4.2.2第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用

1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．

3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．

[基础·初探]

圆锥曲线的统一极坐标方程 ρ＝

ep

，(***)

1－ecos θ

其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． ep

当0＜e＜1时，方程ρ＝表示椭圆；

1－ecos θp

当e＝1时，方程(***)为ρ＝，表示抛物线；

1－cos θep

当e＞1时，方程ρ＝表示双曲线，其中ρ∈R.

1－ecos θ

[思考·探究]

1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？ 【提示】 应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝

1

4×2

的离心率不是1，其不表示抛物

2－cos θ

4

线，将方程变形为ρ＝

1

，则e＝12，表示椭圆． 1－2cos θ

2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？

【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________

椭圆极坐标方程的应用 x2y2

已知A、B为椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上两点，OA⊥OB(O为

原点)．

求证：

11

为定值． 2＋OAOB2【自主解答】 以O为极点，x轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标x2y21cos2θsin2θ

系，则x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入a2＋b2＝1中得ρ2＝a2＋b2.设A(ρ1，α)，π111111

Bρ2，α±.＋＝2＋2＝2＋2(为定值)． 2OA2OB2ρ1ρ2ab

[再练一题]

1．本例条件不变，试求△AOB面积的最大值和最小值． 1

【解】 由例题解析得，S△AOB＝2ρ1ρ2， 而ρ1＝abasinα＋bcosαabacosα＋bsinα

2

2

2

2

2

2

2

2

，

ρ2＝，

a2b2

2

1

∴S△AOB＝2·1＝2·

asinα＋bcosαacosα＋bsinα

2

2

2

2

2

2

2

a2b2

b＋csinαa－csinα

2

2

2

2

2

2

＝1222ab

11－c4sin2α－22＋a2b2＋4c4



1

∴当sin2α＝1时，(S△AOB)max＝2ab； 1a2b2

∴当sinα＝2时，(S△AOB)min＝2. 2

a＋b

2

双曲线极坐标方程的应用 x2y2π

过双曲线4－5＝1的右焦点，引倾斜角为3的直线，交双曲

线于A、B两点，求AB.

【思路探究】 求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求AB. x2y23

【自主解答】 双曲线4－5＝1中，a＝2，b＝5，c＝3，所以e＝2，p＝b25c＝3. 取双曲线的右焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲

线的极坐标方程为ρ＝

ep1－ecos θ

. 5

代入数据并化简，得ρ＝

.

2－3cos θ

55ππ＋ππ＝设Aρ1，3，Bρ2，π＋3，于是AB＝|ρ1＋ρ2|＝

2－3cos32－3cosπ＋3

80

7.

应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.

[再练一题]

2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝和准线方程．

594×5959

【解】 双曲线方程ρ＝可以化为ρ＝，所以e＝，p＝.

5454－5cos θ1－4cos θ

2

b92222

设c＝5r，a＝4r，则b＝c－a＝9r.由p＝c＝5，得r＝1.所以2a＝8,2b＝

9

，求双曲线的实轴长、虚轴长4－5cos θ

6.

所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.

9a2

准线方程ρcos θ＝－p，即ρcos θ＝－5；或ρcos θ＝－p－2c，即ρcos θ＝－415.

抛物线极坐标的应用 已知抛物线y2＝4x的焦点为F. (1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB＝16，运用抛物线的极坐标

方程，求直线l的倾斜角．

【自主解答】 (1)极坐标方程为ρ＝

. 1－cos θ

2

(2)设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)． AB＝ρ1＋ρ2＝＋ 1－cos θ1－cosπ＋θ411＝sin2θ＝16，即sin2θ＝4得sin θ＝±2. π5

故l的倾斜角为6或6π. [再练一题]

3．平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l：x＝－2.求与定点F1

的距离和定直线l的距离的比等于常数2的点的轨迹的极坐标方程．

【导学号：98990015】

【解】 过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．

由题意，设所求极坐标方程为ρ＝

ep1－ecos θ

，

2

2

∵定点F(2,0)，定直线l：x＝－2，

∴p为F点到直线l的距离，为2－(－2)＝4. 1

又∵常数2＝e，

12×4ep4

∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝＝，即ρ＝.

11－ecos θ1－cos θ2－cos θ2

[真题链接赏析]

(教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫

星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为

439 km和2 384 km.若地球半径取6 378 km，试写出卫星运行轨道的极坐标方程．

已知双曲线的极坐标方程为ρ＝

3

，过极点作直线与它交

1－2cos θ

于A，B两点，且AB＝6，求直线AB的极坐标方程．

【命题意图】 本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程．

【解】 设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)．则ρ13＝， 1－2cos θ1

33

ρ2＝＝. 1－2cosθ1＋π1＋2cos θ133

AB＝|ρ1＋ρ2|＝|＋| 1－2cos θ11＋2cos θ16

＝||＝6， 1－4cos2θ11∴＝±1. 21－4cosθ1

2

∴cos θ1＝0或cos θ1＝±2. ππ3π

故直线AB的极坐标方程为θ＝2或θ＝4或θ＝4.

1．抛物线ρ＝

4

(ρ＞0)的准线方程为______．

1－cos θ

【答案】 ρcos θ＝－4 2．设椭圆的极坐标方程是ρ＝

4

，则λ的取值范围是________．

2－λcos θ

【导学号：98990016】

【解析】 ρ＝

42－λcos θ

＝2

， λ

1－2cos θ

λ

所以离心率e＝2， λ

由0＜2＜1，得λ∈(0,2)． 【答案】 (0,2) 3．椭圆ρ＝

4

的焦距是________．

2－cos θ

8

【答案】 3 4．双曲线ρ＝4

【答案】 3

我还有这些不足：

(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：

(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________

4

的焦点到准线的距离为________．

2－3cos θ