10.已知函数的最大值的取值范围是（ ）．A.B.C.D.，若实数，则在区间上二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知向量，，若，则实数 ．12.设是等差数列，且，，则的通项公式为 ．13.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为 ．14.若直线取值是 ．将圆的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能15.曲线是平面内到定点结论：①曲线关于轴对称；②若点③若点在曲线上，则满足在曲线上，则和定直线：的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个；．其中，正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.已知中，角，，的对边分别为，，，，， ．是否存在以，，为边的三角形？如果存在，求出从①；②；③的面积；若不存在，说明理由．这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.3
如图一所示，四边形得二面角是边长为的正方形，沿，将点翻折到的中点．点位置（如图二所示），使成直二面角．、分别为图一图二（1）求证：（2）求平面．与平面所成的锐二面角的余弦值．18.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成得到如下频率分布直方图：，，，，五组，并整理频率组距频率组距时间：小时甲班（1）已知该校高三年级共有到小时及以上的学生人数．（2）已知这两个班级各有时间：小时
乙班名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足小时的学生中随机抽取，求的分布列和数学期望．，，试比较与的大小．（只需人，记从甲班抽到的学生人数为（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为写出结论）19.已知函数（1）当（2）若时，求曲线在区间，．在点处的切线方程．上单调递增，求实数的取值范围．4
（3）当时，试写出方程根的个数．（只需写出结论）20.已知椭圆的直线与椭圆相交于，（1）求椭圆的方程．（2）设点是椭圆的左顶点，直线求证：以为直径的圆恒过点．的焦距和长半轴长都为，过椭圆的右焦点作斜率为两点．，分别与直线相交于点，．21.给定数列记为，后，项，，，．对，，，，，，该数列前项，令的值．，且，．，，的最小值的最大值记为，，（1）设数列（2）设，为，，，，写出，，是等比数列，公比，证明：，，，是等比数列．（3）设差数列．，，，是公差大于的等差数列，且，证明：，，，是等【答案】1.C解析:∵集合∴故选．2.B解析:复数故选．3.A4.C，其在复平面内对应的点为，位于第二象限．．，，5
解析:抛物线的焦点为，，准线为，．，∵设抛物线上动点∴由抛物线性质∴当故选．5.D解析:由角的终边经过点故选．6.B解析:该几何体如图所示：时，可得．.故选．7.D8.B9.A解析:由题意可知，设∴又∵∴①时，，或，，，．首项为，公比为，且，，，大于．6∴此时②，，乘积最大，为单调增数列，或；，，乘积无最大值．时，数列．综上所述故选．10.D解析:本题考察分段函数，根据画图：y21，x–2–1O–112，方法一：当当当时，时，在时，，，．， ，此区间长度；；；．综上最大值的取值范围是故选．方法二： 在上图象如下:y21x–2–1O–112则故选．在，上．711.解析:∵∴∴．；；故答案为：．12.解析:设等式数列得：解得：则数列13.解析:将函数，即14.解析:直线把圆分成长度之比为，，的两段弧，的图象向左平移．个单位长度，平移后得到的函数图象的解析式为，的通项公式为．的公差为，则由，，，∴劣弧所对的圆心角为∴圆心到直线的距离∴15.②③解析:．8
yxO由题知，整理得：，移项平方，，，，①将②当当∴③代入方程，不满足，则曲线不关于轴对称；时，时，，∴，正确；，；，，，，∴综上，选择②③16.①③存在，解析:对于①：∵∴，，，，，正确．；②不存在，证明见解析．，9∴又，，，∴或，．对于②，∵∴∴∴又，，，，，（当且仅当与时取等号），矛盾，∴不存在，以，，为边的三角形．对于③：∴∵又∴为锐角，∴由①知，．综上，①③存在，17.（1）证明见解析．（2）解析:（1）取中点，连接，，中点，．；②不存在．，，，，∵四边形∴，是正方形，为由翻折知：又，，10∴∴平面．而平面，（2）∵二面角∴即∴以为原点，又∵∴，，，．为直二面角，为轴，为轴，为$轴，建立空间直角坐标系．而为∴为∴设平面而中点，，一个法向量为，，，，中点．．∴∴又∵平面∴而平面故余弦值为与平面．，．的一个法向量为．所成的角为锐二面角．，18.（1）（2）人．分布列为：11数学期望：．（3）解析:（1）根据甲班统计数据，高三年级每天学习时间达到小时及以上的学生人数为人．（2）由甲、乙两班的频率分布直方图，可得每天学习不足小时的人数，甲班：乙班：∴可以取，，．，，．∴人．人．．∴．，因为乙班的直方图比甲班的更集中．（3）由甲、乙两班的频率分布直方图可知，19.（1）切线方程为（2）实数的取值范围为（3）解析:（1）当又所以曲线所以切线方程为所以切线方程为（2）因为．，则，时，，在点，则有个根．．．，，的切线的斜率为，，即，12又因为所以即设令当当在区间上单调递增，在区间上恒成立，在区间，，则时，时，上恒成立，，则，，则，则单调递减，单调递增，，所以所以实数的取值范围为（3）当时，，故．，则由，，即，即，则方程作出与的根的个数，即的图象，的图象的交点个数，则由图象可知，有个交点，所以所以20.（1）（2）证明见解析．解析:（1）因为椭圆所以所以所以椭圆的方程为：（2），即，，，．的焦距和长半轴长都为，有个根，有个根．．13由（）可知，椭圆的方程为：，则没过点设点联立消去，并整理得：因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，则且则直线令，的方程为：，可得点，点，，直线的方程为：，．，，．恒成立，，则椭圆右焦点的直线的方程为：，，．则直线的斜率为，直线所以又因为所以的斜率为，．，，，所以又因为．14，所以所以所以以21.（1），，为直径的圆恒过点．，．，（2）证明见解析．（3）证明见解析．解析:（1）因为数列则当则当则当所以（2）因为所以数列所以，对于是对则为，，，，时，则，所以时，则，所以时，则，，公比，，，，，，，，，，，则，．，是递减数列，，，,，所以，，，，，．所以所以（3）设为则因为，，，且，，，，，，是等比数列．的公差，则，，，15所以，即又因为所以从而又因为所以所以所以因此对，，．即，，，是等差数列．，，，都有，，，，，，，，是递减数列，所以，，16
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