天津市南开区高一（上）期末测试
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
2．（3分）与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（ ）
π D．
π
A．345° B．375° C．﹣
3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（ ） A．﹣
B．﹣ C． D．
4．（3分）下列函数中是奇函数的是（ ） A．y=x+sinx
B．y=|x|﹣cosx
C．y=xsinx D．y=|x|cosx ）=，则θ在（ ）
D．第四象限
5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
6．（3分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．（3分）若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜则α=（ ）
），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，
-
-
A．或 B．或 C．或 D．或
9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣说法错误的是（ ）
A．函数f（﹣x）的最小正周期为π B．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+
++
（k∈Z） ，0）（k∈Z） ，kπ+
]（k∈Z）
，kπ+]（k∈Z），则下列
10．（3分）设函数f（x）=①若a≤0，则f（f（a））=﹣a； ②若f（f（a））=﹣a，则a≤0； ③若a≥1，则f（f（a））=； ④若f（f（a））=，则a≥1． A．①③
B．②④
，则下列说法正确的是（ ）
C．①②③ D．①③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）. 11．（4分）函数f（x）=
的定义域为 ．
12．（4分）函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为 ；最大值为 ． 13．（4分）如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣
）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为 ．
，设AB与x轴正半轴交于点C，
14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．
-
-
15．（4分）设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等
实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a= ．
三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 16．（8分）已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}． （Ⅰ）写出集合B的所有子集；
（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围． 17．（10分）已知函数f（x）=cos（x﹣
）﹣sin（x﹣
）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明； （Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+
）=
，求cos（2θ+
）的值．
18．（10分）设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．
19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=． （Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣上的值域相同，求m的取值范围． 20．（12分）函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+
）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣
）在[0，m]
t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．
-
-
天津市南开区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（3分）设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}， ∴A∪B={1，2，4，5}，
又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}， ∴∁U（A∪B）={3，6，7，8，9}， 故∁U（A∪B）共有5个元素， 故选：B．
2．（3分）与α=
+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（ ）
π D．
π
A．345° B．375° C．﹣【解答】解：由α=
+2kπ（k∈Z），
，360°+15°=375°．
得与角α终边相同的角是：故选：B．
3．（3分）sin80°cos70°+sin10°sin70°=（ ） A．﹣
B．﹣ C． D．
【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70° =
故选：C．
4．（3分）下列函数中是奇函数的是（ ）
-
．
-
A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx
【解答】解：A，y=x+sinx，有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），为奇函数； B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x）=|﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x），为偶函数； C，y=xsinx，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数； D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|﹣x|cos（﹣x）=f（x），为偶函数． 故选：A．
5．（3分）已知cosθ＞0，tan（θ+A．第一象限
B．第二象限
）=，则θ在（ ）
D．第四象限
C．第三象限
）=，
【解答】解：由题意得，tan（θ+
所以=，即，
解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，
由cosθ＞0得，θ在第一或四象限， 所以θ在第四象限， 故选：D．
6．（3分）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增． ∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0
∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内 ∴函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3）， 故选：C．
7．（3分）若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，
-
-
∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增， ∵log0.53=
＜
=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），
a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1）， ∴b＜a＜c． 故选：B．
8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D顺时针旋转相同角度α（0＜α＜则α=（ ）
），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，
A．或 B．或 C．或 D．或
【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形， 边长为cosα﹣sinα，
由题意可得：（cosα﹣sinα）2=， 可得：cosα﹣sinα=±又0＜α＜
①，2sinαcosα=
=
．
，②
，可得：cosα+sinα=
所以：由①②可得：cosα=故α=
或
．
故选：A．
-
-
9．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣说法错误的是（ ）
A．函数f（﹣x）的最小正周期为π B．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+
++
（k∈Z） ，0）（k∈Z） ，kπ+
]（k∈Z）
，kπ+
]（k∈Z），则下列
【解答】解：由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π， φ=x=
，f（﹣x）=Asin（﹣2x++
，﹣2x+
=kπ+
），
）≠0，
，f（﹣x）=Asin（﹣2x+
故选C．
10．（3分）设函数f（x）=①若a≤0，则f（f（a））=﹣a； ②若f（f（a））=﹣a，则a≤0； ③若a≥1，则f（f（a））=； ④若f（f（a））=，则a≥1． A．①③
B．②④
C．①②③ D．①③④
=﹣a，故①正确；
，则下列说法正确的是（ ）
【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））=当a≥1时，f（f（a））=
=，故③正确；
当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，
故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=， 故②④错误； 故选：A
-
-
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）. 11．（4分）函数f（x）=【解答】解：由题意得：
，
解得：x＞﹣1且x≠0，
故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）， 故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．
12．（4分）函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为 π ；最大值为 【解答】解：函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x =
sin（2x+
）的最小正周期为
的定义域为 （﹣1，0）∪（0，+∞） ．
．
=π，最大值为，
故答案为：π，
13．（4分）如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣
）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为
．
【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin（2x+2φ）的图象， 将函数g（x）=cos（2x﹣（2x﹣2φ﹣
）=sin[
）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（x﹣φ）﹣﹣（2x﹣2φ﹣
）]=sin（
﹣2x+2φ）=sin（2x﹣2φ+
]=cos
）的图象，
二者能够完全重合，由题意可得， 即：2x+2φ=2x﹣2φ+解得：φ=kπ+当k=0时，φmin=故答案为：
14．（4分）如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=
-
+2kπ，k∈Z，
，（k∈Z） ．
．
，设AB与x轴正半轴交于点C，
-
α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．
【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α， ∵A，B是单位圆上两点且|AB|=
，
∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==
，
故答案为．
15．（4分）设函数f（x）=
，若关于x的方程f（x）﹣实根x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a= ．
【解答】解：如图所示，画出函数f（x）的图象， 不妨设x1＜x2＜x3，则x1+x2=2×=﹣3，
又x1+x2+x3=﹣， ∴x3=．
∴a==．
故答案为：．
-
a=0有三个不等
-
三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 16．（8分）已知集合A={x|2
x﹣6
≤2
﹣2x
≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．
（Ⅰ）写出集合B的所有子集；
（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）对于集合A，因为2x﹣6≤2﹣2x≤1，则x﹣6≤﹣2x≤0， 解可得：0≤x≤2． 即A={x|0≤x≤2}，
又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；
故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}； （Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集， 则必有：
，
解可得：0≤a≤1，
即a的取值范围是：[0，1]．
17．（10分）已知函数f（x）=cos（x﹣
）﹣sin（x﹣
）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明； （Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+
）=
，求cos（2θ+
）的值．
【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数． 证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称， f（x）=cos（x﹣f（﹣x）=
）﹣sin（x﹣
）=．
因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数； （Ⅱ）∵f（θ+∴
）=．
，
，
由于θ为第一象限角，故∴cos（2θ+
）=
-
-
=
=．
18．（10分）设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数， ∴f（0）=0， 若x＜0，则﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）．
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2． ∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x）， 则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，
2
则函数f（x）的解析式f（x）=；
（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0， 则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），
当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0）， 当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0）， 则函数f（x）在R上是减函数， 则m2+2m＜﹣m， 即m2+3m＜0， 则﹣3＜m＜0，
即m的取值范围是（﹣3，0）．
19．（10分）设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=． （Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣上的值域相同，求m的取值范围．
-
，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]
-
【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α， ∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1 ∵α∈（0，
），∴sinα=
；
，α]上单调递增， ，∴tanα=2，
，2]，
，2]，
（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣∵α∈（0，
），sinα=
，∴cosα=
∴函数f（x）=tanx在[﹣∴函数g（x）=2sin（2x﹣∴y=sinx在[﹣∴∴
≤2m﹣≤m≤
≤． ，2m﹣，
，α]上的值域为[﹣
）在[0，m]上的值域为[﹣]上的取值范围是[﹣
，1]，
20．（12分）函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，
t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+=
=
）+1=
=
，
由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点， 因此
，故ω=1；
，由题意知
．即
，
．
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=因此x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2）=
∵函数f（x）在[x1，x2]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，
-
-
∴f（x）在x2处取得最大值，即
，即
∴
=
=
． ．
．
=2．
-
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