管理类联考初数《整数类应用题》详解

恒硕 周竟希

1、基础整数类应用题 A和差问题

例1：小明和妈妈年龄之和为40岁，如果妈妈比他大26岁，那小明多大？ 解析：大数=（和+差）÷2，小数=（和—差）÷2 妈妈：（40+26）÷2=33 小明：（40—26）÷2=7 练习：

1.一艘船顺流时速度为80千米/时，逆流时速度为60千米/时，这艘船在静水中的速度是多少？ 2.商店里卖两种糖，牛奶糖和水果糖在一起有20斤，牛奶糖比水果糖重4斤，如果牛奶糖8元/斤，水果糖5元/斤，两种糖一共多少钱？

3.A、B两地相距1000米，如果小明、小强分别从A、B两地相向而行，那么10分钟后相遇；如果两人分别从两地同向而行，那么25分钟后小明追上小强。小明一分钟走多少米？

4.李丽比王梅的钱多50元，两人各花30元钱后，剩的钱加一起还有150元。两人开始一共带了多少钱？（提示：“两人各花30元钱后”，代表“差不变”） 5.爸爸比小明大30岁，过了几年后，两人一共80岁，此时，爸爸多大？ B三个数两两知和问题

例2：甲乙二人共50岁，乙丙二人共38岁，甲丙二人共42岁，三人各多大？ 解析：先求三数和 （甲乙+乙丙+甲丙）÷2=甲乙丙

再分别减两数和：甲=甲乙丙—乙丙 乙=甲乙丙—甲丙 丙=甲乙丙—甲乙 甲乙丙（50+38+42）÷2=65 甲：65—38=27 乙：65—42=23 丙：65—50=15 练习：

1.一家三口去称重，妈妈和孩子一共150斤，爸爸和孩子一共180斤，爸爸和妈妈一共270斤。那么孩子多重？

2.有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。问：其中最轻的箱子重多少千克？

3.一项工程，甲乙合干12天完成，甲丙合干15天完成，乙丙合干要20天完成。那么，甲单干要多长时间完成？

C和倍问题

例3：明明和晶晶参加学校组织的植树活动，两人一共种了12棵树，其中明明植树的棵数是晶晶的2倍。明明一共种了几棵树？

解析：小数=和÷（倍数+1） 大数=和÷（倍数+1）×倍数 练习：

1.小丽考完试后，发现语文和数学一共有80道题，数学题是语文题的3倍。两门考试各有多少题？ 2.纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。请问：男、女职工各有多少人？ 3.甲、乙两堆货物一共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件。甲、乙两堆各有多少件货物？（提示：不是整数倍时要去掉余数，使变成整数倍）

4.某电视台调查了连续100天在本台播放的娱乐节目，发现每天一次的娱乐节目不是放《星光大道》就是放《开门大吉》，其中《星》的播放次数比《开》的2倍还多13。这100天中《开门大吉》一共播放了多少次？ D差倍问题

例4：刘海和李丽在操场上练习跑步，一段时间过后，刘海跑的距离是李丽跑的3倍。如果李丽比刘海少跑500米，那么李丽和刘海一共跑了多少米？

解析：差倍问题：小数=差÷（倍数—1） 大数=差÷（倍数—1）×倍数 练习：

1.奶奶的岁数是小明的6倍，奶奶比小明大60岁，奶奶和小明各多大？

2.中山广场扩建成原来的3倍后，整整多出500亩地，那么扩建前中山广场多大面积？ 3.两根竹竿，其中一要根的长度是另一根的3倍，两根都竖直地插入深30厘米的水中，两根竹竿露出水面的部分差了100厘米。则原来的长短竹竿各多长？

4.李师傅将甲乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量是乙零件的2倍，每件产品需要5个甲零件和2个乙零件，生产30件产品后，剩下的甲乙零件数量相等。请问：李师傅还可以生产几件产品？（提示：剩下的数量相等，代表已生产的零件“差”与开始时比不变。） 5.甲乙两筐苹果重量相等，现在从甲筐拿出12千克苹果放入乙筐，结果乙筐苹果的重量就比甲筐的3倍少2千克。两筐苹果原来各有多少千克？（提示：相等的两筐苹果，甲给乙12千克后，两者的差值变化） E盈亏问题

例5：老师将一批作业本发给同学，如果每人3本，则还剩30本，如果每人5本，则还缺20本。这个班共有（ ）同学。

（A）15 （B）20 （C）25 （D）30 （E）35 解析：盈亏问题：人数=（盈+亏）÷两次人均分配之差 盈盈问题：人数=（盈—盈）÷两次人均分配之差 亏亏问题：人数=（亏—亏）÷两次人均分配之差

明显看出（1）、（2）单独都不充分

联合起来，一种是盈（剩30瓶），一种是亏（只有一人不够） 人数=（30+亏）÷（10—3）=（30+亏）÷7

由于只有一人不够，所以亏的数量应该<10，并且（30+亏）能够被7整除 所以亏=5，人数=5，水=3×5+30=45瓶 练习：

1.老师给同学们发作业本，每人发了同样多的作业本后，还剩下20本，后来给新来的2个人也发了同样数目的作业本，就只剩下12本了。请问：每个人发了几本？

2.把一些桃子分给猴子吃，每只猴子分的一样。如果分给5只猴子，那么还剩下12个桃子，如果分给7只猴子，就会缺4个桃子。问：每只猴子分到多少个桃子？

3.学校将某个班的学生分到各个宿舍，如果每间宿舍安排5个人，那么还有10个人没地方住；如果每间宿舍安排6个人，那么还有3个人没地方住。请问：一共有多少宿舍，多少个学生？ 4.王老师给同学们买习题集，如果买7本缺3元钱，如果买10本缺12元，那么一本习题集的价格是多少元？

5.老师带着几个学生去吃冰淇淋，如果给每个学生买一个碎碎冰和一个2元钱的小甜筒，一共缺15元钱，如果只给每个同学买一个碎碎冰，还缺5元钱，一共有几个学生？

F周期问题

例6：a=4，对a进行如下的操作，第一次先加8，第二次减4，第三次再加8，第四次再减4……如此重复进行。那么至少第（ ）次计算过后，结果等于100。 （A）22 （B）24 （C）44 （D）45 （E）48

解析：周期问题把周期看成一个整体，不够一个周期的单独讨论，有加有减时，要保证最后一步为加法。

本题属于有加有减型，要保证最后一步是加8才行。设一共经历了n个完整的周期（每个周期2步运算）。 4+4n+8=100 n=22 22×2+1=45 练习：

1.如图，一只跳蚤从圆圈“1”顺时针方向跳了100步，落到一个圆圈内；另一只跳蚤也从“1”开始逆时针跳了200步，落到一个圆圈内，这两个圆圈的乘积是多少？

2.工厂里有80吨货物，由同一辆卡车负责运输。第一天卡车往仓库里运进50吨，第二天运出了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨……如此不停运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？

3.工厂里有80吨货物，由同一辆卡车负责运输。第一天卡车从仓库里运出了60吨，第二天运进50吨，第三天再运出60吨，第四天又运进50吨，……如此不停运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰好被运完？

4.某公交公司停车场有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆，第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车，问到（ ）时，停车场内第一次出现无车辆。 （A）11时10分（B）11时20分（C）11时30分（D）11时40分（E）11时50分

提示：每6分钟开出一辆，每8分钟开进一辆，24分钟为一周期，每周期会开出4辆，开进三辆，总计少1辆车；每周期内最后一步是开进一辆车（该周期内第19分时），而在第18分时会少2辆车，所以停车场内第一次出现无车辆时，最后一步应该是该周期内第18分时（小尾巴），小尾巴共少2辆车，前面整周期应该少15－2=13辆车，即应该有13×1=13个周期。总时间为： 13×24+18=330分钟，选C。 一个周期内车辆变化情况如下： 第0分 －1 第3分 +1 第6分 －1 第11分 +1 第12分 －1 第18分 －1 第19分 +1 总计 －1 注：该题可用技巧直接结合选项找答案，具体方法将在暑期强化阶段讲。

G归一问题

例7：一艘远洋轮船上共有30名海员，海上的淡水可供全体船员用40天，轮船离港10天后在公海上又救起15名海员。假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用多少天？ 解析：“归”是除法的意思，“一”是单位量。一般情况下可以直接求出单位量，求不出时要设单位量为“1”份。 练习

1.甲仓库有大米2000千克，乙仓库有大米1000千克。如果以每天100千克的速度将甲仓库的大米运到乙仓库，那么多少天后甲仓库的大米和乙仓库的一样多？

2.班主任给同学们排座位，每排都恰好有3名男生和4名女生。如果女生一共有32名，那么男生一共有多少名？

3.9个人6天可以完成12件作品，按照这样的速度，3个人3天可以完成多少件作品？21个人12天可以完成多少件作品？ H鸡兔同笼

例4：一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿，则共有7只鸡。 （1）笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿； （2）笼子里的鸡和兔子共有12个头和34条腿。

解析：假设全是兔子，则腿数要多，多出来的总数便是每只鸡比兔子少的数目乘以鸡的总数。 （1）设全是兔子，应该有40条腿。少了40—26=14条腿，每只鸡少4—2=2条，一共有14÷2=7只鸡。所以条件（1）充分。 （2）同上，也充分。 选D。 练习：

1.停车场上的自行车和三轮车一共有24辆，共有56个轮子，则自行车有（ ）辆？ （A）8 （B）10 （C）12 （D）15 （E）16

2.晨星小学有30间宿舍，其中大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人，如果这些宿舍一共可以住168人，那么有（ ）间大宿舍。

（A）6 （B）12 （C）24 （D）26 （E）28

3.张老师给幼儿园两个班小孩分水果，大班每人分2个苹果和5个桔子，小班每人分2个苹果和3个桔子，一共分出80个苹果和158个桔子。小班应该有（ ）小孩。 （A）18 （B）19 （C）20 （D）21 （E）22

4.在年底的献爱心过程中，某单位共有100人参加捐款，经统计，捐款总额是19000元，个人捐款数额有100元、500元和2000元三种，该单位捐款500元的人数为（ ）（11年第13题）（鸡兔同笼与不定方程整数解结合）

（A）13 （B）18 （C）25 （D）30 （E）38

2、集合应用题（容斥原理）

对一个集合进行划分，往往可以有不同的标准。 比如：

对于某高三年级的学生，可以按性别分成男生、女生两类；

如果再结合文理科（文科、理科），则可分成四类（文男、本文女、理男、理女） 如果再结合是否应届（应届、非应届），则可分成八类（应文男、应文女、应理男、应理女、非文男、非文女、非理男、非理女）。

一般来说，如果每种标准可以把一个集合恰好分成两类，那么n种不同的标准理论上可以把一个集合分为2n类。

两个标准时：所有区域被分成四部分（两个圆覆盖的区域以外部分是第四部分）

集合公式：ABABAB 面积公式：S总SASBS3

三个标准时：所有区域被分成八部分（三个圆覆盖的区域以外部分是第八部分）

ABCABCABBCACABC

ABC(ABCBACCAB)(ABCBCAACB)ABC ABC(ABCBACCAB)2(ABCBCAACB)3ABC

例1：某小区50栋楼，有30栋属于塔楼、15栋属于商品房，其中既属于塔楼又属于商品房的有8栋，则既不是塔楼也不是商品房的有（ ）栋。

（A）5 （B）13人 （C）20人 （D）35人 （E）42人 解析：设A=塔楼，B=商品房，问题实际上在求AB

ABIAB

例2：某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（ ）

A、15 B、25 C、35 D、40 E、50

例3：M=8。

（1）一次数学考试，甲答错总数的两人都答对的题目数为M；

（2）一次数学考试，甲答错了3道，乙答错了3道，两人都答错的题目数为2，而甲、乙均对的题目恰好占总题目数M的 练习：

1.在一群学生中，有12人登过泰山，有21人登过黄山，并且有8人两座山都爬过。请问：至少爬过其中一座山的学生有多少人？

2.某班45参加期末考试，成绩公布后，物理得满分的有10人，物理及英语均得满分的有3人，这两科都没得满分的有29人，请问：英语成绩得满分的有多少人？

3.某餐馆有27道招牌菜，小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中7道，而且有2道菜是两人都吃过的。请问：有多少道招牌菜是两都没有吃过的。

例3：某网络公司对300名上网用户进行调查，发现其中使用搜狐邮箱的有86人，使用网易邮箱的有75人，使用腾讯邮箱的有91人。如果三种邮箱都不使用的有102人，而三种邮箱都使用的有8人。那么，至少使用其中两种邮箱的有（ ）人。 （A）38 （B）62 （C）198 （D）244 （E）95 练习：

11，乙答错了3道，两人都答错的题目是题目总数的，则461 。 2

1.已知甲乙丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2。请问：

（1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？

（2）只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？

2.在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问：只爱喝花茶的有多少人？

3.某班同学参加智力竞赛，共有A、B、C三题，每题得0分或者得满分。竞赛结果无人得0分，三题全都答对的有1人，答对2题的有15人。答对A题人数和答对B题的人数之和为29人，答对A题人数和答对C题的人数之和为25人，答对B题人数和答对C题的人数之和为20人，那么该班的人数为 （ ）

（A）0 （B）25 （C）30 （D）35 （E）40

4.小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几题？ （A）4题 （B）8题 （C）12题 （D）16题

3、平均数应用题

平均数（算术平均值）：设n个数x1,x2,,xn，称x或平均数。 求平均数的方法：

定义法：利用总和除以个数求平均数。

基准数法：n个数x1,x2,,xn，取a做为它们的基准数，将它们表示成ay1、ay2、ayn，则xay。

例1：某公司上半年每月销售额分别是4689万元、4623万元、4657万元、4605万元、4691万元、4599万元。则上半年月平均销售额是（ ）万元。

（A）4621 （B）4644 （C）4564 （D）4654 （E）4680 解析：利用基准数法求平均数。取基准数4600.

平均数（算术平均值）的意义：

（1）与总和对应：n个数的平均数是xn个数的总和是nx。

例2：如果x1、x2、x3三个数的算术平均值为5，则x12、x23、x36与8的算术平均值为（ ）

（A）3 （B）6x1x2xn为这n个数的算术平均值

n1411 （C）7 （D）9 （E）以上答案均不正确 25解析：利用平均数与总和的关系做题。

例3：有六名女生平均身高是140厘米，如果她们当中有1人离开后，剩下5个人的平均身高就变成135厘米。请问：离开的那个女生身高多少厘米？

解析：利用“第N个数=N个数总和—剩下（N—1）个数的总和”

（2）移多补少法：n个数的平均数是x这n个数中大于x的数与x差值的总和应该等于小于x的数与x差值的总和。

例4：小安参加了5次天文知识竞赛，平均分是82分，去掉分数最高的那次，其余4次的平均成绩为80分。小安这五次竞赛最高分是（ ）分。 （A）84 （B）88 （C）90 （D）94 （E）98

解析：利用移多补少法。其余4次平均每次都比平均分少考2分，一共少考8分，所以最高分必须比平均分多考8分，即90分。

例5：某公司会员会费分两种：100元和200元。本年度缴平均每人交会费120元，其中100元的会员共有20名，那么缴200元的共有（ 5 ）名。 （A）5 （B）10 （C）20 （D）40 （E）8

解析：20名100元的会员总共比平均数少缴了400元，每名200元的会员比平均数多缴80元，所以应有400÷80=5名。 十字交叉法

例6：某公司会员会费分两种：100元和200元。本年度共有150名会员。所有会员平均每人缴会费130元，则其中缴200元的会员共有（ ）名。 （A）5 （B）10 （C）20 （D）45 （E）8

解析：设缴100元和200元的会员分别有x,y名。根据“移多补少”法可知：

(130100)x(200130)y

即3x7y,x:y7:3，再根据xy150，分别求出x105,y45。

如上图所示，这种方法就叫做十字交叉法。

例7：小明买了一些笔和本子，已知两种文具的数量比是2:8，本子是3元一本，所有文具平均每件2.8元，那么笔应该（ ）元一支？

（A）1.5 （B）1.8 （C）2 （D）2.1 （E）2.4 统计法求平均数：

一组统计数据共有n个不同的数值：x1,x2,,xn，各自出现了a1、a2an次，则这组统计数据的平均数为xx1a1x2a2xnan

a1a2an若xx1x2xn，则min(x1、x2、xn)xmax(x1、x2、xn)

nx1x2xn。

n用统计法求平均数时，若n个不同的数值x1,x2,,xn出现的次数相等，则x例8：两组数的平均数分别为x和y，且xy，混合之后总的平均数为z。则下面说法正确的有（ ）个。 （1）xzy；

（2）若混合之后，新增加一个数x，则新的总平均值z'满足z'z；

（3）若再增加两组数分别和这两组数对应相等，则新的总平均值z'满足z'z； （4）若混合后，新增加一个数m(xmy)，则新的总平均值z'满足z'z。 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4

例9：四件商品A、B、C、D的单价分别为4元、5元、6元、7元，将这四种商品装箱，第一箱的平均价格为x，第二箱商品平均价格 y，则xy。

（1）第一箱中四种商品分别有2、2、4、6件，第二箱中四种商品分别有3、3、6、8件； （2）第一箱中四种商品分别有1、2、3、4件，第二箱中四件商品分别有40、30、20、10件。 练习：

1.35个数排成5行7列，7列的平均数分别为39、41、40、45、42、39、41，前4行的平均数分别为42、39、44、41，请求出最后一行的平均数是（ ）。 （A）39 （B）40 （C）41 （D）42 （E）43

2.黑板上有7个数，平均数为55。如果把其中一个数改为140，则平均数变为64，求被改动的数是（ ）。 （A）131 （B）85 （C）63 （D）118 （E）77

3.甲班有33人，乙班有22人，在一次考试中，甲班的平均分是80分，甲班和乙班的总平均分是82分，乙班的平均分是（ ）分。

（A）83 （B）84 （C）85 （D）86 （E）87

4.明明买了一些糖果，有牛奶糖、水果糖和花生糖，其中牛奶糖8元每斤，一共买了3斤；水果

糖7元每斤，一共买了1斤。如果这些糖平均5.5元每斤，则花生糖的单价和重量可以是（ ） （A）4元每斤，6斤 （B）2元每斤，1斤 （C）10元每斤，8斤 （D）1元每斤，1斤 （E）7元每斤，2斤

5.某单位男职工人数是女职工人数的2倍，男职工的平均年龄是31岁，女职工的平均年龄是40岁，则该单位全体职工的平均年龄是（ ）岁。 （A）33 （B）34 （C）35 （D）36 （E）37

6.某兴趣小组7个人，已知7个人身高分别为159、163、163、168、171、174、185（单位：cm），则七个人的平均身高为（ ）cm。

（A）165 （B）168 （C）169 （D）170 （E）171

7.一组数由10个x和20个y组成（xy），则下面哪个选项的平均值最高？（ ） （A）在该组数中再加入2个x和4个y （B）在该组数中同时去掉1个x和1个y （C）在该组数中同时加上1个x和1个y （D）在该组数中同时加上10个x和20个y （E）在该组数中同时加上2个x

8.在一次考试中，某小组10名同学平均分为90分，前9名平均分为92分，后9名平均分为89分。则该小组第一名比最后一名多考（ ）分？ （A）16 （B）21 （C）25 （D）26 （E）27

9、两组数的平均数分别为x和y，第一组仅包含两个数值a,b，第二组仅包含两个数值a',b'，则

xy。

（1）aa'且bb'； （2）a'b。

10.两部门进行年初汽车采购，分别采购了若干辆单价分别为6万、7万、8万的三种汽车，数量如下表。则甲部门采购汽车的平均单价要超过乙部门。 部门 数量 车型 甲部门 乙部门 （1）x10,y9； （2）x25,y5。

x 20 5 10 5 y 6万元 7万元 8万元 练习题讲评：

1.根据7列平均值可知，这35个数平均值为41，即这五行的平均值为41，再根据前四行平均数，可求出第五行。选（A）

2.平均数变为64，代表总数比原来多7×9=63,140－63=77。选（E）。

3.“移多补少法”。甲班平均每人比平均分少2分，总共少66分，则乙班必然总共比平均分多66分，平均每人多3分，则乙班平均分85分。选（C） 4.本题可以直接将选项代入检验，选（A）。

5.由于男：女=2:1，设平均年龄是x的话，则有(x31):(40x)1:2，解得x34。选（B）。 6.利用“基准数法”，可以取基准数为165，七个数与基准数的差的平均数为

(6)(2)(2)36920。 4，所以平均身高 165+4=169。选（C）

77.所有选项中该组数都只有x和y两个不同的数，总平均数关键在于二者出现的次数比值。题干中二者比值为1:2，而（A）和（D）加上同样为1:2的一组数后，平均值应该保持不变；B中，两者比值变为9:19，x所占比重下降，总平均值跟原来比是减少的。（C）和（E）都能使总平均数增加，然而在总数相等的情况下，显然（E）的总和要大于（C）。选（E）。 8.10名同学总分为900分，前9名同学总分为828分，所以第10名同学的成绩为72分，后9名同学总分为801分，所以第一名成绩为99分。选（E）。 9.条件（1）中，不能确定第一组中最小的数比第二组中最大的还大，因此还要结合两组数中各自大数与小数的值来看。举例：第一组数：100、10和10，第二组数：99、99和9。显然由于第二组中大数占优，所以平均数更靠近大数，而第一组中小数占优，平均数更靠近小数。此时xy。条件（2）单独显然不充分，和（1）联合后，仍然无法避免所举反例。选（E）

10.条件（1），将甲部门各数量通分后得三个数分别是20、10、10，显然乙跟这三个数比，前两个相同，而8万元的车少1辆，显然乙部门的平均单价小，充分；条件（2），两部分购买的车总数都为35辆，但甲部门所购的6万元车要远远多于乙部门，8万元车二者所购数量相等，因此，甲的平均单价应该低于乙部门。选（A）

4、最值应用题

最值应用题是整数类应用题中比较难的一类，主要用的方法是分析（定性）与列举（定量）及代数式求最值。用列举和分析求解最值问题往往要结合实际情境，确定各个量的限定范围，应用起来比较灵活。代数式求最值将放到式和分式一章中讲解。

例1：在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

（A）6 （B）9 （C）10 （D）12 （E）15

解析：先定性分析：炉上同时能放两块，相当于同时烤两面要3分钟，平均每面1.5分钟，三块共有六面，理论上来说最快9分钟可以完成。

接下来考虑可行性：只要每次烤炉都充分利用两块的指标，不浪费，同时不重复烤某一面，就能使理论上的最小值成立。

方法如下：先烤1、2的A面，再烤2、3的B面，最后烤1的A面、3的B面，刚好9分钟。选（B）

例2：某货架上共有20个商品，单价均不超过50元，如果它们的平均单价为45元每件，那么单价低于20元的商品最多有（ ）个。 （A）1 （B） 2 （C）3 （D）4 （E）5

解析：先定性分析：20个商品均价为45元，说明它们的总价为900元。要想让低于20元的商品尽可能多，在总和固定的情况下，要保证两点：

1、低于20元的商品均价尽可能地高，可以取极限最大值20元。2、其他的商品价格尽可能地高，可以取最大值50元。

再定量计算：这样求出的最大值为：（50×20－900）÷（50－20）=3.3≈3个（思考一下为什么不是4个） 选（C）

例3：有若干个自然数，它们的算术平均数是10，如果从这些数中去掉最大的一个，则余下的算术平均数为9；如果去掉最小的一个，则余下的算术平均数为11，这些数最多有（ ）个？ （A）5 （B）8 （C）9 （D）10 （E）11

解答：根据新课标教材，0是最小的自然数。

由于去掉最小数后，算术平均数是11，

所以，这些数最多有10÷（11－10）＋1＝11个。

所以，最大的数最大值是11－1＋10＝20。选（E） 同学们可以继续研究一下这些数中最大数的最大值是多少。

例4：晨兴幼儿园采购经理去超市购买145袋牛奶，超市有两种包装：小包是5袋一包，卖8元每包；大箱是12袋一箱，每箱卖18元。王经理最少要花（ ）元。 （A）218 （B）220 （C）224 （D）232 （E）240

解析：两种方案虽然单价有高有低，但由于打包出售，单纯选择单价低的方案可能会造成浪费，反而花费更多。此时，要在最低单价和最少浪费间用逐一列举的方法对比出最优的方案。这种问题统一叫线性规划问题。

显然成箱买的时候单价更低，所以如果是单价优先，要买12箱+1包。但此有4袋都是多买的（浪费的），如果是避免浪费优先，可以求出来要买10箱+5包（还有两种方案因为明显不够省钱舍去）。我们再把这两者中间还有一种方案是11箱+3包一共是三种方案综合对比，可以看出，当避免浪费优先时，花钱最少，为220元。选（B）

同学们可以把每箱的价格改成15元，再来算一下，哪种方案花费更低。

例5：该班至少61人。

（1）不管全班同学年龄如何分布，都能确保找出6名属相一样的学生。

（2）不管全班同学生日如何分布，都能确保找出3名学生出生的日期是同一天（不含年份和月份）。 解析：抽屉原理：3个苹果放到2个抽屉里，必然有一个抽屉要放至少2个苹果。上述中的三个数字都有可能考到。

最不利原理：条件（1）考虑极端情况，如果班里的同学在12人以内，可能每个属相最多只有1人；如果在24人以内，则可能每个属相最多2人……如果是有60人，则可能每个属相刚好5人。这时，只需要再多1人，就能保证此人刚好有5名同学和他属相一样。所以条件（1）充分。 条件（2），出生的日期共有31种可能。假如61个同学，可能是1~30号各有两名同学，还有一名同学是31号出生，此时不能确保能找出3名学生出生日期相同。因此不充分。 选（A）

其他类型的最值问题有些需要列代数式，求一元二次函数最值；有的通过列不等式组找代数式最值，可以通过解析几何的方式；有些是考察均值不等式，有些考察绝对值的含义;有些是考最大公约数、最小公倍数，还有的考面积与周长的关系等等。

考试的时候，一定要首先做出判断题目是在考线性规划还是在考代数式求最值或是其他。线性规划的题往往要定性和定量结合，要列举若干种可能，通过对比找出最值。 练习：

1、一栋大楼共10层，电梯停在1层，现在有9个人分别要去第2层、第3层……第10层。有一天电梯出了故障，只能上到某一层，每个人可以选择全部走楼梯，也可以选择先坐到这一层，剩下的再爬楼梯上去或下去。每个人上一层楼梯会有3份不满意，下一层楼梯会有1份不满意，要想让所有人的不满最小，电梯应该停在（ ）层。

2.有一条公路上每隔10千米设一煤场，共有五个煤场。现要把五个煤场的煤合到一起，如果运煤费用为10元/吨·千米，则都集中到五号煤场总运费最少。

（1）1号煤场有100吨，2号煤有200吨，5号煤场有400吨，其余两个空着； （2）3号煤杨有300吨，5号煤场有400吨，其余三个空着。

3、将135个人分成若干小组，要求任意两组人数不同，最多可以分成（ ）组？

4、将50毫升25%的盐水溶液、100毫升10%的盐水溶液和C溶液混和后的溶液浓度为10%，则C溶液最少有（ ）毫升？

（A）25 （B）50 （C）60 （D）75 （E）80 选（D）

5、北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台，若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？ 北京 上海 重庆 武汉 800 400 500 300 6、某兴趣小组照相的时候并排摆了15把椅子，现在上面已经坐了X个人。这时，如果再来一个人的话，无论坐在哪个空位都必然与在座的某个人相邻。X至少为（ ）。 （A）3 （B）5 （C）6 （D）7 （E）8

6.从最左边开始，第一个位子可以空着，但第二个位子必须有人，接下来可以连续空两个位，第五个位子又必须有人，此后都是隔两个坐一个人，并确保最右边不能出现连续两个空位。此时X为最少，X=5。选（B）

7、20名老师带着100名学生去公园，公园出售三种门票，一是单人票，20元每张；二是家庭套票，两个大人带1个孩子，30元/套；三是团体票，1名大人10名孩子共150元。这群师生最少要花（ ）元购买门票？

（A）2100 （B）1700 （C）9 （D）10 （E）11

8、一家有若干个人，他们的年龄各不相同，如果他们的年龄之和为65岁，那么这家最多有（ ）人？

（A）10 （B）11 （C）12 （D）15 （E）8 9、M至少为5。

（1）从一幅扑克里随意挑出M张牌，里面必有两张花色相同。 （2）随意挑出M个人，里面必有三个人性别相同。

10、某公司刚接了一个订单，要生产1000套西装。现有两个车间都可以生产西装，A车间每小时能生产上衣3件，或者裤子4件；B车间每小时能生产上衣5件或者裤子2件。AB车间同时开工的话，至少要（ ）工时能完成所有任务？

恒硕考研 周竟希