初三中考数学复习：函数与方程的思想

研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。

所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。

中考函数试题解法及新颖题目研究

函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。

1．初中函数知识网络

解析式 定义

函

数 综一次函数 合运 三种函数 二次函数 用

反比例函数

平面直角坐标系 坐标特征 函数图象

2．命题思路与知识要点： 2．1一般函数

2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。

2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。

2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。 2．1．4知识要点：

（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。 y 第二象限 第一象限 （2）特殊位置上点的坐标特点：

1 ①点P(x，y)在x轴上 y=0； （－，+） （+，+）

点P(x，y)在y轴上 x=0；

x -1 0 1 ②点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 x=y；

第三象限 -1 第四象限 点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 x+y=0; （－，－） （+，－） ③点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；

点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)；

图1

点P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(－x，－y)；

确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。一般从以下几方面考虑：

（1）解析式型：函数直接由解析式给出，不涉及其它问题。主要有以下五种情况：①整式型：自变量的取值范围是全体实数；②分式型：自变量的取值范围是使分母不为零的实数；③二次根式型：自变量的取值范围是使被开方式为非负数的实数；④零指数和负指数型：自变量的取值范围是使底数不为零的实数。⑤综合型：自变量的取值范围是使各部分有意义的公共部分。

（2）具体问题型：函数涉及具体问题时，要考虑使具体问题有意义。主要有以下两种情况：①几何问题型：要使自变量取正值，且满足几何的定义、公理、定理等；②实际问题型；自变量的取值使实际问题有意义。

（3）动态问题型：在动态问题中，自变量的取值范围受动点运动范围的限制。一般先求动点运动的极端值，从而确定自变量的取值范围。

自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独的一个数。

2．2一次函数

2．2．1考查要点：一次函数的概念、图象、性质；一次函数解析式的确定。

2．2．2考纲要求：理解正比例、一次函数的概念并会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握一次函数的图象及其性质，并能灵活运用。

2．2．3主要题型：填空题，选择题，解答题。 2．2．4知识要点：

（1）一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数。k、b是常数的含义是，对于一个特定的函数式，k和b的值是固定的。k≠0这个条件不能省略不写，若k=0，则y=kx+b变形为y=b，b是关于x的0次式，因此不是一次函数。

特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。

(2)一次函数的图象是一条直线。由几何知识可得，要画一条直线只要知道两点就可以了。所以一次函数图象的方法是：只要先描出两点，再连成直线就可以了。画正比例函数y=kx的图象，通常取（0，0）和（1，k）两点连成直线。画一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象，通常选取(0，b)和(k通常，我们把一次函数y=kx+b,0)两点连成直线。

b的图象叫做直线y=kx+b。

直线的倾斜形态与k的关系如下：（1）k>0时，直线的倾斜形态“/”；（2）k<0时，直线的倾斜形态“\\”。要树立“数形结合”的数学思想方法。由k的数值（正、负）决定出直线的倾斜形态，反之，由直线的倾斜形态能确定k的正、负。y＝kx＋b（k≠0）与y＝kx（k≠0）的图象是两直平行线。

直线所经过的象限与k、b的关系： 示意图 ] k＞0 b＜0 b＞0 k＞0 b＜0 k、b的符号 mb＞0 直线y＝kx＋b所一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 经过的象限 直线y＝kx＋b不四 三 二 一 经过的象限 （3）一次函数的性质： 一般地，正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b都有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。

（4）一次函数解析式的确定：

在正比例函数y=kx（k≠0）中，只要求出k的数值，这个正比例函数解析式就求得。所以求y=kx（k≠0）所需条件是一个点坐标。

由于一次函数y=kx+b（k≠0）中需要求出k与b的数值，所以需要两个点的坐标（或说两个相互独立的条件），代入解析式中，得到关于k与b的二元一次方程组，通过解方程组求出k与b的数值。

要注意掌握由坐标求线段长度，由线段长度求坐标的转换方法。掌握由直线解析式求与坐标轴交点的坐标和由直线上两点坐标，求直线解析式的方法。掌握求两直线交点坐标的方法。

2．3反比例函数

2．3．1考查要点：反比例函数的概念、图象、性质；反比例函数解析式的确定。 2．3．2考纲要求：理解反比例函数的概念并会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握反比例函数的图象及其性质，并能灵活运用。

2．3．3主要题型：填空题，选择题，解答题，应用题。 2．3．4知识要点：

k(或y=kx1或xy=k)(k≠0)，那么y叫做x的反比例函数。注意反比例xk1函数有三种不同表现形式：①y=(k≠0)；②y=kx(k≠0)；③xy=k(k≠0)。自变量x的

x（1）如果y=

取值范围是x≠0的实数。在反比例函数中，两个变量成反比例关系。因此，判定两个变量是否成反比例关系，看是否能写成反比例函数关系，即两个变量的积是不是一个不为0的常数。

（2）反比例函数y=

k1(或y=kx或xy=k)(k≠0)的图象是由两条曲线组成，叫做双曲x线，它们关于原点成中心对称。反比例函数的图象是两条双曲线，两条双曲线既不过原点，又与两个坐标轴不相交（因为xy≠0），它只是无限接近x轴和y轴。用描点法画反比例函数图象时，可先画一个分支，由两个分之关于原点对称的性质，再画另一个分支。要注意两个分支不能相连，即两个分支是断开的。

（3）反比例函数解析式的确定。因为反比例函数解析式y=

k(k≠0)，只含有一个待x定系数，所以要确定函数解析式，只需要已知图象所经过的一个点的坐标即可。

k1(或y=kx)xk的图象在一、三象限，函数y在每个象限内随x的增大而减小。k<0时，反比例函数y=(或

x（4）反比例函数性质的学习要结合图象进行。k>0时，反比例函数y=y=kx

1)的图象在二、四象限，函数y在每个象限内随x的增大而增大。

（5）反比例函数y=

k1(或y=kx)(k≠0)中比例系数k的几何意义是：过双曲线上任x1k。2y P N M O 一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=x•yxyk。如果再连结PO，则SPOMSPON如图2。

（6）一次函数与二元一次方程（组）的关系：

将一次函数y=kx+b移项，得kx-y+b=0，可以看出这是一个二元一次方程。这样，y=kx+b的图象也是方程kx-y+b=0图象，图象上每个点的坐标都

图2

适合方程kx-y+b=0，也就是方程kx-y+b=0的解。直线y=kx+b与x轴的交

点的纵坐标等于0，即直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解。

设直线yk1xb1和直线yk2xb2的交点坐标为(a,b)，则a,b适合这两个函数关系式。所以直线yk1xb1和直线yk2xb2的交点坐标就是方程组x k1xyb10k2xyb20的解。

因此，我们可以用图象法来求一元一次方程、二元一次方程组以及一元一次不等式的近似解。

2．4二次函数

2．4．1考查要点：描点法画函数图象；二次函数和抛物线的有关的概念、性质；二次函数解析式的确定。

2．4．2考纲要求：了解描点法画函数图象，理解二次函数和抛物线的有关的概念，抛物线的顶点、对称轴；会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握二次函数的图象及其性质，并能灵活运用。

2．4．3主要题型：填空题，选择题，解答题，阅读理解题，应用题。 2．4．4知识要点：

22

（1）二次函数解析式，主要有两种形式：一般式y=ax+bx+c与顶点式y=a(x-h)+k，其中a≠0。它的图象为抛物线，其位置与各系数关系为：(1)a 决定抛物线的开口方向：a>0，开口向上；a<0,开口向下；(2)抛物线与y轴交点的坐标为(0,c)；(3)a、b结合决定抛物线对

b

称轴的位置，对称轴x=- ，若a、b同号，则对称轴在y轴左侧；若b=0,则对称轴是y轴；

2a

2

b4ac-b

若a、b异号，则对称轴在y轴右侧；(4)一般式的顶点坐标为（-，）,顶点式的顶点

2a4a

坐标为（h,k）。

（2）求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式；若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3．中考函数新颖试题分析

中考数学试题里，有关函数的试题覆盖了函数的主要考点，且出现了一些体现新课程理念，具有强烈的时代气息的新颖试题，下面结合一些事例作简单分析。

3．1．坐标系与相似三角形

例1请同学们在右边的同一个直角坐标系中，画出两个形状相同，但面积不等的三角形。

答案不唯一。如

例1图

评注：此题给学生广阔的思维空间，体现数形结合思想，学生可从边或角两个角度探求直角，画出符合要求的直角三角形。本题考查学生发散思维的能力、运用知识解决问题的能力及数形结合思想。

3．2．网格与坐标系

例2如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点（1，-2）上，相位于点（3，-2）上，则炮位于点（ ）上。

A.（-1，1） B.（-1，2） C.（-2，1） D.（-2，2）

例3（2005年杭州市）如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋② 的坐标为(7,4),白棋④的坐标为(6,8),那么黑棋①的坐标应该是 .

例2图

例3图

答案：C；（－3，－7）

评注：这两个题充分利用方格纸的特点及坐标的有关知识，将方格纸与平面直角坐标系以及学生熟悉的象棋、围棋联系在一起，新颖而有趣味性。

3．3．网格与坐标系与中心对称

例4如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。此时，M是线段PQ的中点。如图，在直角坐标系中，⊿ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）。点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于⊿ABO的一1B个顶点对称：

O点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4

关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…。对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环。已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标。 例4图

答案：P2(1，－1) P7(1，1) P100=(1，－3)

评注：本题将中心对称、坐标以及规律寻找结合起来。 3．4．阅读函数图象，解决实际问题。

例5某游乐场每天的赢利额y（元）与售出的门票x（张）之间的函数关系如图所示. （1）当0≤x≤200，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 ； 当200＜x≤300，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 . （2）要使游乐场一天的赢利超过1000元，试问该天至少应售出多少张门票？ （3）请思考并解释图像与y轴交点（0，－1000）的实际意义. （4）根据图像，请你再提供2条信息。 答案：（1）y=100x-1000；（2）y=150x-2500。（3）没有售出门票时，亏损1000元。（4）答案不惟一。

评注：此题巧妙地将函数知识与实际生活情景联系在一起。 3．5．二次函数的最值与应用。

A1例5图

b24acb2b4acb2),)由yaxbxca(x可知：当a＞0时，顶点(2a4a2a4ab22是抛物线yaxbxc的最低点，即x时，二次函数yaxbxc取得最小

2a4acb2b4acb2,)是抛物线yax2bxc的最高点，即值。当a＜0时，顶点(4a2a4a4acb2b2x时，二次函数yaxbxc取得最大值。

4a2a2例6某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品。已知每件产品的进价为

40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元。在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间y(万存在着如图所示的一次函数关系。

（1）求y关于x的函数关系式；

6 （2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销5 售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总4 321 0 20 40 60 80 x(元例6

进价一年总开支）。当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；

（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围。在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

答案：（1）y1x8 20（2）当x100元时，年获利最大为60万元。

（3）要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元。

评注：本题在日常情景中，运用了许多数学知识，如解方程组，二次函数的画图及求二次函数的极值。应用二次函数的有关知识，分析和解决生产、生活或相关学科中简单问题，既可提高学习数学的兴趣，又能增强用数学的意识，也是当前体现“人人学有用数学”的热点考题。需要注意的是，实际问题中，有时需要根据实际问题的具体情况确定“局部最值”。

3．6．函数与跨学科试题

例7在某一电路中，保持电压不变，电流I（安）与电阻R（欧）成反比例函数关系，其图像如图3，则这一电路的电压为 伏.。

R(欧) 析解：因为在某一电路中，保持电压不变，电流I（安）与电阻R（欧）成反比例函数关系。所以可设I5 求得U=IR=10（伏）。

评注：动态的数量变化预示着函数的广泛运用。实际生活中的许多问题都可以用函数的有关知识来解决。尽管我们初中生的数学知识十分有

2 限，但也能解决不少的实际问题。在我们学习的物理知识中，许多物理量

例7图 之间的关系就是我们数学上的反比例函数关系。在倡导素质教育的今天，

在数学试题中渗透物理知识是一个新热点。在近几年的中考数学试题中，已开始出现数学与物理综合的考题，学科结合型试题也是今后中考命题的一个趋势，值得引起大家的注意。 y 3．7．函数探索性试题

例8如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x＝t，使它与直线y＝x和直线yU。又根据图象过（2，5）。所以容易RI(安)

y=x 1，x2分别交于点D、E（E在D的上方）

2且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因。

分析：对存在性探索试题，其一般解题思路是：先对作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的推理或计算，再对得出的结果进行分析检验，说明假设是否正确，由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。顺着这种思路，对该题，我们很容易得到以下两种解法。

答案：存在。当t＝

O 1yx2

2x

例8图

48时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或（0，55448）；当t时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝－4时，577△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。

评注：所谓探索型试题，是指缺少一定的题设和结论，需要学生自己推断、补充并加以解决的一类数学考题。由于这类考题形式新颖、思考方向不确定，因此，综合性和逻辑性较强，它着力于考查学生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高学生的思维品质，培养学生独立解决问题的能力具有十分重要的作用，因此成为近年来各地中考命题的一类热门题型。其具体形式多样，其中，存在性探索题是最常见的一类。

3．8．函数综合题

例9如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与

x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛

M 物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）A（－1，0），B（3，0）；C（0，3）. （2）略。 （3）满足题意的点P存在，其坐标为（1，426）。 评注：这是最典型的中考数学压轴题。

几何中的基本元素——线段做为函数中的变量，求函数解析式，一般寻找一个等量关系列方程，再转化为函数解析式，难点例9图 是求自变量取值范围及画函数图象的示意图。函数知识与几何知识相互转化的基础是｜点坐标｜＝线段长。

一般解题思路是：（1）已知点坐标线段长，线段长……点坐标；（2）用待定系数法求函数解析式；（3）解析式点坐标线段长面积及其它。

解综合题中注意合理运用点在函数图象上，点的坐标适合函数解析式：（1）已知点P（a，b）（a，b为已知数）代入含“待定系数”的函数解析式构造关于待定系数的方程。（2）点P（a，k）或（k，b）（其中a，b为已知数，k为待定系数）代入含“待定系数k”的函数解析式，构造关于k的方程。（3）已知点P（a，y）或（x，b）（其中a，b为已知数，x，y为未知数），代入已知函数解析式，则可以用关于a的代数式表示y或用关于b的代数式表示x。（4）已知点P（x，b）（其中b为已知数，x为未知数），代入含待定系数k的函数解析式，可以用含k的代数式表示x。

解函数——几何综合题时，注意图形的分解。（把基本的几何图形从直角坐标系中分离出来，求出所需线段长后，再放回坐标系中）。

解函数——几何综合题时，注意对点位置的讨论。

综合题的学习既要见题有一定的思路，又不能模式化地套用旧有模式，应以数学思想方法为指导，致力于能力的提高。

4．考点预测： 4．1．一般函数

函数自变量的取值范围和直角坐标系的有关概念是中考考查的重点，各地中考试题中以填空题和选择题为主，近年也有中考题中出现阅读题，在解答题中一般考察实际问题中自变量的取值范围的求法。 4．2．一次函数

正比例函数和一次函数的考查主要出现在选择题和填空题中，常常考查正比例函数和一次函数的意义及字母系数的条件、实际问题中的正比例函数和一次函数的解析式与自变量的取值范围；函数的增减性、确定k、b的值与函数的图象，解答题、综合题中主要有图象与图象、图象与坐标轴围成的几何图形面积的计算，用待定系数求解析式等。

4．3．反比例函数

在各地中考试题中，反比例函数主要以客观题形式出现，一般以选择题、填空题居多，解答题主要与一次函数、二次函数等知识联系在一起，近年来，也出现了主观题，常把反比例函数与实际生活问题结合起来，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力。

4．4．二次函数

二次函数是初中数学中的一个十分重要的内容，也是中考命题的一个热点内容。从地位上看，它一般以压轴题的形式出现在试卷中，即以主观题为主，客观题在试卷中题量不大，一般出现一道填空题或选择题。主观题题型较为丰富新颖，既有图表信息题、阅读理解题、开放探究题、运动性试题，又有方案设计性试题、应用建模题。不仅考查二次函数的概念、图像和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查，既有横向综合题（代数几何综合题），又有纵向综合题（代数综合题、几何综合题）。也越来越注重考查学生应

用二次函数解决实际问题的能力。

近年来有关函数方面的新颖试题有三个主要特点：一是通过表式信息、图像信息等，考查学生的应用能力和数学建模能力；二是通过开放、探究性试题，考查学生的自主探究和创新能力；三是通过“运动型”试题，考查学生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。