理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某同学投篮命中率为0.6，则该同学1次投篮时命中次数X的期望为 A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】一次投蓝命中次数可能取
，其概率分别为
，则分布列为
．故本题答案选．
2. 已知是虚数单位，若复数满足：A. B. 【答案】C 【解析】由题知3. 若双曲线A.
B.
C.
D.
．故本题答案选．
的一条渐近线方程为
，则离心率( )
C.
D.
，则复数
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为即
，所以
，可得
，又
，则
，
．故本题答案选．
点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造圆中
的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中
与椭
的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法(1)直接求出
的齐次关系式,将用
表示,令两边同除以或
化为的关系
的值,可得;(2)建立
式,解方程或者不等式求值或取值范围. 4. 已知函数A.
的导函数为
，且满足
，则
B. C. D.
【答案】A
1
【解析】对答案选．
求导可得，则，知．故本题
5. 若从1，2，3，4，5，6，7这7个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有 A. 10种 B. 15种 C. 16种 D. 20种 【答案】C
【解析】要求个数的和为奇数，则当个数都为奇数时，有数时6. 设是
，共有是函数
种取法，两个偶数一个
种取法．故本题答案选．...............
的图像如右图所示，则
的图像最有可能的
的导函数，
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由导数值与函数单调性间的关系可知．当函数为减函数，当
时，函数为增函数，当
时，
时函数为增函数．故本题答案选．
，且图
点睛：本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为象在
两侧附近连续分布于轴上下方，则
为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论
的单调区间．
函数单调性时，由导函数7. 已知
的正负，得出原函数
的分布列为：
2
设，则Y的期望
A. 3 B. 1 C. 0 D. 4 【答案】A
【解析】由分布列可得
．故本题答案选．
8. 设
式中系数最大项是 A. 20 B. C. 105 D. 【答案】B 【解析】令得
，可得
，令
，可得，则最大项为
．即
.故本题答案选．
，
，若
，则展开
，则
，其展开式为
点睛：本题主要考查二项展开式定理,二项展开式的通项公式.二项展开式的通项公式与数列的通项公式类似,它可以表示二项展开式的任意一项,只要
确定,该项也就随之确定.利用
二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项,如常数项,,含项,系数最大的项,次数为某一确定的项,有理项等.对于二项式系数最大项,当为偶数时,中间的一项最大,当为奇数时,中间两项的系数最大且相等. 9. 若A. C. 【答案】D 【解析】令又
的定义域为， B. D.
恒成立， ，则解集为
，
，则
，即
恒成立，即在定义域上单调递增．
．故本题答案选．
3
10. 已知抛物线交于A. C. 【答案】B 【解析】设
得
是以选． 11. 已知对A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】当
焦点为，点为其准线与 轴的交点，过点的直线与C相
两点，则△ABD的面积的取值范围为 B. D.
两点的坐标分别为，直线，所以
，点到直线
的方程为
，的距离
，由
，于，所
．故本题答案
，又，则
，不等式恒成立，则实数的最大值是
时，不等式成立，则当，求导可得
，
．令在
时，原不等式可变为
，求导
，令
为增函数，当接近于时，函数值接
近于，则恒成立，所以．故本题答案选．
个小球，现将袋中的小球分给
12. 袋中装有编号分别为1，2，3，…，2n的
三个盒子，每次从袋中任意取出两个小球，将其中一个放入A盒子，如果这个小球的编号是奇数，就将另一个放入盒子，否则就放入盒子，重复上述操作，直到所有小球都被放入盒中，则下列说法一定正确的是
A. 盒中编号为奇数的小球与盒中编号为偶数的小球一样多 B. 盒中编号为偶数的小球不多于盒中编号为偶数的小球 C. 盒中编号为偶数的小球与C盒中编号为奇数的小球一样多 D. B盒中编号为奇数的小球多于C盒中编号为奇数的小球
4
【答案】A
【解析】由题知盒中奇数球的个数与盒中球的个数一样多，盒中偶数球的个数与盒中球的个数一样多．可设盒中有编号为奇数的球个，编号为偶数的球个，则所有的球的个数为
个，其中奇数，偶数编号各有
个，偶数球有
个，则
两盒中共有奇数球个，偶数球
，偶数球
个，设盒中奇数球个，盒中奇数球有
个．故本题答案选．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 曲线【答案】【解析】即
14.
.
的展开式中
的系数为__________．(用数字作答)
,
, 切线方程为
,
在点
处的切线方程为__________．
【答案】－20
【解析】二项展开式的通项公式
，得
15. 如图，圆
．即其系数为
内的正弦曲线
，
．故本题应填
．
．令
与轴围成的区域记
为（图中阴影部分），随机向圆内投一个点， 记A表示事件“点落在一象限”，表示事件“点落在区域M内”，则概率
__________．
【答案】
【解析】由几何概型，构成试验的全部区域为圆在第一象限的区域，面积为
在第一象限内与轴围成的区域面积
率为
，正弦曲线，则所求概
．故本题应填．
5
点睛：对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算
16. 直线
分别是函数
分别与轴相交于点
图象上点
处的切线，
. 垂直
相交于点，且【答案】
，则△PAB的面积为_______．
【解析】对函数求导可得则对应的切点坐标分别为
，
，则
，两切线互相垂直，不妨令两切线斜率分别为．分别写出切线方程
．故本题应填．
，解得
，
三、解答题：本题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 分别根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）右焦点为
，离心率
；
（2）实轴长为4的等轴双曲线． 【答案】（1）
；当焦点在轴上时，
（2）焦点在轴上时，
【解析】试题分析：（1）由焦点坐标可得值，再据离心率可得值，进一步得，可求双曲线的标准方程；（2）由实轴长得值，由等轴双曲线得值，可得双曲线的标准方程． 试题解析：（1）因为右焦点为又离心率
，所以
，
.
，即，
，
，
，所以双曲线焦点在轴上，且
，
，
所以所求双曲线的标准方程为：（2）因为实轴长为4，所以 所以由等轴双曲线得
当焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为： 当焦点在轴上时，所求双曲线的标准方程为：
18. 已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，已知第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为
，每道程序是相互独立的，且一旦审核
不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．
6
（1）求审核过程中只进行两道程序就停止审核的概率；
（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1） （2）分布列见解析，
【解析】试题分析：（1）两道程序就停止审核知第一道审核通过，第二道审核没通过；由相互独立事件同时发生的概率为各自的概率积可得所求概率；（2）先写出可能的取值，求出每种取值时对应的概率，列出分布列，求出数学期望．
试题解析：（1）记审核过程中只进行两道程序就停止审核为事件， 事件发生的概率（2）
的可能取值为0，1，2，3．
，
．
一部手机通过三道审核可以出厂的概率为
；
； ；
．
所以的分布列为： 数学期望
.
0 1 2 3 点睛：本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 19. 已知函数
．
7
（1）若（2）当
是 的一个极值点，求 值及
在区间
的单调区间；
时，求上的最值． ，单调递减区间为
（2）
【答案】（1）单调递增区间为
【解析】试题分析：（1）对函数求导，由极值点知其对应导数值为，可得关于的方程，求出值，进一步得出
的单调区间；
当
代入，得函数并求导，得出其单
调性，利用单调性可求出其最值． 试题解析：函数（1）由题所以由此时所以，当即函数所以函数（2）因为所以，当所以函数又所以又
在
时，是函数
的定义域为
，
的一个极值点得．
；当单调递增；在
的单调递增区间为
，所以或
时，
和
时，单调递减． ，单调递减区间为
，；当
时，
；单调递减区间为递增， ，
及
，
所以
的最大值为
.
． ，
.
．
， ，解得
，
．
的单调递增区间为，所以的最小值
，
在
递减，在
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数
8
形结合思想的应用．
20. 当今信息时代，众多高中生也配上了手机．某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，并制成下面的 很少使用手机 经常使用手机 合计
（1）判断是否有
的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？
及格 20 10 30 不及格 6 14 20 合计 26 24 50 列联表：
（2）从这50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数学题，甲、乙独立解出此题的概率分别为
，且
，若
，则此二人适合结为学习上互帮互助的“学习师徒”，记为两人中解出此
题的人数，若的数学期望
0.10 ，问两人是否适合结为“学习师徒”？ 0.05 0.025 0.010
参考公式及数据：
2.706 3.841 5.024 6.635 ，其中.
【答案】（1）有把握（2）适合
【解析】试题分析：（1）由列联表可求出常数验可得出有
的值，结合所给数据，利用独立性检
的把握得出结果；（2）由题写出的所有可能取值，并列出其概率，写出
分布列，计算出期望值，利用所给数据得出方程，解方程可得具体概率值，再利用条件可判断是否适合结为师徒． 试题解析：（1）由列联表可得：
，
9
所以，有的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响.
（2）依题：解出此题的人数可能取值为0,1,2，可得分布列为
所以且
，又，
，所以
，
0 1 2 所以二人适合结为“学习师徒”. 21. 已知抛物线
.
（1）求（2）若直线【答案】（1）
【解析】试题分析：（1）写出焦点及
交轴于点
；
，求实数的取值范围．
（2）
三点坐标，利用
，可得
焦点为，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足
三点坐标间的关系，再根据抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，可求得
；（2）设出直线方程，将直线方程与抛物线联立利用根与系数的关系，
可得的取值范围． 试题解析： 设由抛物线所以所以由
（1）抛物线的准线方程为由抛物线定义得：所以
（2）显然直线
斜率存在，设为，则直线
得焦点坐标为
，
得
， ，
，. 方程为
， ，
， ，
,
，
10
联立所以
消去得
，即
，
．...................... ...................①
且
，所以
，
代入式子得又点也在抛物线上，
所以，即
．....................................②
由①，②及又当与
可解得
过点，此时
即
三点共线，由
，
得
时，直线
共线，即点也在直线上，此时点必与之一重合， ，
不满足点为该抛物线上不同的三点，所以
.
．
在区间
所以实数的取值范围为22. 已知函数
（1）若函数（2）求证：【答案】（1）【解析】试题分析：
上递增，求实数 的取值范围；
．
（2）见解析
对函数求导，可知其导数在
利用
大于，利用分离变量转
中结论可得
，则有
化为函数求恒成立问题，可得的取值范围；
，利用累加和裂项可证不等式．
试题解析：函数
（1）由题有
的定义域为
． 在区间
上恒成立，
所以，又在区间上递减，所以，
即实数的取值范围为．
11
（2）取所以，当因为所以：所以：
，由(1)有时，
在区间
即
，所以
上递增，
，
，即
，....，
，
，
，
，，
，
即
，得证．
12
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