用地铁方式平均每小时出行的路程，比用自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多5千米，他从家出发到达上班地点，地铁出行所用时间

是自驾车方式所用时间的，求王经理地铁出行方式上班的平均速度． 24.如图，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？

（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？

一元二次方程综合训练试题

一．选择题

1.下列方程是一元二次方程的是（ ）

A. x﹣4=2x B. x2+x﹣5=0 C. x2﹣4y+2=0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】

﹣x+2=0

逐一分析各个选项，找出符合一元二次方程定义的即可得到答案．

【详解】A．整理后得：x+4=0，是一元一次方程，A项不是一元二次方程，

B．符合一元二次方程的定义，有一个未知数，且未知数的最高次数为2，B项是一元二次方程，

C．有两个未知数，未知数的最高次数为2，是二元二次方程，C项不是一元二次方程， D．分母含有未知数，属于分式方程，D项不是一元二次方程， 故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2.已知4是关于x的方程x2﹣5mx+12m=0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）

A. 14 B. 16 C. 12或14 D. 14或16 【答案】D 【解析】 【分析】

先把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得m=2，则方程为x2-10x+24=0，利用因式分解法解方程得到x1=4，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，x2=6，然后计算对应的三角形周长．

【详解】把x=4代入方程x2-5mx+12m=0得16-20m+12m=0，解得m=2， 则方程为x2-10x+24=0， （x-4）（x-6）=0， 所以x1=4，x2=6，

因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长， 所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6；4、6、6， 所以△ABC的周长为14或16． 故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

3.已知x=a是方程x2﹣3x﹣5=0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 14 D. ﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】

利用一元二次方程解的定义得到a2-3a=5，再把4-2a2+6a变形为4-2（a2-3a），然后利用整体代入的方法计算即可．

【详解】把x=a代入方程x2-3x-5=0得a2-3a-5=0，则a2-3a=5，

所以4-2a2+6a=4-2（a2-3a）=4-2×5=-6． 故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

4.若 n（n≠0）是关于 x 的方程 x2 + mx+2n=0的根,则 m+n 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】

∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，

2

代入得：n+mn+2n=0，

∵n≠0，

∴方程两边都除以n得：n+m+2=0， ∴m+n=-2． 故选D．

5.若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ） A. 1 B. 3- C. 1+ D. 2+ 【答案】A 【解析】 【分析】

把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．

【详解】把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，解得：c=1． 故选A．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

6.已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）

A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 6或12或15 【答案】B 【解析】 【分析】

2

先把x＝2代入x−（5＋m）x＋5m＝0中得4−2（5＋m）＋5m＝0，解得m＝2，再解方程

得到x1＝2，x2＝5，然后根据三角形三边的关系得到等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，再计算三角形的周长．

2

【详解】把x＝2代入方程x−（5＋m）x＋5m＝0得4−2（5＋m）＋5m＝0，解得m＝2， 2

方程化为x−7x＋10＝0，解得x1＝2，x2＝5，

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， 所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2， 所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12． 故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．

7.若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）

A. k＜且k≠﹣2 B. k≤ C. k≤且k≠﹣2 D. k≥ 【答案】C 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可．

【详解】∵关于x的一元二次方程（k+2）x2-3x+1=0有实数根， ∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，

解得：k≤且k≠-2， 故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．

8.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）． A.

B. 5 C.

D. 7

【答案】B 【解析】 【分析】

设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得：x (7-x)=6. 【详解】设一条直角边为x，则另一条直角边为7-x，利用三角形面积公式可得：

x (7-x)=6，

解得x=3或4，故该直角三角形两个直角边分别为3和4， 利用勾股定理可得斜边长为：故斜边为5.

【点睛】本题利用三角形面积公式和勾股定理考察了一元二次方程的应用.

9.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（ ）

A. 24 B. 48 C. 24或8 D. 8 【答案】C 【解析】 试题分析：由当

，得到

，∴

或

．

，

，

时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．∴高h=

∴S△=当

；

时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．

∴S△=故选：C．

．∴S=24或．

考点：1．一元二次方程的应用；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质． 10.已知：x1，x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则2x12+x22﹣2x1=（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】

根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5，将其代入2x12+x22-2x1=（x12-2x1）+（x1+x2）2-2x1x2中即可求出结论． 【详解】∵x1，x2是方程x2-2x-5=0的两根， ∴x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5，

∴2x12+x22-2x1=（x12-2x1）+（x1+x2）2-2x1x2=5+22-2×（-5）=19． 故选：D．

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系及一元二次方程的解找出x12-2x1=5，x1+x2=2，x1x2=-5是解题的关键． 11.设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=（ ） A. ﹣5 B. 9 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】

2

根据根与系数的关系可知m＋n＝－2，又知m是方程的根，所以可得m＋2m－7＝0，最后22

可将m＋3m＋n变成m＋2m＋m＋n，最终可得答案． 2

【详解】∵设m、n是一元二次方程x＋2x−7＝0的两个根，

∴m＋n＝−2， ∵m是原方程的根，

22

∴m＋2m−7＝0,即m＋2m＝7，

22

∴m＋3m＋n＝m＋2m＋m＋n＝7−2＝5，

故答案为：5.

【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练应用韦达定理.

二．填空题

12.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_____． 【答案】【解析】 【分析】

设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．

【详解】设有x个队参赛， x（x-1）=90．

故答案是：x（x-1）=90．

【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．

三．解答题

13.已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣2）x+m=0有实根． （1）求m的取值范围；

（2）若原方程两个实数根为x1，x2，是否存在实数m，使得

=1？请说明理由．

【答案】（1）m≤且m≠0；（2）见解析． 【解析】 【分析】

（1）根据“关于x的一元二次方程mx2-（2m-2）x+m=0有实根”，判别式△≥0，得到

关于m的一元一次方程，解之即可;（2）根据“=1”，通过整理变形，根据根与系

数的关系，得到关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】：（1）∵方程mx2-（2m-2）x+m=0是一元二次方程， ∴m≠0，

△=（2m-2）2-4m2 =4m2-8m+4-4m2 =4-8m≥0，

解得：m≤，即m的取值范围为：m≤且m≠0；

（2）=-2=1，

x1+x2= ，x1x2=1，

把x1+x2=，x1x2=1代入-2=1得：

=3，

解得：m=4±2，

∵m的取值范围为：m≤且m≠0， ∴m=4±2不合题意，

即不存在实数m，使得=1．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键：（1）根据判别式△≥0，列出关于m的一元一次方程，（2）正确掌握根与系数的关系，列出一

元二次方程．

14. 某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的 办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．

【答案】他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元． 【解析】

试题分析：日利润=销售量×每件利润．每件利润为x-8元，销售量为100-10（x-10），据此得关系式．

试题解析：由题意得，

y=（x-8）[100-10（x-10）]=-10（x-14）2+360（10≤a＜20）， ∵a=-10＜0

∴当x=14时，y有最大值360

答：他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元． 考点：二次函数的应用．

16.关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根（1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根

满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．

．

【答案】（1）k﹥；（2）k=2． 【解析】

试题分析：：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；

2

（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k+1，结合k的取值范围

解方程即可．

试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ Δ＝（2k+1）2－4（k2+1）=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0 解得：k﹥

；

∵k﹥，

∴x1+x2 =－（2k+1）＜0 x2=k2+1﹥0 又∵x1·

∴x1＜0，x2＜0，

∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2 =－（x1+x2）=2k+1 ∵｜x1｜+｜x2｜=x1·x2 ∴2k+1=k2+1， ∴k1=0,k2=2 又 ∵k﹥∴k=2．

考点：根的判别式；根与系数的关系．

17.已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m=0 （1）求证：该方程有两个实数根；

22

（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2=25，求m的值．

【答案】(1)见解析;(2) m的值为±4. 【解析】 【分析】

利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2-4ac≥0；（1）（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22=25，转换为（x1+x2）

2-2x

1x2=25，然后利用前面的等式即可得到关于

m的方程，解方程即可求出结果．

【详解】（1）证明：∵△=b2-4ac =（m-3）2+12m =m2+6m+9 =（m+3）2； 又∵（m+3）2≥0，

∴b2-4ac≥0，

∴该方程有两个实数根；

（2）解：∵x1+x2=3-m，x1•x2=-3m， x12+x22=25，

（x1+x2）2-2x1x2=25， （3-m）2-2×（-3m）=25， 9+m2=25， m2=16， 解得m=±4． 故m的值为±4．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有

实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1+x2=-，x1•x2=．

18.十一黄金周期间，海洋中学决定组织部分优秀老师去北京旅游，天马旅行社推出如下收费标准：

（1）学校规定，人均旅游费高于700元，但又想低于1000元，那么该校所派人数应在什么范围内；

（2）已知学校已付旅游费27000元，问该校安排了多少名老师去北京旅游？ 【答案】（1）25＜x＜40，（2）该校安排了30名老师去北京旅游． 【解析】 【分析】

（1）设出该校所派人数为x人，列出不等式，解出x的值；

（2）设该校所派人数为x人，列出关于x的等式，求出值后舍去不符合的值. 【详解】解：（1）设该校所派人数为x人， ∵人均旅游费低于1000元， ∴x＞25，

∵人均旅游费高于700元， ∴1000﹣20（x﹣25）＞700， 解得：x＜40，

即x的取值范围为：25＜x＜40，

答：该校所派人数应多于25人，少于40人， （2）若该校所派人数为25人， 25×1000=25000＜27000， ∴安排的老师人数多于25人， 设该校所派人数为x人， 根据题意得：

x[1000﹣20（x﹣25）]=27000，

2

整理得：x﹣75x+1350=0， 12

解得：x=30，x=45（舍去），

答：该校安排了30名老师去北京旅游．

【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.

19.近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．

（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；

（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；

月份 4 5

用水量（吨） 7 5 交水费总金额（元） 70 40 根据上表数据，求规定用水量a的值．

（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【解析】 【分析】

根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（1）（7-a）+10=70，（3）结合当地水资源状况，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；叙述合理即可；

【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨；

（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 20.如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，问道路应多宽？

【答案】道路为1m宽． 【解析】

试题分析：本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．

试题解析：设道路为x米宽， 由题意得：

，整理得：

，解得：

，

，

经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去． 答：道路为1m宽．

考点：一元二次方程的应用．

21.在2017年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的２倍．

（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？

（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．

【答案】(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；(2)见解析. 【解析】 【分析】

（2）根据题意和第（1）问（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；中的结果可以分别求得三种方式的费用，从而可以解答本题．

【详解】（1）设甲车单独完成任务需要x天，则乙车单独完成任务需要2x天，

（）×10=1

解得，x=15 ∴2x=30

即甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；

（2）设甲车的租金每天a元，则乙车的租金每天（a-1500）元， [a+（a-1500）]×10=65000 解得，a=4000 ∴a-1500=2500

当单独租甲车时，租金为：15×4000=60000， 当单独租乙车时，租金为：30×2500=75000， ∵60000＜65000＜75000， ∴单独租甲车租金最少．

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 22.甲乙两人同时同地沿同一路线开始攀登一座600米高的山，甲的攀登速度是乙的1.2倍，他比乙早20分钟到达顶峰.甲乙两人的攀登速度各是多少？如果山高为米，甲的攀登速度是乙的倍，并比乙早分钟到达顶峰，则两人的攀登速度各是多少？

【答案】甲的攀登速度为360米/时，乙的速度为300米/时；甲的攀登速度为米/时，

乙的速度为【解析】

米.

试题分析：设乙的速度为x米/时，则甲的速度为 1.2x米/时，根据甲所用的时间比乙少20分列出分式方程求解即可；

把前面方程中的600、1.2、20分别换成h、m、t，然后解方程即可．

试题解析：

解：设乙的速度为x米/时，则甲的速度为 1.2x米/时，

根据题意，得： ，

方程两边同时乘以3x得：1800－1500＝x， 即：x＝300.

经检验，x＝300是原方程的解．

∴甲的攀登速度为360米/时，乙的速度为300米/时．

当山高为h米，甲的攀登速度是乙的m倍，并比乙早t（t>0)分钟到达顶峰时，

设乙的速度为y米/时，则有：，

解此方程得：

当m>1时，y＝是原方程的解，

当m＝1时，y＝0，原分式方程无解， 当m<1时，甲不可能比乙早到达顶峰.

∴此时甲的攀登速度为米/时，乙的速度为米/时．

点睛：本题考查分式方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．

23.为了“绿色出行”，王经理上班出行由自驾车改为乘坐地铁出行，已知他家距上班地点21千米，他用地铁方式平均每小时出行的路程，比用自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多

5千米，他从家出发到达上班地点，地铁出行所用时间是自驾车方式所用时间的，求王经理地铁出行方式上班的平均速度．

【答案】王经理地铁出行方式上班的平均速度是35km/h. 【解析】

分析：设自驾车平均每小时行驶的路程为xkm，根据地铁出行所用时间是自驾车方式所用时

间的列方程求解即可.

详解：设自驾车平均每小时行驶的路程为xkm，

则有：解得：经检验：

，

是原方程的解且符合题意，

，

.

则地铁速度为：

答：王经理地铁出行方式上班的平均速度为

点睛：考查分式方程的应用，设出未知数，找出题目中的等量关系式解题的关键. 24.如图，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括CQ点在AC上从C点运动到A点点），点P运动的速度为1cm/s；（不包括A点），速度为2cm/s，若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．

（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？

（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？

【答案】(1) 2或;(2) 3秒，15cm2． 【解析】 【分析】

（1）根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出经过2或s后，P、Q两点的距离为4cm；

（2）根据三角形的面积公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大，进而求出四边形BPQA的面积最小值． 【详解】：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm， ∴AB=10cm，

设经过ts后，P、Q两点的距离为4cm， ts后，PC=6-t cm，CQ=2t cm， 根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2， 代入数据（6-t）2+（2t）2=（4）2；

解得t=2或t=，

故t为2或时，P、Q两点的距离为4cm；

（2）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小， ts后，PC=6-tcm，CQ=2t cm，

S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t

当t=-时，即t=3s时，△PCQ的面积最大，

即S△PCQ=

×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2），

∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2）， 当点P运动3秒时，四边形BPQA的面积最小为：15cm2．

【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的求法以及二次函数的应用．